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- 2021-06-19 发布
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第3讲 三角函数的图像与性质
一、选择题
1.函数y=的最小正周期是( )
A. B.π
C.2π D.4π
解析 ∵y===tan.
∴T==2π.
答案 C
2.函数f(x)=xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为( )
A.4 B.5
C.6 D.7[来源:Zxxk.Com]
解析 由于方程xcos x2=0在区间[0,4]上的根有x1=0,x2=,x3=,x4=,x5=,x6=,因此共有6个零点.
答案 C
3.函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为 ( ).
A.2- B.0 C.-1 D.-1-
解析 ∵0≤x≤9,∴-≤x-≤,∴-≤sin≤1,∴-≤2sin≤2.∴函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为2-.
答案 A
4.已知函数y=sin x的定义域为[a,b],值域为,则b-a的值不[来源:学可能是( )
A. B.
C.π D.
解析 画出函数y=sin x的草图,分析知b-a的取值范围为.
答案 A
5.已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ= ( ).
A. B. C. D.
解析 由题意可知函数f(x)的周期T=2×=2π,故ω=1,∴f(x)=sin(x+φ),令x+φ=kπ+(k∈Z),将x=代入可得φ=kπ+(k∈Z),∵0<φ<π,∴φ=.
答案 A
6.已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数.若f(x)≤对x∈R恒成立,且f>f(π),则f(x)的单调递增区间是 ( ).
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析 由f(x)=sin(2x+φ),且f(x)≤对x∈R恒成立,∴f=±1,即sin=±1.
∴+φ=kπ+(k∈Z).∴φ=kπ+(k∈Z).
又f>f(π),即sin(π+φ)>sin(2π+φ),
∴-sin φ>sin φ.∴sin φ<0.
∴对于φ=kπ+(k∈Z),k为奇数.
∴f(x)=sin(2x+φ)=sin=-sin.
∴由2mπ+≤2x+≤2mπ+(m∈Z),
得mπ+≤x≤mπ+(m∈Z),
∴f(x)的单调递增区间是(m∈Z).
答案 C
二、填空题
7.若f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是,则ω=________.
解析 由0≤x≤,得0≤ωx≤<,
则f(x)在上单调递增,且在这个区间上的最大值是,所以2sin =,且0<<,
所以=,解得ω=.
答案
8.已知函数f(x)=(sin x+cos x)-|sin x-cos x|,则f(x)的值域是________.
解析 f(x)=(sin x+cos x)-|sin x-cos x|
=
画出函数f(x)的图象,可得函数的最小值为-1,最大值为,故值域为.
答案
9.已知过原点的直线与函数y=|sin x|(x≥0)的图像有且只有三个交点,α
是交点中横坐标的最大值,则的值为________.
解析 y=|sin x|(x≥0)的图像如图,
若过原点的直线与函数y=|sin x|(x≥0)的图像有且只有三个交点,则第三个交点的横坐标为α,且α∈,
又在区间(π,2π)上,y=|sin x|=-sin x,则切点坐标为(α,-sin α),
又切线斜率为-cos α,
则切线方程为y+sin α=-cos α(x-2)
y=-cos x+αcos α=-sin α,
又直线过原点,把[0,0)代入上式得,α=tan α
∴
=
=(1+tan2α)cos2α
=cos2α=cos2α+sin2α=1.[来源:Z&xx&k.Com]
答案:1
10.设函数f(x)=sin(ωx+φ),给出以下四个论断:
①它的最小正周期为π;
②它的图像关于直线x=成轴对称图形;[来源:学+科+网]
③它的图像关于点成中心对称图形;
④在区间上是增函数.
以其中两个论断作为条件,另两个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可).
解析 若①、②成立,则ω==2; 令2·+φ=kπ+,k∈Z,且|φ|<,故k=0,∴φ=.此时f(x)=sin,当x=时,sin=sin π=0,∴f(x)的图像关于成中心对称;又f(x)在上是增函数,∴在上也是增函数,因此①②⇒③④,用类似的分析可得①③⇒②④.因此填①②⇒③④或①③⇒②④.
答案 ①②⇒③④(也可填①③⇒②④)
三、解答题
11.设f(x)=.
(1)求f(x)的定义域;
(2)求f(x)的值域及取最大值时x的值.
解 (1)由1-2sin x≥0,根据正弦函数图象知:
定义域为{x|2kπ+π≤x≤2kπ+,k∈Z}.
(2)∵-1≤sin x≤1,∴-1≤1-2sin x≤3,
∵1-2sin x≥0,∴0≤1-2sin x≤3,
∴f(x)的值域为[0,],
当x=2kπ+,k∈Z时,f(x)取得最大值.
12.已知函数f(x)=cos+2sinsin.
(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴;
(2)求函数f(x)在区间上的值域.
解 (1)f(x)=cos+2sinsin
=cos 2x+sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x)
=cos 2x+sin 2x+sin2x-cos2x
=cos 2x+sin 2x-cos 2x=sin.
∴最小正周期T==π,由2x-=kπ+(k∈Z),
得x=+(k∈Z).
∴函数图象的对称轴为x=+(k∈Z).
(2)∵x∈,∴2x-∈,
∴-≤sin≤1.
即函数f(x)在区间上的值域为.
13.已知函数f(x)=sin 2x+acos2x(a∈R,a为常数),且是函数y=f(x)的零点.
(1)求a的值,并求函数f(x)的最小正周期;
(2)若x∈,求函数f(x)的值域,并写出f(x)取得最大值时x的值.
解 (1)由于是函数y=f(x)的零点,
即x=是方程f(x)=0的解,
从而f=sin+acos2=0,
则1+a=0,解得a=-2.
所以f(x)=sin 2x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1,
则f(x)=sin-1,
所以函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由x∈,得2x-∈,
则sin∈,
则-1≤sin≤,
-2≤sin-1≤-1,
∴函数f(x)的值域为[-2,-1].
当2x-=2kπ+(k∈Z),
即x=kπ+π时,f(x)有最大值,
又x∈,故k=0时,x=π,
f(x)有最大值-1.
14.已知a>0,函数f(x)=-2asin+2a+b,当x∈时,-5≤f(x)≤1.
(1)求常数a,b的值;
(2)设g(x)=f且lg g(x)>0,求g(x)的单调区间.
解 (1)∵x∈,∴2x+∈.
∴sin∈,又∵a >0,
∴-2asin∈[-2a,a].∴f(x)∈[b,3a+b],
又∵-5≤f(x)≤1,∴b=-5,3a+b=1,
因此a=2,b=-5.
(2)由(1)得a=2,b=-5,∴f(x)=-4sin-1,
g(x)=f=-4sin-1
=4sin-1,
又由lg g(x)>0,得g(x)>1,
∴4sin-1>1,∴sin>,
∴2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z,
其中当2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z时,g(x)单调递增,即kπ<x≤kπ+,k∈Z,
∴g(x)的单调增区间为,k∈Z.
又∵当2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z时,g(x)单调递减,即kπ+<x<kπ+,k∈Z.
∴g(x)的单调减区间为,k∈Z.
综上,g(x)的递增区间为(k∈Z);递减区间为(k∈Z).