THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月诊断性测试理科数学试卷 6页

中学生标准学术能力诊断性测试 2020 年 1 月测试 理科数学试卷（一卷） 本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．若集合  12A x x= −   ,  2 ,0 , 1,2B =− ，则 AB= A．  B．  0 , 1 C．  0 , 1,2 D．  2 ,0 , 1,2− 2．若 (2 ) 5 iz+=，则 z 的虚部为 A． 1− B． 1 C． i− D． i 3．已知双曲线 ( ) 22 2 102 xy bb− =  的两条渐近线互相垂直，则 b = A．1 B． 2 C． 3 D．2 4．由两个 1 4 圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A． π 3 B． π 2 C． π D． 2 π 5．函数 xexxxf )2()( 2 −= 的图象可能是 A B C D 6．已知关于 x 的不等式 2 2 3 0ax x a− +  在 (0 , 2] 上有解，则实数 a 的取值范围是 A． 3, 3 − B． 4, 7 − C． 3 ,3 + D． 4,7 + 7．已知 a , b 为实数，则 01ba   是 log logabba 的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 俯视图 侧视图正视图 1 1 2 2 （第 4 题图） C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知随机变量  ,  的分布列如下表所示．则 A． ,E E D D    B． ,E E D D    C． ,E E D D   = D． ,E E D D   == 9．在 ABC△ 中，若 2AB BC BC CA CA AB== ，则 AB BC = A．1 B． 2 2 C． 3 2 D． 6 2 10．在矩形 A B C D 中，已知 3, 4AB AD==， E 是边 BC 上的点， 1EC = ， //EF CD ，将平面 E F D C 绕 EF 旋转 90 后记为平面  ，直线 AB 绕 AE 旋转一周，则旋转过程中直线 AB 与平面 相 交形成的点的轨迹是 A．圆 B．双曲线 C．椭圆 D．抛物线 （第 10 题图） 11．已知函数 ( ) (ln 1)( 2) ( 1,2)if x x x m i= − − − = , e 是自然对数的底数，存在 Rm  A．当 1=i 时， ()fx零点个数可能有 3 个 B．当 1=i 时， ()fx零点个数可能有 4 个 C．当 2=i 时， ()fx零点个数可能有 3 个 D．当 2=i 时， ()fx零点个数可能有 4 个 12．已知数列 {}na 的前 n 项和为 nS ，且满足 (2 ) 1n n na S a−=，则下列结论中 ①数列 2{}nS 是等差数列； ② 2nan ； ③ 1 1nnaa+  A．仅有①②正确 B．仅有①③正确 C．仅有②③正确 D．①②③均正确 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．1742 年 6 月 7 日，哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中提出：任一大于 2 的偶数都可写成两个质 数的和．这就是著名的“哥德巴赫猜想”，可简记为“1+1”．1966 年，我国数学家陈景润证明了  1 2 3  1 2 3 1 6 1 2 1 3  P 1 3 1 2 1 6 P “1+2 ”，获得了该研究的世界最优成果，若在不超过 30 的所有质数中，随机选取两个不同的数， 则两数之和不超过 30 的概率是 ． 14．已知 ABC△ 的面积等于 1 ，若 1BC = ，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sin A = ． 15．已知 F 是椭圆 22 221( 0)xyC a bab+ =  ： 的一个焦点， P 是C 上的任意一点，则 FP 称为椭圆C 的焦半径．设 C 的左顶点与上顶点分别为 AB、 ，若存在以 A 为圆心， FP 为半径长的圆经过点 B ，则椭圆 C 的离心率的最小值为 ． 16．设函数 32( ) | 6 |f x x x ax b= − + + ，若对任意的实数 a 和b ，总存在  3,00 x ，使得 ( ) mxf 0 ， 则实数 m 的最大值为 ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60 分． 17．（12 分）已知角  的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 ( 1, 3)P − ． （1）求 cos 2 + 的值； （2）求函数 22( ) sin ( ) cos ( )( )Rf x x x x= + − −  的最小正周期与单调 递增区间． 18．（12 分）如图，多面体 A B C D F E 中，四边形 ABEF 和四边形 C D F E 是 两个全等的菱形， 2=AB , 60== ECDBAF ． （1）求证： DCBD ⊥ ； （2）如果二面角 B EF D−−的平面角为 60 ，求直线 BD 与平面 B C E 所 成角的正弦值． （第 18 题图） 19．（12 分）已知等比数列 }{ na 的公比 1q ，且 42531 =++ aaa , 93 +a 是 1a , 5a 的等差中项．数列 }{ nb 的通项公式 11 2 1 −+− = +nn n n aa b , *Nn ． （1）求数列 }{ na 的通项公式； （2）证明： 12 1 21 −+++ +n nbbb  , *Nn ． 20．（12 分）已知抛物线 2: 2 ( 0)C x py p=，焦点为 F ，准线与 y 轴交于点 E．若点 P 在 C 上，横 坐标为 2，且满足： PFPE 2= ． （1）求抛物线C 的方程； （2）若直线 PE 交 x 轴于点 Q ，过点 Q 做直线 l ，与抛物线 C 有 两个交点 ,MN(其中，点 M 在第一象限)．若 Q M M N= ，当 ( )2,1 时，求 O M P O N P S S △ △ 的取值范围． （第 20 题图） 21．（12 分）已知函数 ( ) ( 1) ( 1) xf x x e = + − ． （1）求 ()fx在点 1, ( 1) )f −（- 处的切线方程； （2）若方程 ()f x b = 有两个实数根 21 , xx ，且 21 xx  ，证明： 113 1112 −+− +++− e eb e ebxx ． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分．作答时请写清题号． 22．[选修 4—4：极坐标与参数方程]（10 分） （1）以极坐标系 Ox 的极点 O 为原点，极轴 x 为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系 x O y ，并在两种 坐标系中取相同的长度单位，把极坐标方程 2cossin 2 =+  化成直角坐标方程． （2）在直角坐标系 xO y 中，直线 l ： 32 cos 4 ()31 sin 4 xt t yt    = − +  = − + 为参数 ，曲线 2cos : ( ), sin x C ya    = =  为参数 其中 0a ．若曲线 C 上所有点均在直线 l 的右上方，求 a 的取值范围． 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知正数 zyx ,, 满足 1x y z+ + = ． （1）求证： 5 1 323232 222 +++++ yx z xz y zy x ； （2）求 2 161616 zyx ++ 的最小值．