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  • 2021-06-20 发布

江苏省南京市2020届高三第三次模拟数学考试(解析版)

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江苏省南京市2020届高三第三次模拟数学考试(解析版)‎ 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分.不需要写出解答过程,请将答案填写在答题卡相应的位置上.)‎ ‎1.已知集合A=,B=,则AB= .‎ ‎2.若(i是虚数单位)是实数,则实数a的值为 .‎ ‎3.某校共有教师300人,男学生1200人,女学生1000人,现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本,则从男学生中抽取的人数为 .‎ ‎4.如图是一个算法的伪代码,其输出的结果为 .‎ ‎ ‎ ‎5.将甲、乙、丙三人随机排成一行,则甲、乙两人相邻的概率为 .‎ ‎6.已知函数(其中>0,)部分图象如图所示,则 的值为 .‎ ‎7.已知数列为等比数列,若,且,,成等差数列,则的前n项和为 .‎ ‎8.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F.若以F 为圆心,a为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A,B两点,且AB=2b,则该双曲线的离心率为 .‎ ‎9.若正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2,则三棱锥A—B1CD1的体积为 .‎ ‎10.已知函数,,若,则实数x的取值范围为 .‎ ‎11.在平面直角坐标系xOy中,A,B是圆O:x2+y2=2上两个动点,且⊥,若A, B两点到直线l:3x+4y﹣10=0的距离分别为d1,d2,则d1+d2的最大值为 .‎ ‎12.若对任意a[e,)(e为自然对数的底数),不等式对任意xR恒成立,则实数b的取值范围为 .‎ ‎13.已知点P在边长为4的等边三角形ABC内,满足,且,延长AP交边BC于点D,若BD=2DC,则的值为 .‎ ‎14.在△ABC中,∠A=,D是BC的中点.若AD≤BC,则sinBsinC的最大值为 ‎ ‎ .‎ 二、解答题(本大题共6小题,共计90分.请在答题纸指定区域内作答,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)‎ ‎15.(本题满分14分)如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⏊PD,E, F分别为AD,PB的中点.‎ 求证:‎ ‎(1)EF//平面PCD;‎ ‎(2)平面PAB⏊平面PCD.‎ ‎16.(本题满分14分已知向量=(cosx,sinx),=(cosx,﹣sinx),函数.‎ ‎(1)若,x(0,),求tan(x+)的值;‎ ‎(2)若,(,),,(0,),求的值.‎ ‎17.(本题满分14分)如图,港口A在港口O的正东100海里处,在北偏东方向有条直线航道OD,航道和正东方向之间有一片以B为圆心,半径为海里的圆形暗礁群(在这片海域行船有触礁危险),其中OB=海里,tan∠AOB=,cos∠AOD=,现一艘科考船以海里/小时的速度从O出发沿OD方向行驶,经过2个小时后,一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A出发,并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇.‎ ‎(1)若快艇立即出发,判断快艇是否有触礁的危险,并说明理由;‎ ‎(2)在无触礁危险的情况下,若快艇再等x小时出发,求x的最小值.‎ ‎18.(本题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:(a>b>0)经过点(﹣2,0)和(1,),椭圆C上三点A,M,B与原点O构成一个平行四边形AMBO.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若点B是椭圆C左顶点,求点M的坐标;‎ ‎(3)若A,M,B,O四点共圆,求直线AB的斜率.‎ ‎19.(本题满分16分)已知函数(aR),其中e为自然对数的底数.‎ ‎(1)若a=1,求函数的单调减区间;(2)若函数的定义域为R,且,求a的取值范围;(3)证明:对任意a(2,4),曲线上有且仅有三个不同的点,在这三点处的切线经过坐标原点.‎ ‎20.(本题满分16分)若数列满足n≥2时,,则称数列(n)为的“L数列”.(1)若,且的“L数列”为,求数列的通项公式;‎ ‎(2)若(k>0),且的“L数列”为递增数列,求k的取值范围;‎ ‎(3)若,其中p>1,记的“L数列”的前n项和为,试判断是否存在等差数列,对任意n,都有成立,并证明你的结论.‎ 江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试 数学附加题 本试卷共40分,考试时间30分钟.‎ ‎21.【选做题】本题包括A,B,C三小题,请选定其中两题作答,每小题10分共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ A.选修4—2:矩阵与变换 已知矩阵A=,aR.若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P′(0,﹣2).‎ ‎(1)求矩阵A;‎ ‎(2)求点Q(0,3)经过矩阵A的2次变换后对应点Q′的坐标.‎ B.选修4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参数方程为(t为参数),求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.‎ C.选修4—5:不等式选讲 已知为a,b非负实数,求证:.‎ ‎【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎22.(本小题满分10分)‎ 如图,在直三棱柱中ABC—A1B1C1,AB⏊AC,AB=3,AC=4,B1C⏊AC1.‎ ‎(1)求AA1的长;‎ ‎(2)试判断在侧棱BB1上是否存在点P,使得直线PC与平面AA1C1C所成角和二面角B—A1C—A的大小相等,并说明理由.‎ ‎23.(本小题满分10分)‎ 口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球.现有一抽奖游戏规则如下:抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球,最多取球2n+1(n)次.若取出白球的累计次数达到n+1时,则终止取球且获奖,其它情况均不获奖.记获奖概率为.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)证明:.‎ 参考答案 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分.不需要写出解答过程,请将答案填写在答题卡相应的位置上.)‎ ‎1.已知集合A=,B=,则AB= .‎ 答案:(1,4)‎ 考点:集合的并集运算 解析:∵集合A=,B=,‎ ‎ ∴AB=(1,4).‎ ‎2.若(i是虚数单位)是实数,则实数a的值为 .‎ 答案:2‎ 考点:复数 解析:∵是实数,∴实数a的值为2.‎ ‎3.某校共有教师300人,男学生1200人,女学生1000人,现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本,则从男学生中抽取的人数为 .‎ 答案:60‎ 考点:分层抽样 解析:.‎ ‎4.如图是一个算法的伪代码,其输出的结果为 .‎ ‎ ‎ 答案:10‎ 考点:伪代码 解析:第一步:i=1,S=1;‎ 第一步:i=2,S=3;‎ 第一步:i=3,S=6;‎ 第一步:i=4,S=10;故输出的结果为10.‎ ‎5.将甲、乙、丙三人随机排成一行,则甲、乙两人相邻的概率为 .‎ 答案:‎ 考点:随机事件的概率 解析:.‎ ‎6.已知函数(其中>0,)部分图象如图所示,则 的值为 .‎ ‎ ‎ 答案:‎ 考点;三角函数的图像与性质 解析:首先,解得=1,‎ ‎ 又,,∵,‎ ‎∴,故,所以.‎ ‎7.已知数列为等比数列,若,且,,成等差数列,则的前n项和为 .‎ 答案:‎ 考点:等比数列的前n项和公式,等差中项 解析:∵,,成等差数列,∴2=+=,故q=2,‎ ‎ ∴‎ ‎8.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F.若以F 为圆心,a为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A,B两点,且AB=2b,则该双曲线的离心率为 .‎ 答案:‎ 考点:双曲线的简单性质 解析:由题意知,则,离心率e=.‎ ‎9.若正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2,则三棱锥A—B1CD1的体积为 .‎ 答案:‎ 考点:正四面体的体积计算 解析:可知三棱锥A—B1CD1是以为棱长的正四面体,‎ ‎ V=.‎ ‎10.已知函数,,若,则实数x的取值范围为 .‎ 答案:[2,4]‎ 考点:函数与不等式 解析:首先,由知,‎ ‎ 当,解得,故,得,‎ ‎ ∴,故实数x的取值范围为[2,4].‎ ‎11.在平面直角坐标系xOy中,A,B是圆O:x2+y2=2上两个动点,且⊥,若A, B两点到直线l:3x+4y﹣10=0的距离分别为d1,d2,则d1+d2的最大值为 .‎ 答案:6‎ 考点:直线与圆综合 解析:取AB中点D,设D到直线l的距离为d,易知:d1+d2=2d ‎⊥D轨迹为:d1+d2的最大值为6.‎ ‎12.若对任意a[e,)(e为自然对数的底数),不等式对任意xR恒成立,则实数b的取值范围为 .‎ 答案:[﹣2,)‎ 考点:函数与不等式(恒成立问题)‎ 解析:当时,显然成立,;‎ ‎ 当时,,‎ ‎ ,易知:,故;‎ ‎ 综上,实数b的取值范围为[﹣2,).‎ ‎13.已知点P在边长为4的等边三角形ABC内,满足,且,延长AP交边BC于点D,若BD=2DC,则的值为 .‎ 答案:‎ 考点:平面向量数量积 解析:A,P,D共线,不妨令 ‎ 又,故,‎ ‎ 因此,‎ 则,‎ ‎ 故.‎ ‎14.在△ABC中,∠A=,D是BC的中点.若AD≤BC,则sinBsinC的最大值为 ‎ ‎ .‎ 答案:‎ 考点:解三角形综合 解析:‎ ‎ .‎ 二、解答题(本大题共6小题,共计90分.请在答题纸指定区域内作答,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)‎ ‎15.(本题满分14分)‎ 如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⏊PD,E, F分别为AD,PB的中点.求证:‎ ‎(1)EF//平面PCD;‎ ‎(2)平面PAB⏊平面PCD.‎ 证明:(1)取PC中点G,连接DG、FG.‎ ‎ 在△PBC中,因为F,G分别为PB,PC的中点,所以GF∥BC,GF=BC.‎ 因为底面ABCD为矩形,且E为AD的中点,‎ 所以DE∥BC,DE=BC, ‎ 所以GF∥DE,GF=DE,所以四边形DEFG为平行四边形, ‎ 所以EF∥DG. ‎ 又因为EFË平面PCD,DGÌ平面PCD,‎ 所以EF∥平面PCD.‎ ‎(2)因为底面ABCD为矩形,所以CD⊥AD. ‎ 又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CDÌ平面ABCD,‎ 所以CD⊥平面PAD. ‎ 因为PAÌ平面PAD,所以CD⊥PA.‎ 又因为PA⊥PD,PDÌ平面PCD,CDÌ平面PCD,PD∩CD=D,所以PA⊥平面PCD.‎ 因为PAÌ平面PAB,所以平面PAB⊥平面PCD. ‎ ‎16.(本题满分14分)‎ 已知向量=(cosx,sinx),=(cosx,﹣sinx),函数.‎ ‎(1)若,x(0,),求tan(x+)的值;‎ ‎(2)若,(,),,(0,),求的值.‎ 解:(1) 因为向量m=(cosx,sinx),n=(cosx,-sinx),‎ 所以 f(x)=m·n+=cos2x-sin2x+=cos2x+. ‎ 因为f()=1,所以cosx+=1,即cosx=.‎ ‎ 又因为x∈(0,π) ,所以x=, ‎ ‎ 所以tan(x+)=tan(+)==-2-. ‎ ‎(2)若f(α)=-,则cos2α+=-,即cos2α=-.‎ 因为α∈(,),所以2α∈(π,),所以sin2α=-=-. ‎ 因为sinβ=,β∈(0,),所以cosβ==, ‎ 所以cos(2α+β)=cos2αcosβ-sin2αsinβ=(-)×-(-)×=. ‎ 又因为2α∈(π,),β∈(0,),所以2α+β∈(π,2π),‎ 所以2α+β的值为.‎ ‎17.(本题满分14分)‎ 如图,港口A在港口O的正东100海里处,在北偏东方向有条直线航道OD,航道和正东方向之间有一片以B为圆心,半径为海里的圆形暗礁群(在这片海域行船有触礁危险),其中OB=海里,tan∠AOB=,cos∠AOD=,现一艘科考船以海里/小时的速度从O出发沿OD方向行驶,经过2个小时后,一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A出发,并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇.‎ ‎(1)若快艇立即出发,判断快艇是否有触礁的危险,并说明理由;‎ ‎(2)在无触礁危险的情况下,若快艇再等x小时出发,求x的最小值.‎ 解:如图,以O为原点,正东方向为x轴,正北方向为y轴,建立直角坐标系xOy.‎ ‎ 因为OB=20,tan∠AOB=,OA=100,‎ ‎ 所以点B(60,40),且A(100,0). ‎ ‎(1)设快艇立即出发经过t小时后两船相遇于点C,‎ ‎ 则OC=10(t+2),AC=50t.‎ ‎ 因为OA=100,cos∠AOD=,‎ ‎ 所以AC2=OA2+OC2-2OA·OC·cos∠AOD,‎ ‎ 即(50t)2=1002+[10(t+2)]2-2×100×10(t+2)×.‎ ‎ 化得t2=4,解得t1=2,t2=-2(舍去), ‎ ‎ 所以OC=40.‎ ‎ 因为cos∠AOD=,所以sin∠AOD=,所以C(40,80),‎ ‎ 所以直线AC的方程为y=-(x-100),即4x+3y-400=0. ‎ ‎ 因为圆心B到直线AC的距离d==8,而圆B的半径r=8,‎ ‎ 所以d<r,此时直线AC与圆B相交,所以快艇有触礁的危险.‎ ‎ 答:若快艇立即出发有触礁的危险. ‎ ‎(2)设快艇所走的直线AE与圆B相切,且与科考船相遇于点E.‎ ‎ 设直线AE的方程为y=k(x-100),即kx-y-100k=0.‎ ‎ 因为直线AE与圆B相切,所以圆心B到直线AC的距离d==8,‎ ‎ 即2k2+5k+2=0,解得k=-2或k=-. ‎ ‎ 由(1)可知k=-舍去.‎ ‎ 因为cos∠AOD=,所以tan∠AOD=2,所以直线OD的方程为y=2x.‎ ‎ 由解得所以E(50,100),‎ ‎ 所以AE=50,OE=50, ‎ ‎ 此时两船的时间差为-=5-,所以x≥5--2=3-.‎ ‎ 答:x的最小值为(3-)小时. ‎ ‎18.(本题满分16分)‎ 如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:(a>b>0)经过点(﹣2,0)和(1,),椭圆C上三点A,M,B与原点O构成一个平行四边形AMBO.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若点B是椭圆C左顶点,求点M的坐标;‎ ‎(3)若A,M,B,O四点共圆,求直线AB的斜率.‎ 解:(1)因为椭圆+=1(a>b>0)过点(-2,0)和 (1,),‎ 所以a=2,+=1,解得b2=1,‎ 所以椭圆C的方程为+y2=1. ‎ ‎(2)因为B为左顶点,所以B (-2,0).‎ 因为四边形AMBO为平行四边形,所以AM∥BO,且AM=BO=2. ‎ 设点M(x0,y0),则A(x0+2,y0).‎ 因为点M,A在椭圆C上,所以解得 所以M(-1,±). ‎ ‎(3) 因为直线AB的斜率存在,所以设直线AB的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由消去y,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,‎ 则有x1+x2=,x1x2=. ‎ 因为平行四边形AMBO,所以=+=(x1+x2,y1+y2).‎ 因为x1+x2=,所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=k·+2m=,‎ 所以M(,). ‎ 因为点M在椭圆C上,所以将点M的坐标代入椭圆C的方程,‎ 化得4m2=4k2+1.①‎ ‎ 因为A,M,B,O四点共圆,所以平行四边形AMBO是矩形,且OA⊥OB,‎ 所以·=x1x2+y1y2=0.‎ 因为y1y2=(kx1+m)(kx1+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=,‎ 所以x1x2+y1y2=+=0,化得5m2=4k2+4.② ‎ 由①②解得k2=,m2=3,此时△>0,因此k=±. ‎ 所以所求直线AB的斜率为±.‎ ‎19.(本题满分16分)‎ 已知函数(aR),其中e为自然对数的底数.‎ ‎(1)若a=1,求函数的单调减区间;‎ ‎(2)若函数的定义域为R,且,求a的取值范围;‎ ‎(3)证明:对任意a(2,4),曲线上有且仅有三个不同的点,在这三点处的切线经过坐标原点.‎ 解:(1)当a=1时,f(x)=,‎ 所以函数f(x)的定义域为R,f'(x)=. ‎ 令f'(x)<0,解得1<x<2,‎ 所以函数f(x)的单调减区间为(1,2). ‎ ‎(2)由函数f(x)的定义域为R,得x2-ax+a≠0恒成立,‎ 所以a2-4a<0,解得0<a<4. ‎ 方法1‎ 由f(x)=,得f'(x)=.‎ ‎ ①当a=2时,f(2)=f(a),不符题意.‎ ‎ ②当0<a<2时,‎ 因为当a<x<2时,f ′(x)<0,所以f(x)在(a,2)上单调递减,‎ ‎ 所以f(a)>f(2),不符题意. ‎ ‎ ③当2<a<4时,‎ 因为当2<x<a时,f ′(x)<0,所以f(x)在(2,a)上单调递减,‎ ‎ 所以f(a)<f(2),满足题意.‎ ‎ 综上,a的取值范围为(2,4). ‎ ‎ 方法2‎ 由f(2)>f(a),得>.‎ ‎ 因为0<a<4,所以不等式可化为e2>(4-a).‎ ‎ 设函数g(x)=(4-x)-e2, 0<x<4. ‎ 因为g'(x)=ex·≤0恒成立,所以g(x)在(0,4)上单调递减.‎ 又因为g(2)=0,所以g(x)<0的解集为(2,4).‎ 所以,a的取值范围为(2,4). ‎ ‎(3)证明:设切点为(x0,f(x0)),则f'(x0)=,‎ 所以切线方程为y-=×(x-x0). ‎ 由0-=×(0-x0),‎ 化简得x03-(a+3)x02+3ax0-a=0. ‎ 设h(x)=x3-(a+3)x2+3ax-a,a∈(2,4),‎ 则只要证明函数h(x)有且仅有三个不同的零点. ‎ 由(2)可知a∈(2,4)时,函数h(x)的定义域为R,h'(x)=3x2-2(a+3)x+3a.‎ 因为△=4(a+3)2-36a=4(a-)2+27>0恒成立,‎ 所以h'(x)=0有两不相等的实数根x1和x2,不妨x1<x2.‎ 因为 x ‎(-∞,x1)‎ x1‎ ‎(x1,x2)‎ x2‎ ‎(x2,+∞)‎ h’(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ h(x)‎ 增 极大 减 极小 增 所以函数h(x)最多有三个零点. ‎ 因为a∈(2,4),所以h(0)=-a<0,h(1)=a-2>0,h(2)=a-4<0,h(5)=50-11a>0,‎ 所以h(0)h(1)<0,h(1)h(2)<0,h(2)h(5)<0.‎ 因为函数的图象不间断,所以函数h(x)在(0,1),(1,2),(2,5)上分别至少有一个零点.‎ 综上所述,函数h(x)有且仅有三个零点.‎ ‎20.(本题满分16分)‎ 若数列满足n≥2时,,则称数列(n)为的“L数列”.‎ ‎(1)若,且的“L数列”为,求数列的通项公式;‎ ‎(2)若(k>0),且的“L数列”为递增数列,求k的取值范围;‎ ‎(3)若,其中p>1,记的“L数列”的前n项和为,试判断是否存在等差数列,对任意n,都有成立,并证明你的结论.‎ 解:(1)由题意知,,所以,‎ ‎ 所以 ‎ 即数列的通项公式为 ‎(2)因为an=n+k-3(k>0),且n≥2,n∈N*时,an≠0,所以k≠1.‎ 方法1‎ 设bn=,n∈N*,所以bn==1-.‎ 因为{bn}为递增数列,所以bn+1-bn>0对n∈N*恒成立,‎ 即->0对n∈N*恒成立. ‎ 因为-=,‎ 所以->0等价于(n+k-2)(n+k-1)>0.‎ 当0<k<1时,因为n=1时,(n+k-2)(n+k-1)<0,不符合题意. ‎ 当k>1时,n+k-1>n+k-2>0,所以(n+k-2)(n+k-1)>0,‎ 综上,k的取值范围是(1,+∞). ‎ 方法2‎ 令f(x)=1-,所以f(x)在区间(-∞,2-k)和区间(2-k,+∞)上单调递增. ‎ 当0<k<1时,‎ f(1)=1->1,f(2)=1-<1,所以b2<b1,不符合题意. ‎ 当k>1时,‎ 因为2-k<1,所以f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以{bn}单调递增,符合题意.‎ 综上,k的取值范围是(1,+∞). ‎ ‎ (3)存在满足条件的等差数列,证明如下:‎ ‎ 因为,k,‎ ‎ 所以,‎ ‎ 又因为,所以,‎ 所以,‎ ‎ 即,‎ ‎ 因为,所以,‎ ‎ 设,则,且,‎ ‎ 所以存在等差数列满足题意.‎ 江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试 数学附加题 本试卷共40分,考试时间30分钟.‎ ‎21.【选做题】本题包括A,B,C三小题,请选定其中两题作答,每小题10分共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ A.选修4—2:矩阵与变换 已知矩阵A=,aR.若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P′(0,﹣2).‎ ‎(1)求矩阵A;‎ ‎(2)求点Q(0,3)经过矩阵A的2次变换后对应点Q′的坐标.‎ 解:(1) =. ‎ 因为点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P′(0,-2),所以a=-2,‎ ‎ 所以A=. ‎ ‎ (2)因为A=,所以A2= =, ‎ ‎ 所以A2= =,‎ ‎ 所以,点Q′的坐标为(-3,6).‎ B.选修4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参数方程为(t为参数),求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.‎ 解:曲线C:(x﹣1)2+y2=1,直线l:‎ 圆心C(1,0)到l的距离设为d,‎ 故曲线C上的点到直线l的距离的最大值为,即.‎ C.选修4—5:不等式选讲 已知a,b为非负实数,求证:.‎ 证明:因为a,b为非负实数,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 若时,,从而,‎ ‎ 得,‎ ‎ 若时,,从而,‎ ‎ 得,‎ ‎ 综上,.‎ ‎【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎22.(本小题满分10分)‎ 如图,在直三棱柱中ABC—A1B1C1,AB⏊AC,AB=3,AC=4,B1C⏊AC1.‎ ‎(1)求AA1的长;‎ ‎(2)试判断在侧棱BB1上是否存在点P,使得直线PC与平面AA1C1C所成角和二面角B—A1C—A的大小相等,并说明理由.‎ 解:(1)直三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,‎ ‎ 又AB,AC平面ABC,故AA1⊥AB,AA1⊥AC,又AB⊥AC ‎ 故以A为原点,{,,}为正交基底建立空间直角坐标系 ‎ 设AA1=a>0,则A1(0,0,a),C(0,4,0),B1(3,0,a),C1(0,4,a),‎ ‎ =(﹣3,4,﹣a),=(0,4,a)‎ ‎ 因为B1C⊥AC1,故,即,‎ ‎ 又a>0,故a=4,即AA1的长为4;‎ ‎ (2)由(1)知:B(3,0,0),B1(3,0,4),假设存在,‎ 设(0,0,4),,‎ 则P(3,0,4),则=(3,﹣4,4)‎ AB⊥AC,AB⊥AA1,又ACAA1=A,AC,AA1平面AA1C1C 所以AB⊥平面AA1C1C,故平面AA1C1C的法向量为=(3,0,0)‎ 设PC与平面AA1C1C所成角为,则,‎ 设平面BA1C的法向量为=(x,y,z),平面AA1C的法向量为=(3,0,0)‎ 由(1)知:=(0,4,﹣4),=(﹣3,4,0),=(0,4,0),‎ ‎,令,则=(4,3,3)‎ 设二面角B—A1C—A的大小为,则,‎ 因为,则,无解,‎ 故侧棱BB1上不存在符合题意的点P.‎ ‎23.(本小题满分10分)‎ 口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球.现有一抽奖游戏规则如下:抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球,最多取球2n+1(n)次.若取出白球的累计次数达到n+1时,则终止取球且获奖,其它情况均不获奖.记获奖概率为.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)证明:.‎ 解:(1)根据题意,每次取出的球是白球的概率为,取出的球是黑球的概率为,‎ ‎ 所以;‎ ‎ (2)证明:累计取出白球次数是n +1的情况有:‎ 前n次取出n次白球,第n +1次取出的是白球,概率为 前n+1次取出n次白球,第n +2次取出的是白球,概率为 前2n﹣1次取出n次白球,第2n次取出的是白球,概率为 前2n次取出n次白球,第2n +1次取出的是白球,概率为 则 因此 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎ 因为,‎ 所以,因此.‎