高中数学必修2教案：2_1_2空间直线与直线之间的位置关系 7页

第二课时 空间中直线与直线之间的位置关系 （一）教学目标 1．知识与技能 （1）了解空间中两条直线的位置关系； （2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理 4； （4）理解并掌握等角公理； （5）异面直线所成角的定义、范围及应用。 2．过程与方法 让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识. 3．情感、态度与价值 让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣. （二）教学重点、难点 重点：1、异面直线的概念； 2、公理 4 及等角定理. 难点：异面直线所成角的计算. （三）教学方法 师生的共同讨论与讲授法相结合； 教学过程 教学内容 师生互动 设计意图 新课导入 问题：在同一平面内，两条 直线有几种位置关系？空间的 两条直线还有没有其他位置关 系？ 师投影问题，学生讨论回答 生 1：在同一平面内，两条 直线的位置关系有：平行与相 交. 生 2：空间的两条直线除平 行与相交外还有其他位置关系， 如 教 室 里 的 电 灯 线 与 墙 角 线…… 师（肯定）：这种位置关 系我们把它称为异面直线，这 节课我们要讨论的是空间中直 线与直线的位置关系. 以 旧 导 新 培 养 学 生 知 识 的 系 统 性 和 学 生 学 习 的 积极性. 探索新知 1．空间的两条直线位置关 系： 共面直线 异面直线：不同在任何一个平面 师：根据刚才的分析，空 间的两条直线的位置关系有以 下三种：①相交直线—有且仅 有一个公共点 ②平行直线—在同一平面 相交直线：同一平面内， 有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内， 没有公共点 内，没有公共点. 内，没有公共点. ③异面直线—不同在任何 一个平面内，没有公共点. 随堂练习： 如图所示 P50-16 是一个正 方体的展开图，如果将它还原为 正方体，那么 AB，CD，EF，GH 这四条线段所在直线是异面直 线的有 对. 答案：4 对，分别是 HG 与 EF，AB 与 CD，AB 与 EF，AB 与 HG. 现在大家思考一下这三种位置 关系可不可以进行分类 生：按两条直线是否共面 可以将三种位置关系分成两类： 一类是平行直线和相交直线， 它们是共面直线.一类是异面直 线，它们不同在任何一个平面 内. 师（肯定）所以异面直线 的特征可说成“既不平行，也 不相交”那么“不同在任何一 个平面内”是否可改为“不在 一个平面内呢” 学 生 讨 论 发 现 不 能 去 掉 “任何” 师：“不同在任何一个平 面内”可以理解为“不存在一 个平面，使两异面直线在该平 面内” 培 养 学 生 分 类 的 能 力，加深学 生 对 空 间 的 一 条 直 线 位 置 关 系的理解 （1）公理 4，平行于同一 条直线的两条直线互相平行 （2）定理：空间中如果两 个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补 例 2 如 图 所 示 ， 空 间 四 边 形 ABCD 中，E、 F 、G 、H 分 别是 AB、BC、CD、DA 的中点. 求证：四边形 EFGH 是平行四 边形. 证明：连接 BD， 师：现在请大家看一看我 们的教室，找一下有无不在同 一平面内的三条直线两两平行 的. 师：我们把上述规律作为 本章的第 4 个公理. 公理 4：平行于同一条直 线的两条直线互相平行. 师：现在请大家思考公理 4 是否可以推广，它有什么作用. 生：推广空间平行于一条 直线的所有直线都互相平行.它 可以用来证明两条直线平行. 培 养 学 生 观 察 能 力 语 言 表 达 能 力 和 探 索 创 新的意识. 通 过 分 析 和引导，培 养 学 生 解 题能力. 因为 EH 是△ABD 的中位 线， 所以 EH∥BD，且 . 同理 FG∥BD，且 . 因为 EH∥FG，且 EH = FG， 所以 四边形 EFGH 为平行四边 形. 师 （肯定） 下面我们 来看一个例子 观察图，在长方体 ABCD – A′B′C′D′中，∠ADC 与∠ A′D′C′，∠ADC 与∠A′B ′C′的两边分别对应平行，这 两组角的大小关系如何？ 生：从图中可以看出， ∠ADC = ∠A′D′C′， ∠ADC + ∠A′B′C′=180° 师：一般地，有以下定理：…… 这个定理可以用公理 4 证明， 是公理 4 的一个推广，我们把 它称为等角定理. 师打出投影片让学生尝试 作图，在作图的基础上猜想平 行的直线并试图证明. 师：在图中 EH、FG 有怎样的 特点？它们有直接的联系吗？ 引导学生找出证明思路. 探索新知 3．异面直线所成的角 （1）异面直线所成角的概 念. 已知两条异面直线 a、b， 经过空间任一点 O 作直线 a′ ∥a，b′∥b，我们把 a′与 b′ 所成的锐角(或直角)叫做异面 直线 a 与 b 所成的角(或夹角). （2）异面直线互相垂直 如果两条异面直线所成的 角是直角，那么我们就说这两条 直线互相垂直. 两条互相垂直的 异面直线 a、b，记作 a⊥b. 例 3 如图，已知正方体 师讲述异面直线所成的角 的定义，然后学生共同对定义 进行分析，得出如下结论. ①两条异面直线所成角的 大小，是由这两条异面直线的 相互位置决定的，与点 O 的位 置选取无关； ②两条异面直线所成的角 ； ③因为点 O 可以任意选取， 这就给我们找出两条异面直线 所成的角带来了方便，具体运 用时，为了简便，我们可以把 加 深 对 平 面 直 线 所 成 角 的理解，培 养 空 间 想 象 能 图 力 和 转 化 化 归以能力. 1 2EH BD= 1 2FG BD= (0, ]2 πθ ∈ ABCD – A′B ′C′D′. （1）哪些 棱所在直线与 直线 BA′是异面直线？ （2）直线 BA′和 CC′的 夹角是多少？ （3）哪此棱所在的直线与 直线 AA′垂直？ 解：（1）由异面直线的定义 可知，棱 AD 、DC 、CC ′、DD ′、D′C′、B′C′所在直线分 别与直线 BA′是异面直线. （ 2 ） 由 BB′∥CC′ 可 知 ， ∠B′BA′ 为异面直线 B′A 与 CC′ 的 夹角，∠B′BA′= 45°. （3）直线 AB、BC、CD、 DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别 与直线 AA′垂直. 点 O 选在两条异面直线的某一 条上； ④找出两条异面直线所成 的角，要作平行移动（作平行 线），把两条异面直线所成的角 转化为两条相交直线所成的角； ⑤当两条异面直线所成的 角是直线时，我们就说这两条 异面直线互相垂直，异面直线 a 和 b 互相垂直，也记作 a⊥b； ⑥以后我们说两条直线互 相垂直，这两条直线可能是相 交的，也可能是不相交的，即 有共面垂直，也有异面垂直这 样两种情形. 然后师生共同分析例题 随堂练习 1．填空题： （1）如图，AA′是长方体的 一条棱，长方体中与 AA′平行的 棱共有 条. （2）如果 OA∥O′A′，OB∥ O′B′ ， 那 么 ∠ AOB 和 ∠A′O′B′ . 答案：（1）3 条. 分别是 BB′，CC′，DD′；（2）相等或 互补. 学生独立完成 答案：. 2．（1）因为 BC∥B′C′，所 以 ∠B′C′A′ 是 异 面 直 线 A′C′ 与 BC 所成的角. 在 Rt△A′B′C′中， A′B′= ， B′C′= ， 所 以 ∠B′C′A′ = 45°. （2）因为 AA′∥BB′，所以 ∠B′BC′是异面直线 AA′ 和 BB′ 所成的角. 在 Rt△BB′C′中，B′C′ = AD = ，BB′= AA′=2， 所以 BC′= 4，∠B′BC′= 60°. 因此，异面直线 AA′与 BC′ 所成的角为 60°. 2 3 2 3 2 3 2．如图，已知长方体 ABCD – A′B′C′D′中，AB = ，AD = ，AA′ =2. （1）BC 和 A′C′所成的角 是多少度？ （2）AA′ 和 BC′ 所成的角 是多少度？ 归纳总结 1．空间中两条直线的位置 关系. 2．平行公理及等角定理. 3．异面直线所成的角. 学生归纳，教师点评并完善 培 养 学 生 归 纳 总结能力， 加 深 学 生 对 知 识 的 掌握，完善 学 生 知 识 结构. 作业 2.1 第二课时 习案 学生独立完成 固化知识 提升能力 附加例题 例 1 “a、b 为异面直线”是指： ①a∩b = ，且 a∥b； ②a 面 ，b 面 ，且 a∩b = ； ③a 面 ，b 面 ，且 ∩ = ； ④a 面 ，b 面 ； ⑤不存在面 ，使 a 面 ，b 面 成立. 上述结论中，正确的是（ ） A．①④⑤正确 B．①③④正确 C．仅②④正确 D．仅①⑤正确 【解析】 ①等价于 a 和 b 既不相交，又不平行，故 a、b 是异面直线；②等价于 a、b 不同在同一平面内，故 a、b 是异面直线.故选 D 例 2 如果异面直线 a 与 b 所成角为 50°，P 为空间一定点，则过点 P 与 a、b 所成的 2 3 2 3 ∅ ⊂ α ⊂ β ∅ ⊂ α ⊂ β α β ∅ ⊂ α ⊄ α α ⊂ α ⊂ α 角都是 30°的直线有且仅有 条. 【解析】如图所示，过定点 P 作 a、b 的平行线 a′、b′，因 a、b 成 50°角，∴a′与 b′也成 50°角.过 P 作∠A′PB′ 的平分线，取较小的角有 ∠A′PO =∠B′PO = 25°. ∵∠APA′＞A′PO， ∴过 P 作直线 l 与 a′、b′成 30°角的直线有 2 条. 例 3 空间四边形 ABCD，已知 AD =1，BD = ，且 AD⊥BC，对角 线 BD = ，AC = ，求 AC 和 BD 所成的角。 【解析】取 AB、AD、DC、BD 中点为 E、F、G、M，连 EF、FG、 GM、ME、EG. 则 MG EM ∵AD⊥BC ∴EM⊥MG 在 R t△EMG 中，有 在 RFG 中，∵EF = ∴EF 2 +FG 2 = EG 2 ∴EF⊥FG，即 AC⊥BD ∴AC 和 BD 所成角为 90°. 【点评】根据异面直线成角的定义，异面直线所成角的求法通常采用平移直线，转化为 3 13 2 3 2 1 2 BC 1 2 AD 2 21 3( ) ( ) 12 2EG = + = 1 13 2 4BD = 1 13 2 4FG AC= = a b A a′ b′ OP A′ B′ ∥＝ ∥＝ 相交直线所成角，注意角的范围是 .(0, ]2 π