高中数学必修2教案：第三章 章末复习提升 8页

‎1．直线的倾斜角与斜率 ‎(1)倾斜角与斜率从“形”和“数”两方面刻画了直线的倾斜程度，但倾斜角α是角度(0°≤α<180°)，是倾斜度的直接体现；斜率k是实数(k∈(－∞，＋∞))，是倾斜程度的间接反映．在解题的过程中，用斜率往往比用倾斜角更方便．‎ ‎(2)倾斜角与斜率的对应关系：当α＝90°时，直线的斜率不存在；当α≠90°时，斜率k＝tan α，且经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率kAB＝.‎ ‎(3)当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k由0(含0)逐渐增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到0(不含0)．‎ ‎2．直线的五种方程及比较 名称 方程 常数的几何意义 适用条件 点斜式 y－y0＝k(x－x0)‎ ‎(x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率 直线不垂直于x轴 斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 直线不垂直于x轴 两点式 ＝ ‎(x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点 直线不垂直于x轴和y轴 截距式 ＋＝1‎ a，b分别是直线在x轴，y轴上的非零截距 直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点 一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)‎ A，B，C为系数 任何情况 特殊直线 x＝a(y轴：x＝0)‎ 垂直于x轴且过点(a,0)‎ 斜率不存在 y＝b(x轴：y＝0)‎ 垂直于y轴且过点(0，b)‎ 斜率k＝0‎ 解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论．‎ ‎3．两直线的平行与垂直 直线方程 l1：y＝k1x＋b1，‎ l2：y＝k2x＋b2‎ l1：A1x＋B1y＋C1＝0，‎ l2：A2x＋B2y＋C2＝0‎ 平行的等价条件 l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2‎ l1∥l2‎ ‎⇔A1B2－A2B1＝0，‎ 且B1C2－B2C1≠0‎ 垂直的等价条件 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1‎ l1⊥l2⇔‎ A1A2＋B2B1＝0‎ 由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件的限制；同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方程的系数关系时，要根据题目条件设出合理的直线方程．‎ ‎4．距离问题 类型 已知条件 公式 两点间的距离 A(x1，y1)，B(x2，y2)‎ d＝ 点到直线的距离 P(x0，y0) l：Ax＋By＋C＝0‎ d＝ 两条平行直线间的距离 l1：Ax＋By＋C1＝0，‎ d＝ l2：Ax＋By＋C2＝0‎ ‎(A，B不同时为0)‎ 学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的几何意义，解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合．‎ ‎5．直线系方程 直线系方程是解析几何中直线方程的基本内容之一，它把具有某一共同性质的直线族表示成一个含参数的方程，然后根据直线所满足的其他条件确定出参数的值，进而求出直线方程．直线系方程的常见类型有：‎ ‎(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；‎ ‎(2)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：‎ Ax＋By＋λ＝0(λ是参数，λ≠C)；‎ ‎(3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：‎ Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；‎ ‎(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ是参数，当λ＝0时，方程变为A1x＋B1y＋C1＝0，恰好表示直线l1；当λ≠0时，方程表示过直线l1和l2的交点，但不含直线l2)．‎ ‎6．“对称”问题的解题策略 对称问题主要有两大类：一类是中心对称，一类是轴对称．‎ ‎(1)中心对称 ‎①两点关于点对称，设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点为P2(2a－x1,2b－y1)，即P为线段P1P2的中点．特别地，P(x，y)关于原点对称的点为P′(－x，－y)．‎ ‎②两直线关于点对称，设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于点P对称的点在另一条直线上，并且l1∥l2，P到l1，l2的距离相等．‎ ‎(2)轴对称 ‎①两点关于直线对称，设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且线段P1P2的中点在l上，这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程．‎ ‎②两直线关于直线对称，设l1，l2关于直线l对称．‎ 当三条直线l1，l2，l共点时，l上任意一点到l1，l2的距离相等，并且l1，l2中一条直线上任 意一点关于l对称的点在另外一条直线上；‎ 当l1∥l2∥l时，l1与l间的距离等于l2与l间的距离．‎ 题型一　直线的倾斜角和斜率 倾斜角和斜率分别从“形”和“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度．倾斜角α与斜率k的对应关系和单调性是解题的易错点，应引起特别重视．‎ ‎(1)对应关系 ‎①α≠90°时，k＝tan α.‎ ‎②α＝90°时，斜率不存在．‎ ‎(2)单调性 当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k由0(含0)逐渐增大到＋∞，然后由－∞逐渐增大到0(不含0)．‎ 经过A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)两点的直线的斜率公式k＝(x1≠x2)，应注意其适用的条件x1≠x2，当x1＝x2时，直线斜率不存在．‎ 例1　(1)如图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1与l2垂直，求l1，l2的斜率．‎ ‎(2)已知直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．‎ 解　(1)由图形可知，α2＝α1＋90°，则k1，k2可求．‎ 直线l1的斜率k1＝tan α1＝tan 30°＝.‎ ‎∵直线l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，‎ ‎∴直线l2的斜率k2＝tan 120°＝tan(180°－60°)＝‎ ‎－tan 60°＝－.‎ ‎(2)∵P(－1,2)，A(－2，－3)，B(3,0)，‎ ‎∴kPA＝＝5，kPB＝＝－.‎ 当l由PA变化到与y轴平行时，其倾斜角为α增至90°，斜率变化范围为[5，＋∞)，‎ 当l由与y轴平行变化到PB的位置时，其倾斜角由90°增至β，斜率变化范围为 .‎ ‎∴直线l的斜率的取值范围是∪[5，＋∞)．‎ 跟踪演练1　求经过A(m,3)、B(1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．‎ 解　当m＝1时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为：α＝90°.‎ 当m≠1时，由斜率公式可得k＝＝，‎ ‎(1)当m>1时，k＝>0，所以直线的倾斜角的取值范围是0°<α<90°.‎ ‎(2)当m<1时，k＝<0，所以直线的倾斜角的取值范围是90°<α<180°.‎ 题型二　直线的方程 ‎(1)求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况．‎ ‎(2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单．‎ 例2　过点P(－1,0)，Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．‎ 解　(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；‎ ‎(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y＝kx＋2.‎ 令y＝0，分别得x＝－1，x＝－.‎ 由题意得＝1，即k＝1.‎ 则直线的方程为y＝x＋1，y＝x＋2，‎ 即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.‎ 综上可知，所求的直线方程为x＝－1，x＝0，或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.‎ 跟踪演练2　将直线的方程x－2y＋6＝0：‎ ‎(1)化成斜截式，并指出它的斜率与在y轴上的截距；‎ ‎(2)化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距．‎ 解　(1)将原方程移项得2y＝x＋6，两边同除以2，得斜截式y＝x＋3，因此它的斜率k＝，在y轴上的截距为3.‎ ‎(2)将原方程移项得x－2y＝－6，两边同除以－6，得截距式＋＝1.由方程可知，直线在x 轴、y轴上的截距分别为－6,3.‎ 题型三　直线的位置关系 两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直．通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系．解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况．‎ 例3　已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a、b的值．‎ ‎(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；‎ ‎(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、l2的距离相等．‎ 解　(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0.‎ 即a2－a－b＝0，①‎ 又点(－3，－1)在l1上，‎ ‎∴－3a＋b＋4＝0.②‎ 由①②解得a＝2，b＝2.‎ ‎(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a，‎ ‎∴l1的斜率也存在，＝1－a，即b＝.‎ 故l1和l2的方程可分别表示为 l1∶(a－1)x＋y＋＝0，‎ l2：(a－1)x＋y＋＝0.‎ ‎∵原点到l1与l2的距离相等，‎ ‎∴4＝，解得a＝2或a＝.‎ 因此或 跟踪演练3　已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.‎ ‎(1)试判断l1与l2是否平行；‎ ‎(2)l1⊥l2时，求a的值．‎ 解　(1)若l1∥l2，‎ 则 ‎∴a＝－1.‎ ‎∴a＝－1时，l1∥l2.‎ ‎(2)当l2的斜率不存在时，a＝1.‎ 则l2：x＝0，l1：x＋2y＋6＝0.‎ 显然l1与l2不垂直．‎ 当l2斜率存在时，a≠1.‎ 则k2＝，k1＝－.‎ ‎∵l1⊥l2，‎ ‎∴k1·k2＝·＝－1.‎ ‎∴a＝.‎ 题型四　分类讨论思想 分类讨论思想其实质就是将整体问题化为部分问题来解决．在解题过程中，需选定一个标准，根据这个标准划分成几个能用不同形式解决的小问题，从而使问题得到解决．‎ 在本章中涉及到分类讨论的问题主要是由直线的斜率是否存在及直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式的局限性引起的分类讨论问题．‎ 例4　设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．‎ 解　①当2－a＝0，即a＝2时，直线经过原点，满足条件，此时直线的方程为：3x＋y＝0.‎ ‎②当a＝－1时，直线在x轴上无截距，不符合题意，故当a≠－1且a≠2时，由题意得：‎ ＝a－2，解得：a＝0.‎ 此时直线的方程为：x＋y＋2＝0.‎ 综上，所求直线方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.‎ 跟踪演练4　直线l经过点P(2,3)，且在x，y轴上的截距互为相反数，试求该直线的方程．‎ 解　①当截距都为0时，直线过原点，此时k＝，‎ 所以直线方程为y＝x.‎ ‎②当截距都不为0时，根据题意，‎ 设所求直线的方程为＋＝1.‎ ‎∵直线过点P(2,3)，∴＋＝1，‎ 得a＝－1.∴直线方程为x－y＋1＝0.‎ 综上，所求直线方程为x－y＋1＝0或y＝x.‎ ‎1.在平面解析几何中，用代数知识解决几何问题时应首先挖掘出几何图形的几何条件，把它们进一步转化为代数方程之间的关系求解．‎ ‎2．关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指：两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过这两个条件列方程组求解．‎ ‎3．涉及直线斜率问题时，应从斜率存在与不存在两方面考虑，防止漏掉情况．‎