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- 2021-06-20 发布
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1．(2015·山东，1，易)已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T＝( )
A．(－2，1] B．(－∞，－4]
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
【答案】 C 由一元二次不等式解法知，T＝{x|－4≤x≤1}，由补集的定义知∁RS＝{x|x≤－2}，借助数轴分析法知(∁R S)∪T＝{x|x≤1}，故选C.
思路点拨：解答本类题先根据有关知识化简两个集合，然后再借助数轴进行相关运算．
6．(2014·山东，2，中)设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝( )
A．[0，2] B．(1，3) C．[1，3) D．(1，4)
【答案】 C 由|x－1|<2，得－20}，B＝{x|－0}＝{x|x>2，或x<0}，在数轴上画出集合A，B分别表示的范围，如图所示．
由图可知，A∪B＝R.
方法二：取实数－1，可得－1∈A且－1∈B，排除选项A；取实数0，可知0∉A，但0∈B，排除选项C；取实数3，可知3∈A，但3∉B，排除选项D.只有选项B正确．
(2)根据题意可分四种情况：
a．若①正确，则a＝1，b＝1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组有0个；
b．若②正确，则a≠1，b≠1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组为(2，3，1，4)和(3，2，1，4)；
c．若③正确，则a≠1，b＝1，c＝2，d＝4，符合条件的有序数组为(3，1，2，4)；
d．若④正确，则a≠1，b＝1，c≠2，d≠4，符合条件的有序数组为(2，1，4，3)，(4，1，3，2)，(3，1，4，2)．
所以共有6个．
【答案】 (1)B (2)6
【点拨】 解题(1)的关键是弄清集合的有关概念；解题(2)时易出现分类不严谨、审题不认真而导致找不到解题突破口的错误．
1.与集合中元素有关问题的解法
(1)确定集合的元素是什么，即是数集还是点集．
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．
2．有关集合关系判断的解答策略
(1)集合中元素的互异性，可以作为解题的依据和突破口．
(2)对于解集关系问题，往往利用数轴进行分析．
(3)求解含参数的方程或不等式时，要对参数进行分类讨论．
在用数轴表示集合间的关系时，其端点能否取到一定要注意用回代检验的方法来确定．如果两个集合的端点相同，两个集合是否能同时取到端点往往决定集合之间的关系．
(2013·山东，2)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A， y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3 C．5 D．9
【答案】 C ①当x＝0时，y＝0，1，2，x－y＝0，－1，－2；
②当x＝1时，y＝0，1，2，x－y＝1，0，－1；
③当x＝2时，y＝0，1，2，x－y＝2，1，0.
综上可知，x－y的可能取值为－2，－1，0，1，2.共5个．
考向2 集合的基本运算
1．集合的运算及性质
名称
交集
并集
补集
符号
A∩B
A∪B
∁UA
数学语言
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
∁UA＝{x|x∈U且x∉A}
图形
运算性质
A∩B⊆A，
A∩B⊆B，
A∩∅＝∅
B⊆A∪B，
A⊆A∪B，
A∪∅＝A
A∪(∁UA)＝U
A∩(∁UA)＝∅，
∁U(∁UA)＝A
空集(∅)的特殊性：在解题中，若未指明集合非空时，要考虑空集的可能性，如A⊆B，则有A＝∅和A≠∅两种可能，此时应分类讨论．
2．集合间运算性质的重要结论
(1)A∪B＝A⇔B⊆A.
(2)A∩B＝A⇔A⊆B.
(3)A∩B＝A∪B⇔A＝B.
(4)狄摩根定律：∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；
∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
(1)(2014·广东，1)已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝( )
A．{0，1} B．{－1，0，2}
C．{－1，0，1，2} D．{－1，0，1}
(2)(2014·辽宁，1)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|00}，
∴(∁UA)∩B＝{x|x≥1}．
【答案】 {x|x≥1}
考向3 集合的新定义问题
以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．
(2013·广东，8)设整数n≥4，集合X＝{1，2，3，…，n}．令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x0，即x<1，
∴∁RA＝{x|x≥1}．
2．(2015·山东潍坊三模，1)已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝，则A∩B＝( )
A．[－1，3] B．{－1，3}
C．{－1，1} D．{－1，1，3}
【答案】 C ∵B＝＝{x|－1≤x<3}，又集合A为奇数集，
∴A∩B＝{－1，1}，故选C.
3．(2015·河北唐山二模，2)集合M＝{2，log3a}，N＝{a，b}，若M∩N＝{1}，则M∪N＝( )
A．{0，1，2} B．{0，1，3} C．{0，2，3} D．{1，2，3}
【答案】 D 因为M∩N＝{1}，所以log3a＝1，即a＝3，所以b＝1，即M＝{2，1}，N＝{3，1}，所以M∪N＝{1，2，3}，故选D.
4．(2014·湖北黄冈中学质检，1)已知全集U，集合A⊆B⊆U，则有( )
A．A∩B＝B B．A∪B＝A
C．(∁UA)∩(∁UB)＝∁UB D．(∁UA)∪(∁UB)＝∁UB
【答案】 C ∵A⊆B⊆U，∴A∩B＝A，故选项A不正确；A∪B＝B，故选项B不正确；(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝∁UB，故选项C正确；(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)＝∁UA，故选项D不正确．故选C.
5．(2015·安徽合肥模拟，2)已知全集U＝R，A＝{x|x>1}，B＝{x|x2－2x>0}，则∁U(A∪B)＝( )
A．{x|x≤2} B．{x|x≥1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0≤x≤2}
【答案】 C 由x2－2x>0得x>2或x<0，即B＝{x|x<0，或x>2}，∴A∪B＝{x|x<0，或x>1}，
∴∁U(A∪B)＝{x|0≤x≤1}．
6．(2014·河南开封二模，1)设集合U＝R，A＝{x|2x(x－2)<1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{x|x≥1}
B．{x|1≤x<2}
C．{x|00}＝{x|x<1}，则∁UB＝{x|x≥1}，阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2}．
7．(2015·浙江金丽衢十二校联考，8)设集合S＝{A0，A1，A2}，在S上定义运算⊕：Ai⊕Aj＝Ak，其中k为i＋j被3除的余数，i，j∈{1，2，3}，则使关系式(Ai⊕Aj)⊕Ai＝A0成立的有序数对(i，j)总共有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】 C i＝1时，j＝1符合要求；i＝2时，j＝2符合要求；i＝3时，j＝3符合要求，所以使关系式(Ai⊕Aj)⊕Ai＝A0成立的有序数对(i，j)有(1，1)，(2，2)，(3，3)，共3对．
思路点拨：按照i＝1，2，3的顺序，寻找适合要求的j的值，使问题得解．
8．(2015·福建泉州模拟，11)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩(∁UA)＝∅，则m＝________.
【解析】 A＝{－1，2}，若B＝∅，则m＝0；若B＝{－1}，则m＝1；若B＝{2}，则m＝－.
【答案】 0，1，－
9．(2015·河北保定一模，14)若非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则能使A⊆B成立的实数a的集合是________．
【解析】 由数轴可得解得6≤a≤9.
【答案】 {a|6≤a≤9}
10．(2015·河南郑州质检，13)已知集合A，B，定义集合A与B的一种运算A⊕B，其结果如下表所示：
A
{1，2，3，4}
{－1，1}
{－4，8}
{－1，0，1}
B
{2，3，6}
{－1，1}
{－4，－2，0，2}
{－2，－1，0，1}
A⊕B
{1，4，6}
∅
{－2，0，2，8}
{－2}
按照上述定义，若M＝{－2 012，0，2 013}，N＝{－2 013，0，2 014}，则M⊕N＝________．
【解析】 由给出的定义知，集合A⊕B的元素是由所有属于集合A但不属于集合B和属于集合B但不属于集合A的元素构成的，即A⊕B＝{x|x∈A且x∉B，或x∈B且x∉A}．故M⊕N＝{－2 012，2 013，－2 013，2 014}．
【答案】 {－2 012，2 013，－2 013，2 014}
1．(2015·湖南，2，易)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 C 由于A∩B＝A⇔A⊆B，
所以A∩B＝A是A⊆B的充要条件．
2．(2015·安徽，3，易)设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 A ∵2x＞1，∴2x＞20，x＞0，
∴q：x＞0.又∵p：1＜x＜2，
∴p⇒q但qp，
∴p是q的充分不必要条件．
3．(2015·北京，4，易)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 B 若α∥β且m⊂α，则m∥β成立．但由m⊂α，m∥β不能推出α∥β，如图所示．
∴“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．
4．(2015·安徽，5，易)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
【答案】 D A中，垂直于同一平面的两个平面可以平行，也可以相交；B中，平行于同一平面的两条直线可以相交，平行或异面；C中，α与β相交，只要在α内平行于两平面交线的直线必平行于另一个平面；D中，垂直于同一平面的两条直线一定平行．故选D.
5．(2015·浙江，6，中)设A，B是有限集，定义：d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中元素的个数．
命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)＞0”的充分必要条件；
命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)．( )
A．命题①和命题②都成立
B．命题①和命题②都不成立
C．命题①成立，命题②不成立
D．命题①不成立，命题②成立
【答案】 A 命题①显然正确．
对于命题②：设d(A)＝a，d(B)＝b，d(C)＝c，
则d(A，C)≤|a＋c|＝|a－b＋b－c|≤|a－b|＋|b－c|≤d(A，B)＋d(B，C)，
所以命题②也成立．故选A.
6．(2015·湖北，5，中)设a1，a2，…，an∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，an成等比数列；
q：(a＋a＋…＋a)(a＋a＋…＋a)＝(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)2，则( )
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【答案】 A ①证p⇒q，假设{an}的公比为t，
则a，a，…，a；a，a，…，a；a1a2，a2a3，…，an－1an也成等比数列，公比为t2.
∴(a＋a＋…＋a)(a＋a＋…＋a)
＝·，
(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)2
＝.
∴p⇒q.
②证q p(特殊值法)：
若{an}为常数列且an＝0满足题意，但{an}不是等比数列．∴qp.
故选A.
1．(2011·陕西，1，易)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )
A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b
【答案】 D 命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题为“若|a|＝|b|，则a＝－b”，故选D.
2．(2014·浙江，2，易)已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 A 当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i；若(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，则a2－b2＝0，2ab＝2，解得a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1，故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件，故选A.
3．(2013·福建，2，易)已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 A 当a＝3时，A＝{1，3}，A⊆B；当A⊆B时，a＝2或3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件，选A.
4．(2013·陕西，3，易)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 C 若a与b中有一个为零向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件；若a与b都不为零向量，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ，由|a·b|＝|a||b|得|cosθ|＝1，
则两向量的夹角为0或π，所以a∥b.若a∥b，则a与b同向或反向，故两向量的夹角为0或π，则|cosθ|＝1，所以|a·b|＝|a||b|，故“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件．
5．(2012·四川，7，易)设a，b都是非零向量．下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
【答案】 C ，分别是与a，b同方向的单位向量，由＝得a与b的方向相同．而a∥b时，a与b的方向还可能相反．故选C.
6．(2014·北京，5，中)设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 D 方法一：(特殊值法)：由q>1不能推出{an}是递增数列，如数列－2，－4，－8，－16，…；
由{an}是递增数列也不能推出公比q>1，如数列－16，－8，－4，－2，….
故“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．
方法二：当数列{an}的首项a1<0时，若q>1，则数列{an}是递减数列；当数列{an}的首项a1<0时，要使数列{an}为递增数列，则01”是“数列{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D.
7．(2013·山东，7，中)给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 A 根据题意可知，q⇒綈p，但綈p q，那么其逆否命题p⇒綈q，但綈qp，即p是綈q的充分而不必要条件．
方法点拨：本题利用等价法来判断p与綈q的关系，即利用了互为逆否命题的两个命题真假性相同这一原理．
8．(2012·安徽，6，中)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 A 先证“α⊥β⇒a⊥b”．∵α⊥β，α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，∴b⊥α.又∵a⊂α，∴
b⊥a；再证“a⊥b α⊥β”．举反例，当a∥m时，由b⊥m满足a⊥b，此时二面角αmβ可以为[0，π]上的任意角，即α不一定垂直于β.故选A.
9．(2014·天津，7，难)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】 C 先证“a>b”⇒“a|a|>b|b|”．若a>b≥0，则a2>b2，即a|a|>b|b|；若a≥0>b，则a|a|≥0>b|b|；若0>a>b，则a2b|b|.
再证“a|a|>b|b|”⇒“a>b”．若a，b≥0，则由a|a|>b|b|，得a2>b2，故a>b；若a，b≤0，则由a|a|>b|b|，得－a2>－b2，即a2b；若a≥0，b<0，则a>b.
综上，“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件．
考向1 四种命题及其相互关系
1．四种命题的结构
命题
表述形式
原命题
若p，则q
逆命题
若q，则p
否命题
若綈p，则綈q
逆否命题
若綈q，则綈p
2.四种命题间的关系
3．四种命题间的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们的真假性相同．
(2)两个命题互为逆命题或者互为否命题，它们的真假性没有关系．
如果原命题是“若p，则q”，则否命题是“若綈p，则綈q”，而命题的否定是“若p，则綈q”，即只否定结论．
(1)(2012·湖南，2)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )
A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝
(2)(2014·陕西，8)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A．真，假，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
【解析】 (1)命题的条件是p：α＝，结论是q：tan α＝1.由命题的四种形式，可知命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，显然綈q：tan α≠1，綈p：α≠，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．
(2)“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”为真命题，所以逆否命题也为真命题，逆命题为“若复数z1，z2满足|z1|＝|z2|，则z1，z2互为共轭复数”为假命题，所以否命题也为假命题，故选B.
【答案】 (1)C (2)B
【点拨】 解题(1)的关键是熟练掌握命题的四种形式；解题(2)的方法是利用互为逆否命题的两个命题真假性相同进行判断．
四种命题的关系及真假判断
(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性．
(2)判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是将命题简化，对等价的简化命题进行判断．要判断一个命题是假命题，只需举出反例．
(2015·山东菏泽模拟，3)有以下命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；
③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．
其中正确的命题为( )
A．①② B．②③
C．④ D．①②③
【答案】 D ①“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；②“面积不相等的三角形一定不全等”，是真命题；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题为真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题为假命题，故其逆否命题也是假命题．故选D.
考向2 充分、必要条件的判断
1．充分、必要条件与充要条件的含义
(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；
(3)若p⇒q且qp，则p是q的充分不必要条件；
(4)若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；
(5)若p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．
2．从集合角度理解充分、必要条件
记p，q对应的集合分别为A，B，则有
①AB，p是q的充分不必要条件；
②AB，p是q的必要不充分条件；
③A＝B，p是q的充要条件；
④A⃘B且A⊉B，p是q的既不充分也不必要条件．
3．等价转换的思想
根据四种命题之间的两组等价关系，特别是原命题与其逆否命题的等价关系，可以把充分、必要条件的判断进行相互转化．例如，“綈p是綈q的充分不必要条件”，等价于“p是q的必要不充分条件”，这种等价转化在一些比较抽象的充分、必要条件的判断中往往是化解难点的关键．
(1)(2014·福建，6)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
(2)(2014·湖北，3)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”
的( )
A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
【解析】 (1)当k＝1时，l：y＝x＋1，由题意不妨令A(－1，0)，B(0，1)，则S△AOB＝×1×1＝，所以充分性成立；当k＝－1时，l：y＝－x＋1，也有S△AOB＝，所以必要性不成立．
(2)如图可知，存在集合C，使A⊆C，B⊆∁UC，则有A∩B＝∅.若A∩B＝∅，显然存在集合C，满足A⊆C，B⊆∁UC.故选C.
【答案】 (1)A (2)C
【点拨】 题(1)利用解析几何中直线与圆的位置关系并结合充分、必要条件的定义判断；题(2)用Venn图更能直观地反映集合间的关系．
充分、必要条件的判断方法
(1)利用定义判断：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．
(2)从集合的角度判断：利用集合中包含思想判定．
(3)利用等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假．
在判断充分、必要条件时需要注意：(1)确定条件是什么、结论是什么；(2)尝试从条件推导结论，从结论推导条件；(3)确定条件是结论的什么条件．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．
(2014·安徽，2)“x<0”是“ln(x＋1)<0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 B ln(x＋1)<0⇔0a＋1}．
由綈p是綈q的必要不充分条件，知∁RB∁R A，所以解得0≤a≤.
故所求实数a的取值范围是.
【答案】
根据充要条件求解参数范围的方法
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
若典型例题3中p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
【解析】 方法一：设A＝{x||4x－3|≤1}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}．
解|4x－3|≤1，得≤x≤1，
故A＝；
解x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1，故B＝{x|a≤x≤a＋1}．
由p是q的充分不必要条件，知AB，
所以解得0≤a≤.
故所求实数a的取值范围是.
方法二：綈p是綈q的必要不充分条件
⇒綈q⇒綈p，且綈p⇒/ 綈q.
根据命题的等价性p⇒q，且q⇒/ p，
∴p是q的充分不必要条件，
即p是q的充分不必要条件⇔綈p是綈q的必要不充分条件，
∴a的取值范围是.
【答案】
1．(2015·安徽马鞍山一模，4)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
【答案】 A 否命题是原命题的条件和结论同时否定，故选A.
2．(2015·山西大同模拟，3)设a，b∈R，则“a＋b>4”是“a>2，且b>2”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 A 若a＋b>4，则不一定有a>2且b>2，如a＝1，b＝5；而当a>2且b>2时，必有a＋b>4.故“a＋b>4”是“a>2且b>2”的必要不充分条件．
3．(2015·福建宁德一中月考，3)已知条件p：x2＋x－2>0，条件q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围可以是( )
A．a≥1 B．a>1 C．a≥－1 D．a≤－2
【答案】 A 由x2＋x－2>0，得x>1，或x<－2.设p对应集合M，q对应集合N，由题意知，NM，所以a≥1.
4．(2015·山东日照模拟，2)以下说法错误的是( )
A．命题“若xy＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则xy≠0”
B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．若命题p：∃x0∈R，x＋x0＋1<0，则綈p：∀x∈R，x2＋x＋1≥0
【答案】 C 把原命题的结论和条件进行否定后，作为逆否命题的条件和结论即可，故A为真命题；
“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件．故B为真命题；
若p∧q为假命题，则p，q存在至少一个假命题，但p，q不一定均为假命题，故C为假命题；
命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0，故D为真命题．
5．(2015·河南八校联考，4)设p：f(x)＝x3－2x2－mx＋1在(－∞，＋∞)上单调递增；q：m<－，则p是q的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．以上都不对
【答案】 C 由题意知，f′(x)≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x2－4x－m≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴m≤3x2－4x在(－∞，＋∞)上恒成立．由于3x2－4x＝3－≥－，∴m≤－，即p：m≤－.
又q：m<－，∴p⇒/ q，但q⇒p，故p是q的必要不充分条件．
6．(2015·河北保定二模，4)“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A．m> B．00 D．m>1
【答案】 C 由题意知，对应方程的Δ＝(－1)2－4m<0，即m>.结合选项可知，不等式恒成立的一个必要不充分条件是m>0，故选C.
7．(2015·河南省实验中学模拟，4)设条件p：|x－2|<3，条件q：02，q：>0，则綈q是綈p的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 C ∵|3x－4|>2，∴3x－4>2或3x－4<－2，解得x>2或x<，∴p：x<或x>2，∴綈p：≤x≤2.由>0，得x2－x－2>0，∴(x－2)(x＋1)>0，解得x>2或x<－1，∴q：x>2或x<－1，∴綈q：－1≤x≤2.可知：綈p⇒綈q，反之不成立．故綈q是綈p的必要不充分条件．故选C.
9．(2015·湖南长沙模拟，12)r(x)：已知r(x)＝sin x＋cos x>m；s(x)：x2＋mx＋1>0.如果∀x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题，则实数m的取值范围是________．
【解析】 由sin x＋cos x
＝sin，
得sin x＋cos x的最小值为－.
若∀x∈R时，命题r(x)为真命题，则m<－.若命题s(x)为真命题，即∀x∈R，不等式x2＋mx＋1>0恒成立，则Δ＝m2－4<0，解得－22n，则綈p为( )
A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
【答案】 C 特称命题的否定是全称命题，故綈p：∀n∈N，n2≤2n.
3．(2015·山东，12，易)若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
【解析】 ∀x∈，tan x∈[0，1]，
∴m≥1，
∴m的最小值为1.
【答案】 1
1．(2012·湖北，2，易)命题“∃x0∈∁RQ，x∈Q”的否定是( )
A．∃x0∉∁R Q，x∈Q
B．∃x0∈∁R Q，x∉Q
C．∀x∉∁R Q，x3∈Q
D．∀x∈∁R Q，x3∉Q
【答案】 D ∀x∈∁R Q，x3∉Q，故选D.
2．(2012·辽宁，4，易)已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是( )
A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
【答案】 C 把全称量词“∀”改为存在量词“∃”，然后把“(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0”改为“(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”，即可得到该命题的否定形式，为“∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”．
3．(2014·重庆，6，易)已知命题
p：对任意x∈R，总有2x>0；
q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．
则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)
【答案】 D 因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q，綈p为假命题，綈q为真命题，(綈p)∧(綈q)，(綈p)∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，故选D.
方法点拨：判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后作出判断．
4．(2014·湖南，5，易)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】 C 若x>y，则－x<－y成立，即命题p正确；
若x>y，则x2>y2不一定成立，即命题q不正确．
则綈p是假命题，綈q是真命题，
故p∨q与p∧(綈q)是真命题，故选C.
5．(2012·江西，5，中)下列命题中，假命题为( )
A．存在四边相等的四边形不是正方形
B．z1，z2∈C，z1＋z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数
C．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y至少有一个大于1
D．对于任意n∈N*，C＋C＋…＋C都是偶数
【答案】 B 选项A正确，如菱形即符合条件；选项C正确，可由反证法设每个数均小于或等于1，则两者的和最大只有2，这与条件矛盾；选项D正确，因为C＋C＋…＋C＝2n，一定为偶数．
6．(2012·北京，14，难)已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同时满足条件：
①∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0；
②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0，
则m的取值范围是________．
【解析】 由题意知m≠0，∴f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)为二次函数，若∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0，必须抛物线开口向下，即m<0.
f(x)＝0的两根x1＝2m，x2＝－m－3，则x1－x2＝3m＋3.
(1)当x1>x2，即m>－1时，必须大根x1＝2m<1，即m<.
(2)当x1－4.
(3)当x1＝x2，即m＝－1时，x1＝x2＝－2<1也满足条件．
∴满足条件①的m的取值范围为－4－1时，小根x2＝－m－3<－4且m<0，无解．
(2)当m<－1时，小根x1＝2m<－4且m<0，解得m<－2.
(3)当m＝－1时，f(x)＝－(x＋2)2≤0恒成立，∴不满足②.
∴满足①②的m的取值范围是－40且a≠1)的图象恒过点(1，2)；命题q：若函数f(x－1)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝1对称．下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)
【答案】 B 对于函数y＝2－ax＋1，当x＝1时，y＝2－a2≠2，所以函数图象不过点(1，2)，因而命题p为假命题；函数f(x－1)为偶函数，则其图象关于y轴对称，又将f(x－1)的图象向左平移1个单位得函数f(x)的图象，故函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，故命题q为假命题．
综上可知，綈p与綈q均为真命题，所以(綈p)∧(綈q)为真命题．
易错点拨：本题易弄混f(x－1)与f(x)图象的平移方向而误选C.
考向2 含有一个量词的命题的否定
1．含有一个量词的命题的否定
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．其结构如下表所示：
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，綈p(x0)
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，綈p(x)
2.复合命题的否定
(1)“綈p”的否定是“p”．
(2)“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”．
(3)“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”．
3．常用的否定词
正面词语
等于(＝)
大于(>)
小于(<)
一定是
否定词语
不等于(≠)
不大于(≤)
不小于(≥)
不一定是
正面词语
都是
任意的
所有的
任意两个
否定词语
不都是
某个
某些
某两个
正面词语
至多有一个
至少有一个
至多有n个
否定词语
至少有两个
一个也没有
至少有n＋1个
(1)(2013·四川，4)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则( )
A．綈p：∃x∈A，2x∈B B．綈p：∃x∉A，2x∈B
C．綈p：∃x∈A，2x∉B D．綈p：∀x∉A，2x∉B
(2)(2013·重庆，2)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为( )
A．对任意x∈R，都有x2<0
B．不存在x∈R，使得x2<0
C．存在x0∈R，使得x≥0
D．存在x0∈R，使得x<0
【解析】 (1)将“∀”改为“∃”，“2x∈B”否定为“2x∉B”，即綈p：∃x∈A，2x∉B.
(2)全称命题的否定是特称命题．“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“存在x0∈R，使得x<0”，故选D.
【答案】 (1)C (2)D
【点拨】 全称命题与特称命题的否定都必须按照其既定的形式来写，应注意两个方面：一是量词的改写，二是性质p(x)的否定．对性质p(x)的准确否定是解决问题的关键．
对含有一个量词的命题进行否定的方法
(1)全称命题“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x∈M，綈p(x)”；特称命题“∃x∈M，p(x)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”．
(2)对含有存在(全称)量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在(全称)量词改成全称(存在)量词；②将结论加以否定．
这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词．
(2015·山东滨州模拟，3)命题“所有实数的平方都是正数”的否定为( )
A．所有实数的平方都不是正数
B．有的实数的平方是正数
C．至少有一个实数的平方是正数
D．至少有一个实数的平方不是正数
【答案】 D 该命题是全称命题，其否定是特称命题，即存在实数，它的平方不是正数，结合选项知D正确．
考向3 全称命题、特称命题的真假判断
(1)(2015·贵州贵阳模拟，3)下列命题是假命题的是( )
A．∃α，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β
B．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
C．∃x0∈R，使x＋ax＋bx0＋c＝0(a，b，c∈R且为常数)
D．∀a>0，函数f(x)＝ln2x＋ln x－a有零点
(2)(2014·课标Ⅰ，9)不等式组的解集记为D.有下面四个命题：
p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2；
p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2；
p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3；
p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.
其中的真命题是( )
A．p2，p3 B．p1，p2
C．p1，p4 D．p1，p3
【解析】 (1)取α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，A正确；取φ＝时，函数f(x)＝sin＝cos 2x是偶函数，B错误；对于三次函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x→－∞时，y→－∞，当x→＋∞时，y→＋∞，又f(x)在R上为连续函数，故∃x0∈R，使x＋ax＋bx0＋c＝0，C正确；当f(x)＝0时，ln2x＋ln x－a＝0，则有a＝ln2x＋ln x＝－≥－，所以∀a>0，函数f(x)＝ln2x＋ln x－a有零点，D正确，综上可知选B.
(2)不等式组表示的平面区域D如图阴影区域所示．
设z＝x＋2y，作出基本直线l0：x＋2y＝0，经平移可知直线l：z＝x＋2y经过点A(2，－1)时z取得最小值0，无最大值．对于命题p1：由于z的最小值为0，所以∀(x，y)∈D，x＋2y≥0恒成立，故x＋2y≥－2恒成立，因此命题p1为真命题；由于∀(x，y)∈D，x＋2y≥0，故∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，因此命题p2为真命题；由于z＝x＋2y的最小值为0，无最大值，故命题p3与p4错误，故选B.
【答案】 (1)B (2)B
【点拨】 解答本题的关键是正确理解全称命题、特称命题的定义，掌握判断全称命题、特称命题真假的方法．
1.判定全称命题真假的方法
(1)定义法：对给定的集合中的每一个元素x，p(x)都为真，则全称命题为真．
(2)特值法：在给定的集合内找到一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假．
2．判定特称命题真假的方法
特值法：在给定的集合中找到一个x0，使p(x0)为真，则特称命题为真，否则命题为假．
(2015·山西大同模拟，5)已知命题p：∃x0∈R，x0－2>lg x0；命题q：∀x∈，sin x＋≥2，则( )
A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧(綈q)是真命题 D．命题p∨(綈q)是假命题
【答案】 C 当x＝10时，10－2>lg 10＝1成立，所以命题p是真命题；因为x∈，所以sin x>0，sin x＋≥2＝2，当且仅当sin x＝，即sin x＝1时等号成立，又x∈，所以sin x≠1，故等号不成立，从而命题q为假命题，由此可知选项C正确．
1．(2015·河南省实验中学模拟，3)已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则綈p是( )
A．∃x∈R，sin x≥1 B．∀x∈R，sin x≥1
C．∃x∈R，sin x>1 D．∀x∈R，sin x>1
【答案】 C 全称命题的否定是特称命题，故綈p：∃x∈R，sin x>1.
2．(2015·四川资阳模拟，5)已知命题p：∃x0∈R，x＋ax＋a<0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．[0，4] B．(0，4)
C．(－∞，0)∪(4，＋∞) D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
【答案】 A 由于p是假命题，所以綈p是真命题，即綈p：∀x∈R，x2＋ax＋a≥0，所以Δ＝a2－4a≤0，解得0≤a≤4.
3．(2015·山东泰安模拟，2)如果命题“綈(p∨q)”为真命题，则( )
A．p，q均为真命题
B．p，q均为假命题
C．p，q中至少有一个为真命题
D．p，q中一个为真命题，一个为假命题
【答案】 B 因为綈(p∨q)为真命题，所以p∨q为假命题，所以p，q均为假命题，故选B.
4．(2015·广东揭阳一模，5)已知命题p：函数y＝sin 4x是最小正周期为的周期函数，命题q：函数y＝tan x在上单调递减，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈p)∨q
C．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)
【答案】 D 函数y＝sin 4x的最小正周期T＝＝，所以p是真命题；函数y＝tan x在上单调递增，故q是假命题，所以綈p为假，綈q为真，从而(綈p)∨(綈q)为真，故选D.
5．(2015·云南昆明三模，5)若“p：∃x0∈[1，4]，logx0≤a”是真命题，则实数a的最小值是( )
A．0 B．1 C．－2 D．－1
【答案】
【答案】 C 问题转化为y＝logx0在x0∈[1，4]上的取值范围，则y∈[－2，0]，故选C.
6．(2014·山东青岛二模，5)已知命题p：函数f(x)＝2ax2－x－1在(0，1)内恰有一个零点；命题q：函数y＝x2－a在(0，＋∞)上是减函数．若p∧(綈q)为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，2]
C．(1，2] D．(－∞，1]
【答案】
【答案】 C 由题意可得，对命题p，令f(0)·f(1)<0，即－1·(2a－2)<0，得a>1；对命题q，令2－a<0，即a>2，则綈q对应的a的取值范围是a≤2.∵p∧(綈q)为真命题，∴实数a的取值范围是(1，2]．
7．(2015·河北衡水调研，15)直线x＝1与抛物线C：y2＝4x交于M，N两点，点P是抛物线C准线上的一点，记＝a＋b(a，b∈R)，其中O为抛物线的顶点．
(1)当与平行时，b＝________；
(2)给出下列命题：
①∀a，b∈R，△PMN不是等边三角形；
②∃a<0且b<0，使得与垂直；
③无论点P在准线上如何运动，a＋b＝－1恒成立．
其中，所有正确命题的序号是________．
(1)∵＝(1，2)，
＝(1，－2)，
∴＝a＋b＝(a＋b，2a－2b)．
∵∥，∴2a－2b＋2(a＋b)＝0，
∴a＝0.∵抛物线的准线为x＝－1，点P在准线上，∴P点的横坐标为－1，
∴a＋b＝－1，∴b＝－1.
(2)对于①，假设是等边三角形，则P(－1，0)，|PM|＝2，|MN|＝4，|MN|≠|PM|，这与假设矛盾，∴假设不成立，原结论正确；对于②，与垂直，·＝0，得到a＝b，∴②正确；③显然成立．
【答案】 (1)－1 (2)①②③
思路点拨：解题(1)时需将，及的坐标表示出，利用共线向量坐标运算求解；解题(2)判断①时可采用反证法．
(时间：45分钟__分数：80分)
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2014·北京，1)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}
【答案】 C ∵A＝{0，2}，B＝{0，1，2}，∴A∩B＝{0，2}．故选C.
2．(2015·河南郑州模拟，2)已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x<2m}，且A⊆∁RB，那么m的值可以是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 A 由B＝{x|x<2m}，得∁R B＝{x|x≥2m}，∵A⊆∁R B，
∴2m≤2，m≤1，故选A.
3．(2015·四川绵阳一模，2)下列说法中正确的是( )
A．命题“∀x∈(0，＋∞)，2x>1”的否定是“∃x0∉(0，＋∞)，2x0≤1”
B．命题“∀x∈(0，＋∞)，2x>1”的否定是“∃x0∈(0，＋∞)，2x0≤1”
C．命题“若a>b，则a2>b2”的逆否命题是“若a2b，则a2>b2”的逆否命题是“若a2≥b2，则a≥b”
【答案】 B 根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，同时，全称量词要变成特称量词，而逆否命题既要否定条件又要否定结论，所以分析四个选项可知应该选B.
4．(2014·安徽，2)“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 B 若ln(x＋1)<0，则01 000，则綈p：∀n∈N，2n≤1 000
D．命题“∃x∈(－∞，0)，2x<3x”是真命题
【答案】 D 因为命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”，所以A正确；由a＝2能得到函数f(x)＝logax在区间(0，＋∞)上为增函数，反之，函数f(x)＝logax在区间(0，＋∞)上为增函数，a不一定等于2，所以“a＝2”是“函数f(x)＝logax在区间(0，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，所以选项B正确；命题p：∃n∈N，2n>1 000的否定为綈p：∀n∈N，2n≤1 000，所以C正确；因为当x<0时恒有2x>3x，所以命题“∃x∈(－∞，0)，2x<3x”为假命题，所以D不正确．
12．(2014·浙江杭州调研，10)如图，有六个半径都为1的圆，其圆心分别为O1(0，0)，O2(2，0)，O3(4，0)，O4(0，2)，O5(2，2)，O6(4，2)．记集合M＝{⊙Oi|i＝1，2，3，4，5，6}．若A，B为M的非空子集，且A中的任何一个圆与B中的任何一个圆均无公共点，则称(A，B)为一个“有序集合对”(当A≠B时，(A，B)和(B，A)为不同的有序集合对)．那么，M中“有序集合对”(A，B)的个数是( )
A．50 B．54
C．58 D．60
【答案】 B 注意到⊙O1与⊙O3，⊙O5，⊙O6均无公共点，集合{⊙O3，⊙O5，⊙O6}共有7个非空子集，显然它的每个非空子集与集合{⊙O1}均可组成满足题意的“有序集合对”，同理可得集合{⊙O3}，{⊙O4}，{⊙O6}分别有7个非空子集与其组成满足题意的“有序集合对”，集合{⊙O2}，{⊙O5}分别有3个非空子集与其组成满足题意的“有序集合对”，但其中重复的有8个，因此满足题意的“有序集合对”(A，B)中，其中的一个集合仅有一个元素的共有(7×4＋3×2－8)×2＝52(个)．若“有序集合对”的两个集合各有两个元素，则共有2个，即({⊙O1，⊙O4}，{⊙O3，⊙O6})和({⊙O3，⊙O6}，{⊙O1，⊙O4})，因此，满足题意的“有序集合对”共有52＋2＝54(个)，选B.
思路点拨：本题考查集合的新定义问题，解题关键是先弄清楚新定义提供的信息．
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2013·江苏，4)集合{－1，0，1}共有________个子集．
【解析】 集合{－1，0，1}的子集有∅，{－1}，{0}，{1}，{－1，0}，{－1，1}，{0，1}，{－1，0，1}，共8个．
【答案】 8
14．(2015·山西太原模拟，13)已知p：x<1或x>3，q：a－1
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