人教版高三数学总复习课时作业58 9页

课时作业58　双曲线 ‎　‎ 一、选择题 ‎1．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析：因为双曲线的焦距为10，所以c＝5.‎ 又因为P(2,1)在渐近线上，且渐近线方程为y＝x，‎ 所以1＝，即a＝2b.‎ 又因为c2＝a2＋b2＝5b2＝25，所以b2＝5，a2＝20.‎ 即双曲线方程为－＝1.‎ 答案：A ‎2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　)‎ A．2 B. C. D．1‎ 解析：由题知＝2，解得a＝1.‎ 答案：D ‎3．(2014·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析：渐近线平行于l，则＝2，又焦点为(－5,0)，则c＝5，可得c2＝a2＋b2＝5a2＝25，得a2＝5，b2＝4a2＝20，选A.‎ 答案：A ‎4．已知双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c(其中c为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：不妨取双曲线的右焦点(c,0)，双曲线的渐近线为y＝±x，即bx±ay＝0.则焦点到渐近线的距离为＝c，即b＝c，从而b2＝c2＝c2－a2，所以c2＝a2，即e2＝，所以离心率e＝.‎ 答案：A ‎5．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(　　)‎ A.　　　　B．3 C.m　　　　D．3m 解析：由题意，可得双曲线C为－＝1，则双曲线的半焦距c＝.不妨取右焦点(，0)，其渐近线方程为y＝± x，即x±y＝0.所以由点到直线的距离公式得d＝＝.故选A.‎ 答案：A ‎6．已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　)‎ A．(1，) B．(1，]‎ C．(，＋∞) D．[，＋∞)‎ 解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，‎ 则由题意得>2.‎ ‎∴e＝＝>＝.‎ 答案：C 二、填空题 ‎7．(2014·北京卷)设双曲线C经过点(2,2)，且与－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________．‎ 解析：双曲线－x2＝1的渐近线为y＝±2x，故C的渐近线为y ‎＝±2x，设C：－x2＝m，并将点(2,2)代入C的方程，解得m＝－3，故C的方程为－x2＝－3，即－＝1.‎ 答案：－＝1　y＝±2x ‎8．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．‎ 解析：不妨设点P在双曲线的右支上且F1，F2分别为左、右焦点，因为PF1⊥PF2，所以(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2，‎ 又因为|PF1|－|PF2|＝2，‎ 所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，可得2|PF1|·|PF2|＝4，‎ 则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|＋|PF2|＝2.‎ 答案：2 ‎9．(2014·浙江卷)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．‎ 解析：由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为y＝x和y＝－x，分别与x－3y＋m＝0联立，解得A，B，由|PA|＝|PB|得，AB中点Q的坐标为Q，由PQ与已知直线垂直，解得2a2＝8b2‎ ‎＝8(c2－a2)，即＝，故e＝＝.‎ 答案： 三、解答题 ‎10．双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||，||，||成等差数列，且与同向．‎ ‎(1)求双曲线的离心率．‎ ‎(2)设直线AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．‎ 解：(1)设|OA|＝m－d，|AB|＝m，|OB|＝m＋d，‎ 由勾股定理可得(m－d)2＋m2＝(m＋d)2，‎ 得d＝m，tan∠AOF＝，‎ tan∠AOB＝tan2∠AOF＝＝，‎ 由倍角公式，得＝，解得＝，‎ 则离心率e＝.‎ ‎(2)不妨设过F与l1垂直的直线方程为y＝－(x－c)，与双曲线方程－＝1联立，将a＝2b，c＝b代入，化简有x2－x＋21＝0，‎ ‎4＝|x1－x2|‎ ‎＝，‎ 将数值代入，有4＝，‎ 解得b＝3，故所求的双曲线方程为－＝1.‎ ‎11．设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．‎ 解：(1)由题意知a＝2，∴一条渐近线为y＝x.‎ 即bx－2y＝0.∴＝.‎ ‎∴b2＝3，∴双曲线的方程为－＝1.‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，‎ 则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.‎ 将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0，‎ 是x1＋x2＝16，y1＋y2＝12.‎ ‎∴∴ ‎∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．‎ ‎1．已知双曲线－＝1(b>0)的左，右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在双曲线上．则·＝(　　)‎ A．－12 B．－2‎ C．0 D．4‎ 解析：由渐近线方程为y＝x知双曲线是等轴双曲线，不妨设双曲线方程是x2－y2＝2，于是F1，F2坐标分别是(－2,0)和(2,0)，且P(，1)或P(，－1)．由双曲线的对称性，不妨取P(，1)，则＝(－2－，－1)，＝(2－，－1)．所以·＝(－2－，－1)·(2－，－1)＝－(2＋)·(2－)＋1＝0.‎ 答案：C ‎2．已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)‎ A．(1,2) B．(，2)‎ C．(，2) D．(2,3)‎ 解析：由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEF<即可．直线AB 的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝，取点A，则|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<，即1，故10，b>0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，且||＝||，则该双曲线的离心率为________．‎ 解析：∵(＋)·＝0，∴OB⊥PF2，且B为PF2的中点．又O是F1F2的中点，∴OB∥PF1，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|－|PF2|＝2a，又∵||＝||，∴|PF2|＝(＋1)a，|PF1|＝(＋3)a，∴由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得(12＋6)a2＋(4＋2)a2＝4c2，∴e2＝4＋2，∴e＝＋1.‎ 答案：＋1‎ ‎4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为.‎ ‎(1)求a、b；‎ ‎(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．‎ 解：(1)由题设知＝3，即＝9，故b2＝8a2.‎ 所以C的方程为8x2－y2＝8a2.‎ 将y＝2代入上式，并求得x＝± .‎ 由题设知，2 ＝，解得a2＝1.‎ 所以a＝1，b＝2.‎ ‎(2)证明：由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C的方程为8x2－y2＝8.　①‎ 由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，|k|<2，代入①并化简得(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝，x1·x2＝.‎ 于是|AF1|＝＝ ‎＝－(3x1＋1)，‎ ‎|BF1|＝＝ ‎＝3x2＋1.‎ 由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，‎ 即x1＋x2＝－.‎ 故＝－，解得k2＝，从而x1·x2＝－.‎ 由于|AF2|＝＝＝1－3x1，|BF2|＝＝＝3x2－1.‎ 故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，‎ ‎|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.‎ 因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．‎