高考数学复习专题练习第5讲 简单几何体的面积与体积 7页

第5讲 简单几何体的面积与体积 一、选择题 ‎1．长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为(　　)‎ A.π　　　　　　　 B．56π C．14π D．64π 解析 设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，则得 令球的半径为R，则(2R)2＝22＋12＋32＝14，[来源 ‎∴R2＝，‎ ‎∴S球＝4πR2＝14π.‎ 答案 C ‎2．若等腰直角三角形的直角边长为3，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是(　　)‎ A．9π B．12π C．6π D．3π 解析 由题意知所得几何体为圆锥，且底面圆半径为3，高为3，故V＝·(π·32)·3＝9π.‎ 答案 A ‎3．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积(单位：cm2)为(　　)．‎ A．48 B．‎64 ‎ C．80 D．120‎ 解析　据三视图知，该几何体是一个正四棱锥(底面边长为8)，直观图如图，PE为侧面△PAB的边AB上的高，且PE＝5.∴此几何体的侧面积是S＝4S△PAB＝4××8×5＝80(cm2)．‎ 答案　C ‎4．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(　　)．‎ A. B. C. D. 解析　在直角三角形ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，∴SA＝＝；同理SB＝.过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，故SC⊥平面ABD，且平面ABD为等腰三角形，因∠ASC＝30°，故AD＝SA＝，则△ABD的面积为×1× ‎＝，则三棱锥的体积为××2＝.‎ 答案　A ‎5．某品牌香水瓶的三视图如下(单位：cm)，则该几何体的表面积为 (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.cm2 B.cm2‎ C.cm2 D.cm2‎ 解析　该几何体的上下为长方体，中间为圆柱．‎ S表面积＝S下长方体＋S上长方体＋S圆柱侧－2S圆柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π××1－2×π2＝94＋.‎ 答案　C ‎6．已知球的直径SC＝4，A、B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S－ABC的体积为(　　)‎ A．3 B．2 C. D．1‎ 解析 由题意知，如图所示，在棱锥SABC中，SAC，SBC 都是有一个角为30°的直角三角形，其中AB＝，SC＝4，所以 SA＝SB＝2，AC＝BC＝2.作BD⊥SC于D点，易证SC⊥平面 ABD，因此V＝××()2×4＝.‎ 答案 C 二、填空题 ‎7．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于________cm3.‎ 解析 由三视图可知，该三棱锥底面为两条直角边分别为‎1 cm和‎3 cm的直角三角形，一条侧棱垂直于底面，垂足为直角顶点，故高为‎2 cm，所以体积 V＝××1×3×2＝1(cm3)．‎ 答案 1‎ ‎8．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m3.‎ 解析　由三视图可知，该几何体是组合体，上面是长、宽、高分别是6,3,1的长方体，下面是两个半径均为的球，其体积为6×3×1＋2××π×3＝18＋9π(m3)．‎ 答案　18＋9π ‎9．已知某几何体的直观图及三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的表面积为________．‎ 解析　借助常见的正方体模型解决．由三视图知，该几何体由正方体沿面AB1D1与面CB1D1截去两个角所得，其表面由两个等边三角形、四个直角三角形和一个正方形组成．计算得其表面积为12＋4.‎ 答案　12＋4 ‎10．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎ 解析：由三视图可知，该几何体由上下两部分组成，其中下面是一个长、宽、高分别为3、2、1的长方体，上面是一个底面半径为1，高为3的圆锥，所以所求的体积是：V＝V圆锥＋V长方体＝π×12×3＋3×2×1＝6＋π.‎ 答案：6＋π 三、解答题 ‎11．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．‎ 解　由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，‎ S表面＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2＝(60＋4)π，V＝V圆台－V圆锥＝(π·22＋π·52＋)×4－π×22×2＝π.‎ ‎12．在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，如图所示，求CP＋PA1的最小值．‎ 解　PA1在平面A1BC1内，PC在平面BCC1内，将其铺平后转化为平面上的问题解决．铺平平面A1BC1、平面BCC1，如图所示．计算A1B＝AB1＝，BC1＝2，又A‎1C1＝6，故△A1BC1是∠A‎1C1B＝90°的直角三角形．‎ CP＋PA1≥A‎1C.在△AC‎1C中，由余弦定理，得 A‎1C＝＝＝5，‎ 故(CP＋PA1)min＝5.‎ ‎13．如图(a)，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图(b)所示．‎ ‎(1)求证：BC⊥平面ACD；‎ ‎(2)求几何体D－ABC的体积．‎ ‎(1)证明　在图中，可得AC＝BC＝2，‎ 从而AC2＋BC2＝AB2，‎ 故AC⊥BC，‎ 又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面ACD.‎ ‎(2)解　由(1)可知，BC为三棱锥B－ACD的高，BC＝2，S△ACD＝2，‎ ‎∴VB－ACD＝S△ACD·BC＝×2×2＝，‎ 由等体积性可知，几何体D－ABC的体积为.‎ ‎14．如图，在长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AD＝AA1＝1，‎ AB＞1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿 长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为2.‎ ‎(1)求AB的长度．‎ ‎(2)求该长方体外接球的表面积．‎ 解 (1)设AB＝x，点A到点C1可能有两种途径，如图甲的最短路程为|AC1|＝.‎ 如图乙的最短路程为 ‎|AC1|＝＝，‎ ‎　　　‎ 图甲　　　　　　　　　　　图乙 ‎∵x＞1，∴x2＋2x＋2＞x2＋2＋2＝x2＋4，故从点A沿长方体的表面爬到点C1的最短距离为.‎ 由题意得＝2，解得x＝2.‎ 即AB的长度为2.‎ ‎(2)设长方体外接球的半径为R，则 ‎(2R)2＝12＋12＋22＝6，‎ ‎∴R2＝，∴S表＝4πR2＝6π.‎ 即该长方体外接球的表面积为6π.‎