高考数学复习专题练习第8讲 函数与方程 7页

第8讲 函数与方程 一、选择题 ‎1．设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间 (　　)．‎ A．(－1,0) B．(0,1)‎ C．(1,2) D．(2,3)‎ 解析　∵f(x)＝ex＋x－4，∴f′(x)＝ex＋1>0，∴函数f(x)在R上单调递增．对于A项，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－1<0，f(0)＝－3<0，f(－1)f(0)>0，A不正确，同理可验证B、D不正确．对于C项，∵f(1)＝e＋1－4＝e－3<0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2>0，f(1)f(2)<0，故选C.‎ 答案　C ‎2．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　)．‎ A．(－2，－1) B．(－1,0)‎ C．(0,1) D．(1,2)‎ 解析　f(x)＝2x＋3x在R上为增函数，且f(－1)＝2－1－3＝－，f(0)＝1，则f(x)＝2x＋3x在(－1,0)上有唯一的一个零点．‎ 答案　B ‎3．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是 (　　)．‎ A．(1,3) B．(1,2)‎ C．(0,3) D．(0,2)‎ 解析　由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解之得00可得其中一个零点x0∈______，第二次应计算________．‎ 解析 ∵f(x)＝x3＋3x－1是R上的连续函数，且f(0)<0，f(0.5)>0，则f(x)在x∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f(0.25)的符号．‎ 答案 (0,0.5)　f(0.25)‎ ‎8．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．‎ 解析 画出图象，令g(x)＝f(x)－m＝0，即f(x)与y＝m的 图象的交点有3个，∴00)为函数f(x)的“友好点对”，则y＝，－y＝2(－x)2＋4(－x)＋1＝2x2－4x＋1，∴＋2x2－4x＋1＝0，在同一坐标系中作函数y1＝、y2＝－2x2＋4x－1的图象，y1、y2的图象有两个交点，所以f(x)有2个“友好点对”，故填2.‎ 答案　2‎ 三、解答题 ‎11．若方程lg(－x2＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一零点，求实数m的取值范围．‎ 解析 原方程可化为－(x－2)2＋1＝m(00)．‎ ‎(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；‎ ‎(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．‎ 解 (1)法一：∵g(x)＝x＋≥2＝2e，‎ 等号成立的条件是x＝e，‎ 故g(x)的值域是[2e，＋∞)，‎ 因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有零点．‎ 法二：作出g(x)＝x＋(x>0)的大致图象如图：‎ 可知若使g(x)＝m有零点，‎ 则只需m≥2e.‎ 法三：由g(x)＝m得 x2－mx＋e2＝0.‎ 此方程有大于零的根，‎ 故等价于，‎ 故m≥2e.‎ ‎(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x) 的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋(x>0)的大致图象．‎ ‎∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1‎ ‎＝－(x－e)2＋m－1＋e2.‎ 其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.‎ 故当m－1＋e2>2e，‎ 即m>－e2＋2e＋1时，‎ g(x)与f(x)有两个交点，‎ 即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．‎ ‎∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)‎