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- 2021-06-21 发布
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第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、选择题
1．设x∈R，则“x＞”是“2x2＋x－1＞0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件[来源:
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 因为{x|2x2＋x－1>0}＝，所以{x|2x2＋x－1>0}，故选A.
答案 A
2．已知命题p：x2－3<0；命题q：log2x2>1，则命题p是命题q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 由x2－3<0得－1得x>或x<－.∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
答案 D
3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0，1]上的增函数”是“f(x)为[3，4]上的减函数”的 ( )．
A．既不充分也不必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．充要条件
解析 ∵x∈[0，1]时，f(x)是增函数，又∵y＝f(x)是偶函数，∴x∈[－1，0]时，f(x)是减函数．当x∈[3，4]时，x－4∈[－1，0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)．∴x∈[3，4]时，f(x)是减函数，充分性成立．反之：x∈[3，4]时，f(x)是减函数，x－4∈[－1，0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)，∴x∈[－1，0]时，f(x)是减函数，∵y＝f(x)是偶函数，∴x∈[0，1]时，f(x)是增函数，必要性亦成立．
答案 D
4． “m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的 ( )．
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析 由两直线垂直的充要条件知(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，解得m＝－2或，∴m＝时，两直线垂直，反过来不成立．
答案 B
5．下列命题错误的是( )
A．命题“若lg x＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则lg x≠0”
B．若p且q为假命题，则p、q均为假命题
C．命题p：存在实数x，使得sin x>1，则綈p：对任意的实数x，均有sin x≤1
D．“x>2”是“<”的充分不必要条件
解析：选项B：若p且q为假命题，则p、q全假或p、q一真一假，B错误；选项D：<，则－＝<0，解得x<0或x>2，所以“x>2”是“<”的充分不必要条件；选项A、C显然正确，故选B.
答案：B
6．已知p：≤1，q：(x－a)(x－a－1)≤0.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C．(－∞，0)∪ D．(－∞，0)∪
解析：令A＝{x|≤1}，得A＝，令B＝{x|(x－a)(x－a－1)≤0}，得B＝{x|a≤x≤a＋1}，若p是q的充分不必要条件，则AB，需或⇒0≤a≤，故选A.
答案：A
二、填空题
7． “m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件．
解析 x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤.
答案 充分不必要
8．若“x2－2x－8>0”是“x0得x>4或x<－2，由条件可知m≤－2，∴m的最大值为－2.
答案 －2
9．已知集合A＝，B＝{x|－13，即m>2.
答案 (2，＋∞)
10．下列四个说法：
①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
②“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价
③“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”
④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
其中说法不正确的序号是________．
解析 ①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；
②由不等式的性质可知，“a>b”与“a＋c>b＋c”等价，故②错误；
③“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则a2＋b2≠0”，故③错误；
④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性一致，故④正确．
答案 ①②③
三、解答题
11．已知命题P：“若ac≥0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．
(1)写出命题P的否命题；
(2)判断命题P的否命题的真假，并证明你的结论．
解 (1)命题P的否命题为：“若ac＜0，则一元二次方程ax2＋bx＋c
＝0有实根”．
(2)命题P的否命题是真命题．证明如下：
∵ac＜0，
∴－ac＞0⇒Δ＝b2－4ac＞0⇒一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．
∴该命题是真命题．
12．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明 充分性：若a＋b＋c＝0，∴b＝－a－c，
∴ax2＋bx＋c＝0化为ax2－(a＋c)x＋c＝0，
∴(ax－c)(x－1)＝0，
∴当x＝1时，ax2＋bx＋c＝0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
必要性：若方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，∴a＋b＋c＝0.
综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
13．已知全集U＝R，非空集合A＝，B＝.
(1)当a＝时，求(∁UB)∩A；
(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝时，
A＝＝，
B＝＝，
∴∁UB＝.
∴(∁UB)∩A＝.
(2)∵a2＋2>a，∴B＝{x|a2，即a>时，A＝{x|2a，条件q：>0，请选取适当的实数a
的值，分别利用所给的两个条件作为A，B构造命题：“若A，则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．[来源:学。科。网Z。X。
解 条件p：即5x－1<－a或5x－1>a，
∴x<或x>，
条件q：2x2－3x＋1>0，
∴x<或x>1.
令a＝4，即p：x<－或x>1.
此时必有p⇒q成立，反之不然，
故可以选取的一个实数是a＝4，A为p，B为q.对应的命题是若p则q.(答案不唯一)
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