河北省沧州市第一中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试卷+含答案 3页

高一数学（月考卷） 时间： 120 分钟 满分： 150 分 2019-2020 上学期全科试卷 高一数学（月考卷）● 2019-2020 上学期全科试卷 高一数学（月考卷）● 1 2 本试卷分第 Ⅰ 卷（选择题）和第 Ⅱ 卷（非选择题）两部分. 第I卷（选择题 共60分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选择中，只有一 个是符合题目要求的）1. 已知集合A＝ {-1,1,2,3,5} ，集合B＝ {2,3,4} ，C＝ {x ∈ R|1 ≤ x < 3}, 则( )A ⋂ C ⋃ B＝ （ ） . A.{2} B.{2,3} C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4} 2. 函数f ( x ) = 2019 + lg ( )|| x - x 的定义域是 （ ） . A.( )-∞, 0 B.[ )0, +∞ C.( ]-∞, 0 D.( )-∞, +∞ 3. 已知a = log 2 3.4,b = 2.11.2,c = log 0.3 3.8 ，则a,b,c的大小关系为 （ ） . A.a < b < c B.c < a < b C.b < c < a D.c < b < a4. 已知幂函数 y = f ( x ) 的图象过点 ( 8,m ) 和 ( 9,3 ) ，则实数m的值为 （ ） . A. 2 B.1 2 C.3 D.2 2 5. 函数 f ( x ) = e x - 1 x 的零点所在的区间是 （ ） . A.( )1 2,1 B.( )0, 1 2 C.( )1, 3 2 D.( )3 2,2 6. 已知 3 x + x3 = 100 ，[ ]x 表示不超过x的最大整数，则[ ]x = （ ） . A.2 B.3 C.4 D.5 7. 用二分法求函数 f ( x ) = x3 + 5 的零点可以取的初始区间是 （ ） . A.( -2,1) B.( -1,0 ) C.( 0,1) D.(1,2 ) 8. 若奇函数y=f（x）的定义域为{ }x| x ∈ R, 且x ≠ 0 , 当 x＞ 0 时，f（x） =ln x-x+1 ，则函数 y=f（x） 的大致图象为 （ ） . 9. 若 10 m = 2, 10 n = 6, 则n - 2m = （ ） . A.-lg 2 B.lg 2 C.-lg 3 D.lg 3 10. 已知 y = log a ( 2 - ax ) 在 [ 0,1] 上为 x的减函数，则实数a的取值范围为 （ ） . A.( )0,1 B.( )0,2 C.( )1,2 D.[2, )+∞ 11. 设 f ( x ) ,g( x ) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，函数 h( x ) = f ( x ) g( x ) 在 ( -∞,0 ) 上单调递增，且h( -3 ) = 0 ，则不等式h( x ) < 0 的解集是 （ ） . A.( -3,0 ) ⋃( 0,3 ) B.( -∞, -3 ) ⋃( 0,3 ) C.( -∞, -3 ) ⋃( 3, +∞ ) D.( -3,0 ) ⋃( 3, +∞ ) 12. 对于任意实数 a，b，定义 min{ }a, b ={a, a ≤ b, b, a > b. 设函数 f（x） =-x+3 ，g（x） =log 2x，则函 数 h（x） =min{ }f ( )x , g ( )x 的最大值是 （ ） . A.0 B.1 C.log 2 3 D.2 第Ⅱ卷（非选择题 90分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 已知集合A={1 ， 5} ，B={x|ax-5=0} ，A∪B=A，则a的取值组成的集合是 . 14. 函数 f ( )x = log 2 x - 1 的定义域为 . 15. 已知函数 f ( x ) + f ( )-x = 4 ，若f（ lg3 ）＝ 3 ，则 f ( )lg1 3 ＝ . 16. 已 知 函 数 f ( )x = ln x，若 f ( )2 - m + ( )2 - m < f ( )m + m，则 实 数 m 的 取 值 范 围 是__________. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分 10 分） （ Ⅰ ）( )2 7 9 1 2 -( 2 3 - π )0 - ( )210 27 -1 3 + 0.25- 1 2 ． （ Ⅱ ） lg 5 + ln e + 2-1 + log 2 3 +( lg 2 )2 + lg 5∙ lg 2 ． O x y 1 -1 1 -1 A O x y 1 -1 1 -1 B O x y 1 -1 1 -1 C O x 1 -1 1 -1 D y 18.（本小题满分 12 分） 已知集合 A ={ }x ∈ R | | ||( )1 2 x > 4 ，B ={ }x ∈ R| log 2 ( x - 1) > 0 ． （ Ⅰ ）求集合 A,B； （ Ⅱ ）已知集合C={ }x| m < x < m + 1 ，若集合C ⊆ ( )A ⋃ B ，求实数m的取值范围. 19.（本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x ) = ax + b的图象如图所示 . （ Ⅰ ）求函数 f ( x ) 的解析式； （ Ⅱ ）若不等式 c∙10 x + 6 x f ( x ) + 3 > 0 对任意 x ∈( -∞,2 ] 恒成立，求实数 c的取 值范围 . 20.（本小题满分 12 分） 已知函数 f ( )x = ì í î ï ï x2 + mx - 1, - 2 < x < 0, 0,x = 0, -x2 + 2x + 1, 0 < x < 2 是奇函数 . （ 1 ）求实数 m 的值； （ 2 ）画出函数 f ( )x 的图象，并根据图象求解下列问题： ①写出函数f ( x ) 的值域； ②若函数f ( x ) 在区间[ ]-1,a - 2 上单调递增，求实数a的取值范围 . 2019-2020 上学期全科试卷 高一数学（月考卷）● 3 2019-2020 上学期全科试卷 高一数学（月考卷）● 4 21.（本小题满分 12 分） 已知函数f ( x ) = log 3 (1 - x ) + alog 3 (1 + x )( a ∈ R ) ，且满足f ( )1 2 = 1 - log 3 4 . （Ⅰ）求函数f ( )x 的定义域及a的值； （Ⅱ）若关于x的方程x - 2 f ( x ) - t = 0( t ∈ R ) 有两个不同的实数解，求t的取值范围 22. （本小题满分 12 分） 已知函数f ( x ) = e x + e-x，其中 e 为自然对数的底数 . （Ⅰ）求证：函数f ( x ) 是偶函数； （Ⅱ）求证：函数f ( x ) 在 ( -∞, 0 ] 上单调递减； （Ⅲ）求函数f ( x ) 在闭区间 [ -3, 1] 上的最小值和最大值 . -2 2 y O x 高一年级数学月考卷（二）答案与提示 一、选择题（每小题5分，共60分）1.D 【提示】易知A ⋂ C ={ }1,2 . 因为B ={ }2,3,4 , 所以( )A ⋂ C ⋃ B={ }1,2,3,4 . 故选 D. 2.A 【提示】函数 f ( x ) = 2019 + lg ( )|| x - x 有意义，应满足 || x - x > 0, 即 || x > x，解得 x < 0. 故所求函 数的定义域为( )-∞, 0 . 3.B 【提示】 1=log 2 2 ＜a=log 2 3.4 ＜ log 2 4=2 ，b=2.11.2＞ 2.11=2.1 ，c=log 0.3 3.8 ＜ log 0.3 1=0 ，则 a，b，c 的大小关系 为c＜a＜b. 故选 B. 4. D 【 提 示 】设 f ( x ) = xα，依 题 意 可 得 9α = 3 ，所 以 α = 1 2. 所 以 f ( x ) = x 1 2. 故 所 求 实 数 m = f ( 8 ) = 8 1 2 = 2 2. 5.A 【提示】易知函数 f ( x ) = ex - 1 x 是（ 0 ， +∞ ）上的增函数，再根据 f ( )1 2 = e -2 ＜ 0 ，f（ 1 ） =e-1 ＞ 0 ，可 得 f ( )1 2 f ( )1 ＜ 0. 所以函数f（x） =ex-1 x 的零点所在的区间是( )1 2,1 . 故选 A. 6.B 【提示】因为函数 y = 3x 与 y = x3 在 R 上都是增函数，所以 f ( x ) = 3x + x3 在 R 上也是增函数 .又因 为f ( 3 ) = 54 < 100 ，f ( 4 ) = 145 > 100 ，所以 3 < x < 4 ，所以 [ x ] = 3.7.A 【提示】因为 f ( )-2 = -3 < 0,f ( )1 = 6 > 0, 所以 f ( )-2 f ( )1 < 0. 所以函数 f ( )x 在( )-2,1 上有零点 . 故可 以取区间（ -2 ， 1 ）作为计算的初始区间，用二分法逐步计算 . 8.A 【提示】因为函数 y = f ( )x 为奇函数，排除 C ， D ；又 f ( )e = 1 - e + 1 < 0, 所以点( )e,f ( )e 在第四象限， 排除 B. 故选 A. 9.D 【提示】因为 10m = 2, 10n = 6 所以 m = lg 2,n = lg 6. 故 n - 2m =lg6 - 2lg 2=lg 6 - lg 2=lg 6 2 = lg 3. 10. C 【提示】令t = 2 - ax, 则y = log at. 若 0 < a < 1, 则y = log at为减函数 , 由题意知t =2 - ax为增函数，需a < 0, 此时无解 . 若a > 1, 则函数 y = log at是增函数，则t为减函数，需a > 0, 且 2 - a × 1 > 0, 可解的 1 < a < 2. 综上可 知，a的取值范围是( )1,2 . 11. B 【 提 示 】 由 题 设 易 知 h( )x 为 奇 函 数 ， 且 h( )-3 = 0,h( )3 = 0,h( )0 = 0 ，所以可画一个适合题意的函数h( )x 的图象（如 图 2 所示） . 故由图 1 观察即得不等式h( )x < 0 的解集是( )-∞, -3 ⋃ ( )0,3 . 12. B 【 提 示 】由 题 意 得 h( x ) ={log 2 x,0 < x ≤ 2, -x + 3,x > 2. 当 0 < x ≤ 2 时 ， h( x ) = log 2 x是增函数；当 x > 2 时，h( x ) = -x + 3 是减函数 . 故函数h( x ) 在 x = 2 时，取得最大值h( 2 ) = 1. 二、填空题（每小题5分，共20分） 13.{ }0,1,5 【提示】A∪B=A，所以 B = ∅ 或B ={ }1 或B ={ }5 ，进而可得a = 0,1,5. 14.[ )2, +∞ 【提示】要使函数 f ( )x 有意义，则 log 2x - 1 ≥ 0. 所以 x ≥ 2. 所以函数的定义域为[ )2, +∞ . 15.1 【提示】f ( x ) + f ( -x ) = 4, 而 f ( lg 3 ) + f ( )lg1 3 = f ( lg 3 ) + f ( -lg 3 ) = 4 ，所以 f ( )lg1 3 ＝ 1. 16.( )1,2 【提示】注意到不等式 f ( 2 - m ) + ( 2 - m ) < f ( m ) + m 左右两边的外在结构相同，所以可构 造函数 g( x ) = f ( x ) + x = lnx + x，易知该函数在其定义域( )0, +∞ 上单调递增 . 又由已知不等式得 g( 2 - m ) < g( m ) ，所以可知 ì í î ï ï 2 - m > 0, m > 0, 2 - m < m.解得 1 < m < 2 . 故实数m的取值范围是( )1, 2 . 三、解答题（共70分） 17. （ Ⅰ ）原式 = ( )25 9 1 2 - 1 - ( )64 27 - 1 3 + ( )1 4 - 3 2 = é ë êê ù û úú( )5 3 2 1 2 - 1 - é ë êê ù û úú( )4 3 3 - 1 3 + é ë êê ù û úú( )1 2 2 - 3 2= 5 3 - 1 - 3 4 + 8 = 95 12（或 7 11 12） ......................................................................................... （ 5 分） （ Ⅱ ）原式 = lg 5 + 1 2 + 2-1∙2log 2 3 + lg 2( )lg 2 + lg 5 = 1 2 + ( )lg 5 + lg 2 + 1 2 ×3= 1 2 + 1 + 3 2= 3. ..................................................................................................................................... （ 10 分） 18.（ 1 ）由( )1 2 x > 4, 得( )1 2 x > ( )1 2 -2 . 所以 x < -2. 所以 A ={ }x| x < -2 . 由 log 2( )x - 1 > 0, 得 x - 1 > 1. 所以 x > 2. 所以 B ={ }x| x > 2 . .................................................................................................................................... （ 6 分） （ 2 ）由 A ⋃ B ={ }x| x < -2 或x > 2 ，且C ⊆ ( )A ⋃ B ，则m + 1 ≤ -2, 或m ≥ 2. 所以m ≤ -3 或m ≥ 2. ................................................................................................................................... （ 12 分）19. （ Ⅰ ）因为函数 f ( x ) = ax + b的图象经过点 ( 0, -2 ) 和 ( 2,0 ) ， 所以{-2 = a0 + b, 0 = a2 + b. .......................................................................................................... （ 4 分） 又注意到a > 1 ，从而解得{a = 3, b = -3. 故函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x ) =( 3)x - 3...................................................................... （ 6 分） （ Ⅱ ）因 为 由（ Ⅰ ）知 f ( x ) + 3 =( 3)x > 0 对 任 意 x ∈( -∞,2 ] 恒 成 立 ，所以 由 题 设 得 不 等 式 c∙10x + 6x > 0 ，即c > - 6x 10x ，亦即c > -( )3 5 x 对任意 x ∈( -∞,2 ] 恒成立 . （ * ） .................. （ 8 分） 又易知函数 y = -( )3 5 x 在 ( -∞,2 ] 上单调递增，所以根据（ * ）可得c > -( )3 5 2 = - 9 25. 故所求实数c的取值范围是( )- 9 25, + ∞ .................................................................. （ 12 分） 20. （Ⅰ）因为 f ( x ) 是奇函数，所以 f ( -1) = -f (1) ，即 1 - m - 1 = -( -1 + 2 + 1) . 解得 m = 2 . 又易检验知：当m = 2 时，f ( x ) 是奇函数 . 故所求实数m的值为 2. .............. （ 4 分） （Ⅱ）由（Ⅰ）,得 ì í î ï ï x2 + 2x - 1, -2 < x < 0, 0,x = 0, -x2 + 2x + 1, 0 < x < 2. 如图 2，画出函数 f ( )x 的图象 . ①由图知，函数f ( )x 的值域为[ )-2, -1 ⋃ { }0 ⋃ ( ]1, 2 . ②由图知，函数 f ( x ) 的单调递增区间为[ ]-1, 1 ，所以根据 函 数 f ( )x 在 区 间 [ ]-1,a - 2 上 单 调 递 增 ，可知 需 满 足 {a - 2 > -1, a - 2 ≤ 1, 解得 1 < a ≤ 3 . 故所求实数m的取值范围为( ]1, 3 . ...................................................................... （ 12 分） 21. （Ⅰ）由ìíî 1 - x > 0,1 + x > 0,解得 -1 < x < 1 . 所以函数f ( x ) 的定义域为 ( -1, 1) . 因 为 f ( )1 2 = 1 - log 3 4 ，所 以 log 3 1 2 + alog 3 3 2 = 1 - log 3 4 . 所 以 alog 3 3 2 = 1 - log 3 4 - log 3 1 2 = 1 - log 3 ( )4 × 1 2 = 1 - log 3 2 = log 3 3 2. 又 log 3 3 2 ≠ 0 ，故化简得所求a = 1 . .............................................. （ 6 分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 f ( x ) = log 2 (1 - x ) + log 2 (1 + x ) = log 2 (1 - x2 ) ，其中 x ∈ ( -1, 1) ，所以 由题设得关于x的方程x2 + x - 1 - t = 0 在 ( -1, 1) 内有两个不同的实数解 .（*） 设函数g( x ) = x2 + x - 1 - t，则因为该函数图像的对称轴方程为x = - 1 2 ， 所以结合（*）知只需 ì í î ïï ïï g( -1) = -1 - t > 0 g( - 1 2 ) = - 5 4 - t < 0 g(1) = 1 - t > 0. ，解得 - 5 4 < t < -1 . 故所求实数t的取值范围是 ( - 5 4, -1) . .................................................................................................................. （ 12 分） 22. （Ⅰ）易知函数f ( x ) 的定义域为R，显然关于原点对称 . 又因为f ( -x ) = e-x + e x = e x + e-x = f ( x ) ， 故根据偶函数的定义可知，函数f ( x ) 是偶函数 . .................. （ 4 分） （Ⅱ）任取x1 ,x2 ∈ ( -∞, 0 ] ，且设x1 > x2，则 f ( x1 ) -f ( x2 ) = ex1 + e-x1 - ex2 - e-x2 = ex1 -ex2 + e-x1 - e-x2 = ex1 - ex2 + ex2 - ex1 ex1 + x2 = ( ex1 - ex2 )(1 - 1 ex1 + x2 ) . 又由x1 > x2，得 ex1 > ex2 ，所以 ex1 - ex2 > 0 ； 易知x1 + x2 < 0 ，所以 0 < ex1 + x2 < 1 ，所以 1 - 1 ex1 + x2 < 0 . 于是，可得f ( x1 ) - f ( x2 ) < 0 ，即f ( x1 ) < f ( x2 ) . 故根据函数单调性的定义，可知函数f ( x ) 在 ( -∞, 0 ] 上单调递减 . ................ （ 8 分） （Ⅲ）根据（Ⅰ）、（Ⅱ）知函数f ( x ) 得图象关于y轴对称，且在 ( -∞, 0 ] 上单调递减， 在 [ 0, +∞ ) 上单调递增 . 据此易得函数 f ( x ) 在闭区间 [ -3, 1] 上的最小值为 f ( 0 ) = 2 ，最大 值为f ( -3 ) = e-3 + e3 . .......................................................................................................... （ 12 分） x y O-3 3 图 1 x y o 1 2 1 2 -1 -2 -1-2 图 2