全国大联考2020届高三2月联考理科数学 4页

理科数学试卷 第 1 页（共 4 页） 20·LK2·QG 秘密★网络公布前 [网络公布时间：2020 年 2 月 6 日 15:00] 全国大联考 2020 届高三 2 月联考 理科数学试卷 注意事项： 1．考试时间 120 分钟，满分 150 分。 2．因受新型冠状病毒影响，原定的考试时间无法进行考试，故本套试卷选择通过网络 公布，以免影响高三考生的正常复习进度，公布后，考生和教师可自行打印使用此试卷。 建议打印用纸：试卷、答案：A4 纸或 A3 纸二合一打印 答题卡：A3 纸（建议彩印） 注：本套试卷免费公布，不得为任何个人或企业盈利所用。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．设集合 A={x|x2≤x}，B={x| 1 x ≥1}，则 A∩B= A．( 1]−， B．[0 1]， C．(0 1]， D．( 1]−， ∪(0 1]， 2．已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z(1+i)=2i，则 z= A．2 B．1+i C．-1+i D．1-i 3．“00)的焦点 F，且与 抛物线交于 A，B 两点，若线段 AB 的中点 M 的纵坐标为 1，则 p= A．1 B． 2 C．2 D．4 ( )3,1=a ( )0, 1=−b ( ),3k=c ( )2−⊥a b c k 23 3− 开始 输出 y 结束 是 否 y=i2+2i i=-1 i=i+1 i<3? 理科数学试卷 第 2 页（共 4 页） 20·LK2·QG 7．我国古代木匠精于钻研，技艺精 湛，常常设计出巧夺天工的建 筑．在一座宫殿中，有一件特别 的“柱脚”的三视图如右图所 示，则其体积为 A． +4π B． +8π C．8+4π D．8+8π 8．将函数 的图象向右平移 ( >0)个单位，再向上平移 1 个单位， 所得图象经过点( ，1)，则 的最小值为 A． B． C． D． 9．已知双曲线 22 221xy ab−=(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 作 x2+y2=a2 的切线， 交双曲线右支于点 M，若∠F1MF2=45º，则双曲线的离心率为 A． 2 B． 3 C．2 D．3 10．有一个长方体木块，三个侧面积分别为 8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，则 该正四面体模型棱长的最大值为 A．2 B． 22 C．4 D． 42 11．已知在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，A(0，2)，|OB|2+|OA|2=20，若平面内 点 P 满足 3PB PA= ，则|PO|的最大值为 A．4 B．5 C．6 D．7 12．已知 A、B 是函数 2e() e xa x xafx xa − −  =   ， ， ， (其中 a>0)图象上的两个动点，点 P(a，0)，若 PA PB 的最小值为 0，则函数 ()fx的最小值为 A． 2 1 e− B． 1 e− C． 2 1 e D． 1 e 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知实数 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是_____． 14．已知向量 a，b 的夹角为 45º，若 a=(1，1)，|b|=2，则|2a+b|=________． 15．记 7 2 7 0 1 2 7( ( ) (2 ) 1 1 ()1)x a a x a x a x+ = + + + + ++ + ，则 12aa++ 6a + =________． 16．已知△ABC 的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，且 acosC-ccosA= 3 5b ，则 tan(A-C) 8 3 ( ) sin 2 3cos2f x x x=+  8  5 12  7 12  5 24  7 24  x y 20 6 0 2 3 0 xy xy xy −  + −  − − 23z x y=− 俯视图 主视图 左视图 4 2 2 2 理科数学试卷 第 3 页（共 4 页） 20·LK2·QG 的最大值为________． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：（共 60 分） 17．（本小题满分 12 分） 设等比数列{an}的公比为 q，Sn 是{an}的前 n 项和，已知 a1+2，2a2，a3+1 成等差数列， 且 S3=4a2-1，q>1． （1）求{an}的通项公式； （2）记数列{ n n a }的前 n 项和为 Tn，试问是否存在 n∈N*使得 Tn<3？如果存在，请求 出 n 的值；如果不存在，请说明理由． 18．（本小题满分 12 分） 某少儿游泳队需对队员进行限时的仰卧起坐达标测试．已知队员的测试分数 y 与仰卧起坐个 数 之间的关系如下： ；测试规则：每位队员最多进行三组测试，每组限 时 1 分钟，当一组测完，测试成绩达到 60 分或以上时，就以此组测试成绩作为该队员的成 绩，无需再进行后续的测试，最多进行三组；根据以往的训练统计，队员“喵儿”在一分钟 内限时测试的频率分布直方图如下： （1）计算 值； （2）以此样本的频率作为概率，求①在本次达标 测试中，“喵儿”得分等于80 的概率； ②“喵儿”在本次达标测试中可能得分的分布 列及数学期望． 19．（本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱 ADE-BCF 中，侧面 ABCD 是为菱形， E 在平面 ABCD 内的射影 O 恰 为线段 BD 的中点． （1）求证：AC⊥CF； （2）若∠BAD=60º，AE=AB，求二面角 E-BC-F 的平 面角的余弦值． x 0,0 30 60,30 40 80,40 50 100, 50 x xy x x   =     a A B C D E F O 理科数学试卷 第 4 页（共 4 页） 20·LK2·QG 20．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 E： 22 221xy ab+=(a>b>0)的离心率为 3 2 ，A、B 分别为 E 的左顶点和上顶点， 若 AB 的中点的纵坐标为 1 2 ．F1，F2 分别为 E 的左、右焦点． （1）求椭圆 E 的方程； （2）设直线 L： 2 2 mx my=+与 E 交于 M，N 两点，△MF1F2，△NF1F2 的重心分别为 G，H．若原点 O 在以 GH 为直径的圆内，求实数 m 的取值范围． 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 2( ) (1 ) lnf x a x x= − + (a∈R)，且 ()fx在(0，+∞)上满足 ()fx≤0 恒成立． （1）求实数 a 的值； （2）令 ()() f x axg x x xa += − 在 ()a +， 上的最小值为 m ，求证： 11 ( ) 10fm−   − ． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第 一题记分。 22． [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，P(2，0)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系，已知曲线 C 的极坐标方程为 2 = ，点 Q(ρ，θ)(0≤θ≤ )为 C 上的动点，M 为 PQ 的 中点． （1）请求出 M 点轨迹 C1 的直角坐标方程； （2）设点 A 的极坐标为 A(1，π)，若直线 l 经过点 A 且与曲线 C1 交于点 E，F，弦 EF 的中点为 D，求 AD AE AF 的取值范围． 23． [选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知 a>0，b>0． （1）若关于 x 的不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a 对任意实数 x 都成立，求实数 a 的最小值； （2）求证： ab ba + ≥ ab+