人教版高三数学总复习课时作业72 9页

课时作业72　几何概型 一、选择题 ‎1．(2014·湖南卷)在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：在[－2,3]上符合x≤1的区间为[－2,1]，所以P＝＝.‎ 答案：B ‎2．(2014·辽宁卷)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(　　)‎ A. B． C. D． 解析：考查几何概型，所求概率为P＝＝＝.‎ 答案：B ‎3．如图，在矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于(　　)‎ A. B． C. D． 解析：不妨设矩形的长、宽分别为a、b，于是S矩形＝ab，S△ABE＝ab，由几何概型的概率公式可知P＝＝.‎ 答案：C ‎4．在区间[－5,5]内随机地取出一个数a，则恰好使1是关于x的不等式2x2＋ax－a2<0的一个解的概率为(　　)‎ A．0.3 B．0.4‎ C．0.6 D．0.7‎ 解析：由已知得2＋a－a2<0，解得a>2或a<－1.故当a∈[－5，－1)∪(2,5]时，1是关于x的不等式2x2＋ax－a2<0的一个解．故所求概率为P＝＝＝0.7.‎ 答案：D ‎5.‎ 如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：∵S阴影＝(－x)dx＝(x－x2)|＝－＝，又S正方形OABC＝1，∴由几何概型知，P恰好取自阴影部分的概率为＝.‎ 答案：C ‎6．在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任 取一点D，使△ABD为钝角三角形的概率为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：‎ 如图，过点A作AH⊥BC，垂足为H，则在Rt△AHB中，BH＝AB·cos60°＝2cos60°＝1；过点A作AM⊥AB，交BC于点M，则在Rt△ABM中，BM＝＝4，故MC＝BC－BM＝2.‎ 由图可知，要使△ABD为钝角三角形，则点D只能在线段BH或线段MC上选取，故所求事件的概率P＝＝，故选C.‎ 答案：C 二、填空题 ‎7．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是________．‎ 解析：要使S△PBC>S△ABC，只需PB>AB.‎ 故所求概率为P＝＝.‎ 答案： ‎8．(2014·福建卷)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．‎ 解析：设所求面积为S，则＝，∴S＝0.18.‎ 答案：0.18‎ ‎9．(2014·重庆卷)某校早上800开始上课，假设该校学生小张与小王在早上730～750之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)‎ 解析：‎ 用x，y分别表示小张，小王到校的时间，则30≤x≤50,30≤y≤50，所有可能结果对应坐标平面内一个正方形区域 ABCD.‎ 小张比小王至少早到5分钟，即y－x≥5，如图对应区域为△DEF，所求概率P＝＝＝.‎ 答案： 三、解答题 ‎10.‎ 如图所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．‎ 解：弦长不超过1，即|OQ|≥，‎ 而Q点在直径AB上是随机的，事件A＝{弦长超过1}．‎ 由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.‎ 故弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－.‎ 所求弦长不超过1的概率为1－.‎ ‎11．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求方程有实根的概率．‎ 解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.‎ 试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，根据条件画出构成的区域(略)，可得所求的概率为P(A)＝＝.‎ ‎1．在区间[0,2]之间随机抽取一个数x，则x满足2x－1≥0的概率为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：区间[0,2]看作总长度为2，区间[0,2]中满足2x－1≥0的只有，长度为，P＝＝.‎ 答案：A ‎2．已知△ABC外接圆O的半径为1，且·＝－，∠C＝，从圆O内随机取一个点M，若点M取自△ABC内的概率恰为，则△ABC的形状为(　　)‎ A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 解析：由题意得＝，‎ 所以CA·CB＝3.‎ 在△ABC中，由于OA＝OB＝1，∠AOB＝120°，‎ 所以AB＝.‎ 由余弦定理得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CBcos，即CA2＋CB2＝6，所以CA＝CB＝，△ABC的形状为等边三角形．‎ 答案：B ‎3．如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A—A1BD内的概率为________．‎ 解析：设事件M＝“动点在三棱锥A—A1BD内”，‎ P(M)＝＝ ‎＝＝＝.‎ 答案： ‎4．已知正方形ABCD的边长为2，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．‎ ‎(1)从C、D、E、F、G、H 这六个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离的平方为ξ，求概率P(ξ≤4)．‎ ‎(2)在正方形ABCD内部随机取一点P，求满足|PE|<2的概率．‎ 解：(1)P(ξ≤4)＝.‎ ‎(2)这是一个几何概型，所有点P构成的平面区域是正方形ABCD的内部，其面积是2×2＝4，满足|PE|<2的点P构成的平面区域是以E为圆心，2为半径的圆的内部与正方形ABCD内部的公共部分，它可以看作是由一个以E为圆心，2为半径、圆心角为的扇形的内部与两个直角边分别为1和的直角三角形内部构成．其面积是××22＋2××1×＝＋.‎ 所以满足|PE|<2的概率为＝＋.‎