衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题八 在转化中证明空间垂直关系 13页

衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题八在转化中证明空间垂直关系 ‎【方法综述】‎ 空间中的各种垂直关系是高中数学的重要内容．在高考中着重考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的证明，这就需要利用线面垂直、面面垂直的判定定理及其性质，运用三者之间的转化关系．在空间垂直关系的证明中极易出现的问题有：(1)证明线面垂直时,易忽视面内两条线为相交线这一条件.(2)面面垂直的判定定理中,直线在面内且垂直于另一平面易忽视.(3)面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误.下面举例说明在转化中证明空间垂直关系.‎ ‎1．证明线线垂直 证明线线垂直，往往根据线面垂直的性质，即如果一条直线垂直于一个平面，那么它和这个平面内的任意一条直线垂直．‎ 例1.如图，已知平面α∩平面β＝CD，EA⊥α，EB⊥β，垂足分别为A，B，求证：CD⊥AB.‎ 证明　因为EA⊥α，CD⊂α，所以CD⊥EA.‎ 又因为EB⊥β，CD⊂β，所以EB⊥CD.‎ 又因为EA∩EB＝E，EA，EB⊂平面ABE，所以CD⊥平面ABE.‎ 因为AB⊂平面ABE，‎ 所以CD⊥AB.‎ 评注　证明空间中的垂直关系的问题时，经常要用到转化与化归的数学思想，主要体现在线线垂直、线面垂直、面面垂直证明的相互转化过程之中．其转化关系如下：‎ ‎2．证明线面垂直 证明线面垂直通常有两种方法：一是利用线面垂直的判定定理，由线线垂直得到线面垂直；二是利用面面垂直的性质定理，由面面垂直得到线面垂直．‎ 例2.如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM ‎，垂足为点N.求证：AN⊥平面PBM.‎ 证明　因为PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥BM.‎ 因为M是圆周上一点，‎ 所以BM⊥AM.‎ 又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.所以BM⊥AN.‎ 又因为AN⊥PM，PM∩BM＝M，PM，MB⊂平面PMB，所以AN⊥平面PBM.‎ 评注　本题是考查线面垂直很好的载体，它融合了初中所学的圆的特征，在求解时要注意线线、线面垂直关系的转化．‎ ‎3．证明面面垂直 证明面面垂直一般有两种方法：一是利用面面垂直的定义，通过求二面角的平面角为直角而得到，这种方法在证明面面垂直时应用较少；二是利用面面垂直的判定定理由线面垂直得到面面垂直．‎ 例3.如图，△ABC为等边三角形，EC⊥平面ABC，BD∥EC，且EC＝CA＝2BD，M是EA的中点．‎ ‎(1)求证：DE＝DA；‎ ‎(2)求证：平面BDM⊥平面ECA.‎ 证明　(1)如图，取EC的中点F，连接DF，易知DF∥BC.‎ 因为EC⊥BC，所以DF⊥EC.‎ 在Rt△EFD和Rt△DBA中，‎ 因为EF＝EC＝BD，‎ FD＝BC＝AB，‎ 所以Rt△EFD≌Rt△DBA.‎ 所以DE＝DA.‎ ‎(2)如图，取CA的中点N，连接MN，BN，则MN∥EC，且MN＝EC.‎ 又EC∥BD，且BD＝EC，‎ 所以MN∥BD，且MN＝BD.‎ 所以四边形BDMN是平行四边形．‎ 所以点N在平面BDM内．‎ 因为EC⊥平面ABC，‎ BN⊂平面ABC，‎ 所以EC⊥BN.‎ 又CA⊥BN，EC∩CA＝C，‎ 所以BN⊥平面ECA.‎ 因为BN⊂平面MNBD，所以平面BDM⊥平面ECA.‎ 评注　在证明面面垂直时通常转化为证明线面垂直的问题．‎ ‎【针对训练】‎ ‎1．如图，矩形中，为边的中点，将直线翻转成平面)，若分别为线段的中点，则在翻转过程中，下列说法错误的是（ ）‎ A. 与平面垂直的直线必与直线垂直 B. 异面直线与所成角是定值 C. 一定存在某个位置，使 D. 三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值 ‎【答案】C ‎【解析】取DC中点N，连MN,NB,则，‎ 所以平面平面，即平面，A正确；‎ 取的中点为F,连接MF,EF，则平面BEFM是平行四边形，‎ 所以为异面直线与所成角，故B正确；‎ A关于直线DE对称点N，则平面，即过O与DE垂直的直线在平面上，故C错误；‎ 三棱锥外接球的半径为，故D正确.‎ 故选C.‎ ‎ 2.BC是Rt△ABC的斜边,PA⊥平面ABC,PD⊥BC于D点,则图中共有直角三角形的个数是（ ）‎ A.8个 B.7个 C.6个 D.5个 ‎【答案】A ‎【解析】因为平面，平面，所以，又于，连接,所以平面平面，所以，又 是的斜边，所以为直角，所以图中的直角三角形共有，，，故选A．‎ ‎3.如图，一张纸的长、宽分别为2a，2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点，现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体，关于该多面体的下列命题，正确的是________(写出所有正确命题的序号).‎ ‎①该多面体是三棱锥；②平面BAD⊥平面BCD；‎ ‎③平面BAC⊥平面ACD；④该多面体外接球的表面积为5πa2.‎ ‎【答案】①②③④‎ ‎【解析】将平面图形沿图中虚线折起.使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体，则①由于(a)2＋(a)2＝4a2，∴该多面体是以A，B，C，D为顶点的三棱锥，①正确.‎ ‎②∵AP⊥BP，AP⊥CP，BP∩CP＝P，BP，CP⊂平面BCD，∴AP⊥平面BCD，∵AP⊂平面BAD，∴平面BAD⊥平面BCD，正确.‎ ‎③与②同理，可得平面BAC⊥平面ACD，正确.‎ ‎④该多面体外接球的半径为a，表面积为5πa2，正确.‎ ‎4.如图，已知四棱锥S-ABCD的各条棱长都相等，点P∈SC，点Q∈SB，点R∈SD，并且PC=2SP,SQ=2QB,SR=2RD,求证：SC⊥‎平面QPR.‎ ‎【答案】（1）证明见解析 ‎【解析】‎ 如题图，在侧面SBC中，‎ ‎∵SB＝SC＝BC，∴△SBC是等边三角形，‎ ‎∴∠PSQ＝60°.‎ 由已知PC＝2SP，SQ＝2QB，‎ ‎∴在△SPQ中，SQ＝2SP，‎ ‎∴△SPQ是直角三角形，从而得SP⊥PQ.‎ 同理，SP⊥PR，又PQ∩PR＝P，‎ ‎∴SC⊥平面QPR.‎ ‎5.如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点．　‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）∵，，是的中点，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴为平行四边形，‎ ‎∴，‎ ‎∴平面．‎ ‎（2）∵且为平行四边形，‎ ‎∴，，‎ 由已知可得底面，‎ ‎∴，∴平面，∴，‎ ‎∵和分别是和的中点，∴，∴，‎ ‎∴平面，∴平面平面．‎ ‎6.如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．‎ ‎[来源:学,科,网]‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析 ‎（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连结OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP．MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．‎ ‎7.如图，直三棱柱中，，分别是棱的中点，点在棱上，已知.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）设点在棱上，当为何值时，平面平面.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎（1）证明：连结交于，连结.‎ 因为为中线，则为的重心，故,故.…………………………4分 因为平面,平面，所以平面…………………………6分 ‎（2）解：当时，平面平面.…………………………7分 因为，故…………………………8分 在直三棱柱中，平面,平面,故平面平面.又平面平面,平面，平面,故.‎ 又故.…………………………10分 易证与相交，‎ 故平面.‎ 又平面，故平面平面.…………………………12分 ‎8.在四棱锥中，底面是矩形，平面，是等腰三角形，，是的一个三等分点（靠近点），的延长线与的延长线交于点，连接．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：在线段上可以分别找到两点，，使得直线平面，并分别求出此时的值．‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)证明见解析，，.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）证明：因为平面，平面，所以.‎ 因为底面是矩形，所以 又因为，所以平面.‎ 又因为平面，所以.‎ ‎（2）如图所示，取线段的中点，连接，‎ 作，垂足为，连接，则此时满足直线平面.‎ 由（1）得，平面，又平面，‎ 所以 因为平面，所以 又因为是等腰三角形，所以.‎ 又因为，所以平面.‎ 又因为，，所以平面.‎ 易知，下面求解：‎ 因为，，所以可设，则，.‎ 在等腰直角三角形中，由勾股定理，得.‎ 因为平面，又平面，‎ 所以 的平面图如图所示：‎ 在中，由勾股定理，得，‎ 所以.‎ 在中，由，得所以.‎ 综上，在线段上可以分别找到两点，，使得直线平面，‎ 并且此时，‎ ‎9.已知斜三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎的底面是直角三角形，‎∠ACB=‎‎90‎‎0‎,侧棱与底面成锐角α，点B‎1‎在底面上的射影D落在BC边上．‎ ‎(Ⅰ) 求证：AC⊥‎平面BB‎1‎CC‎1‎； ‎ ‎（Ⅱ) 当α为何值时，AB‎1‎⊥BC‎1‎，且D为BC的中点？‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）α=‎π‎3‎.‎ ‎【解析】‎ ‎ (Ⅰ)因为点B‎1‎在底面上的射影D落在BC边上,所以B‎1‎D⊥面ABC,‎ 所以B‎1‎D⊥AC,由AC⊥BC,所以AC⊥平面BB‎1‎CC‎1‎ ‎（Ⅱ)因为AC⊥平面BB‎1‎CC‎1‎，要使AB‎1‎⊥BC‎1‎，只要B‎1‎C⊥BC‎1‎,又BB‎1‎CC‎1‎是平行四边形，所以只要BB‎1‎CC‎1‎是菱形；‎ 因为B‎1‎D⊥BC，当ΔBB‎1‎C是等边三角形时D为BC的中点，因为B‎1‎D⊥面ABC,所以侧棱与底面成锐角α为‎∠B‎1‎BD，从而当α为π‎3‎时，AB‎1‎⊥BC‎1‎，且D为BC的中点.‎ ‎10. 如图1，在直角梯形中，，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.‎ ‎(I)证明：平面；‎ ‎(II)当平面平面时，四棱锥的体积为，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）6.‎ ‎【解析】(I)在图1中，因为，是的中点，所以，‎ 即在图2中，‎ 从而平面 又 所以平面.‎ ‎(II)由已知，平面平面，‎ 且平面平面 又由(I)知，，所以平面，‎ 即是四棱锥的高，‎ 由图1可知，，平行四边形面积，‎ 从而四棱锥的为 ‎，‎ 由，得.‎