江苏省锡山高级中学2019届高三数学练习 4页

‎2019届高三理科数学练习 一、填空题（共70分；每小题5分）‎ ‎1、若(1－i)2＋a为纯虚数，则实数a的值为 ▲ ．‎ ‎2、某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是 ▲ 人．‎ ‎3、抛物线y2＝8x上的点M到焦点的距离为12，则M到y轴的距离为　▲　．‎ S←0‎ For  I  From 1 to 28 Step 3‎ ‎ S←S＋I End For Print S ‎（第4题）‎ ‎4、根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为　▲　．‎ ‎5、直线x＋y＋m＝0与圆 (x－1)2＋y2＝4交于点A，B，‎ AB＝2，则正数m＝ ▲ ．‎ ‎6、已知函数f (x)＝， 则不等式f (x)＜f ()的 解集是 ▲ ．‎ ‎7、双曲线两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正方形F1F2MN，且此双曲线恰好经过边F1N和F2M的中点，则此双曲线的离心率为 ▲ ．‎ ‎8、将函数f(x)＝sin(3x＋)的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)在[，]上的最小值为 ▲ ．‎ ‎9、已知A，B是函数y＝2x的图象上的相异两点．若点A，B到直线y＝的距离相等，则点A，B的横坐标之和的取值范围是 ▲ ．‎ ‎10、若曲线|y|＝x＋2与曲线＋＝1恰有两个不同交点，则实数l取值范围为 ▲ ．‎ ‎（第12题）‎ ‎11、若数列{an}满足an－1＋an＋1≥2an(n≥2)，则称数列{an}为凹数列．已知等差数列{bn}的公差为d，b1＝4，且数列{}是凹数列，则d的最大值为 ▲ ． ‎ ‎12、如图，棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1，E为CC1的 中点，点P、Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上动点，‎ 则△PEQ周长的最小值为 ▲ ．‎ ‎13、已知Rt△ABC中，ÐA＝90°，AB＝4，AC＝6，在三角形所 在的平面内有两个动点M和N，满足||＝2，＝，则||的取值范围是 ▲ ．‎ ‎14、已知正△ABC中心为O，此平面内一动点M到O的距离为1，AB＝，记△ABM与△ACM的面积分别为S1，S2，则的最小值为 ▲ ．‎ 二、解答题（共90分）‎ ‎15、（本题满分14分）设向量＝(cosq，sinq)，＝(2＋sinq，2－cosq)，q∈(－π，‎ ‎－π)，若·＝， ‎ ‎（1）求sin(q＋)的值； （2）求cos(q＋)的值．‎ ‎16、（本题满分14分）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3a，‎ A ‎ B C ‎ D A1‎ B1‎ C1‎ F BC＝2a，D是BC的中点，F是C1C上一点，且CF＝2a．‎ ‎（1）求证：B1F⊥平面ADF；‎ ‎（2）试在AA1上找一点E，使得BE∥平面ADF．‎ A B C D O 荷花 荷花 荷花 荷花 ‎17、（本题满分14分）某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线OC上设计一个观景台D（点D与 点O，C不重合），其中AD，BD，CD段建设架空木栈道，‎ 已知AB＝2km，设建设的架空木栈道的总长为ykm．‎ ‎（1）设ÐDAO＝q(rad)，将y表示成q的函数关系式，‎ 并写出q的取值范围；‎ ‎（2）试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短．‎ ‎18、（本题满分16分）平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上下顶点分别为A，B，点A到焦点的距离为2，右准线方程为x＝，‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）点C是椭圆上异于A，B的任意一点，过点C作CD^y轴于D，E为线段CD的中点．直线AE与直线y＝－1交于点F，G为线段BF的中点．求ÐOEG的大小；‎ ‎（3）点P，M，N为椭圆上三点，且PM，PN斜率之积为－，求M，N的横坐标之和.‎ ‎19、（本题满分16分）设函数f(x)＝ax3－x2＋bln(x＋1)，其中b≠0.‎ ‎（1）若a＝0，b＝12，求f(x)在[1，3]的最大值；‎ ‎（2）若a＝－，f(x)在定义域内为减函数，求实数b的取值范围；‎ ‎（3）是否存在最小的正整数N，使得当n≥N时，不等式ln＞恒成立.‎ ‎20、（本题满分16分）对于数列{xn}，如果存在一个正整数m，使得对任意的n(n∈N*)都有xn＋m＝xn成立，那么就把这样一类数列{xn}称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列{xn}的最小正周期，以下简称周期．‎ ‎（1）设数列{an}满足an＋2＝λan＋1－an(n∈N*)，a1≠a2，且数列{an}是周期为3的周期数列，求常数λ的值；‎ ‎（2）设数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝(an＋1)2．‎ ‎①若an＞0，试判断数列{an}是否为周期数列，并说明理由；‎ ‎②若anan＋1＜0，试判断数列{an}是否为周期数列，并说明理由．‎ ‎（3）设数列{an}满足an＋2＝－an＋1－an(n∈N*)，a1＝1，a2＝2，bn＝an＋1，数列{bn}的前n项和Sn，试问是否存在p、q，使对任意的n∈N*都有p≤≤q成立，若存在，求出p、q的取值范围；若不存在，说明理由．‎ 答案 ‎1、0 2、760 3、10 4、145 5、1 6、 (0，) 7、 8、－ 9、(－∞，－2) 10、(－∞，－1]∪ (1，＋∞) 11、4 12、 13、[4，6] 14、 ‎15、（1）sin(q＋)＝ …………7分 （2）－ ……14分 ‎16、（1）略 ………7分 （2）AE＝2a时 ……14分 ‎17、（1）由ÐDAO＝q，OC⊥AB，OA＝OB＝1，‎ 则DA＝DB＝，DO＝tanq，所以DC＝1－tanq， ………………4分 所以y＝DA＋DB＋DC＝＋1－tanq＝＋1，0＜q＜. ………………7分 ‎（注：表达式2分，q的的取值范围1分）‎ ‎(2) y'＝， ………………9分 令y'＝0,得sinq＝，又0＜q＜，所以q＝， ………………10分 当0＜q＜时，y'＜0，y是q的减函数；当＜q＜时，y'＞0，y是q的增函数. ……12分 所以，当q＝时，ymin＝＋1 ，此时DO＝. ………………13分 答：当D位于距离AB边km处时,能使三段木栈道总长度最短. ……………14分 ‎18、（1）a＝2，＝，得c＝，有b2＝1，故椭圆方程为＋y2＝1 ………… 4分 ‎（2）设C(m，n)，m≠0，则D(0，n)，E(，n)．又＋n2＝1，即m2＝4－4n2．‎ 又A(0，1)，所以直线AE的方程为y－1＝x．令y＝－1，得F(，－1)．‎ 又B(0，－1)，G为线段BC的中点，所以G(，－1)．‎ 所以＝(，n)，＝(－，n＋1)．‎ O M P N T x y 因为·＝(－)＋n(n＋1)＝－＋n2＋n＝－＋n2＋n＝1－－＋n＝0， 所以^．故ÐOEG＝90°． ………… 10分 ‎（3）设P(x0，y0)，M(x1，y1)，则＋y02＝1，＋y12＝1，‎ 相减得＋ (y0－y1)(y0＋y1)＝0，‎ 设PM中点为T，则有kPMkOT＝－，又kPMkPN＝－，‎ 故PN∥OT，得MN的中点在OT上。同理，取PN中点S，有MN的中点在OS上，故O为MN的中点，即M，N的横坐标之和为0． ………… 16分 ‎19、（1）由题意知，f(x)的定义域为(－1，＋∞)，‎ a＝0，b＝12时，由f '(x)＝－2x＋＝－，‎ 当x∈[1，2)时，f '(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(2，3]时，f '(x)＜0，f(x)单调递减，‎ 所以f(x)max＝f(2)＝－4＋12ln3； …………4分 ‎（2）由题意f '(x)＝－2x2－2x＋≤0在(－1，＋∞)上恒成立，‎ 即b≤2x3＋4x2＋2x在(－1，＋∞)上恒成立，‎ 设g(x)＝2x3＋4x2＋2x，则g'(x)＝2(3x＋1)(x＋1)，‎ 当x∈(－1，－)时，f '(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(－，＋∞)时，f '(x)＞0，f(x)单调递增，故g(x)≥g(－)＝－，因此b≤－； …………10分 ‎（3）对于函数f(x)＝x3－x2＋ln(x＋1)， ‎ 则f '(x)＝3x2－2x＋＝，当x∈[0，＋∞)时，f '(x)＞0，‎ 所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝0，故x∈(0，＋∞)时，恒有f(x)＞f(0)＝0，‎ 即x2＜x3＋ln(x＋1)恒成立。取x＝∈(0，＋∞)，则有ln(＋1)＞－恒成立.‎ 显然，存在最小的正整数N＝1，使得当n≥N时，不等式ln＞恒成立．……16分 ‎20、（1）数列{an}是周期为3的数列， 得an＋3＝an，又an＋2＝λan＋1－an，an＋3＝λan＋2－an＋1＝an，故 (λ＋1)(an＋2－an＋1)＝0对任意正整数n都成立，若an＋2－an＋1＝0，则数列{an}为常数列，与a1≠a2相矛盾，故λ＝－1． …………4分 ‎（2）当n＝1时，S1＝a1，4S1＝(a1＋1)2⇒a1＝1，‎ 当n≥2时，4an＝4Sn－4Sn－1＝(an＋1)2－(an－1＋1)2⇒(an－1)2＝(an－1＋1)2，即an－an－1＝2或an＝－an－1（n≥2）． ‎ ‎①由a n＞0有an－an－1＝2（n≥2），则{an}为等差数列，即an＝2n－1，‎ 由于对任意的n都有an＋m≠an，所以数列{an}不是周期数列．‎ ‎②由anan＋1＜0有an＝－an－1（n≥2），数列{an}为等比数列，即an＝(－1)n－1， 有an＋2＝an对任意n都成立． 即当anan＋1＜0时数列{an}是周期为2的周期数列． ………10分 ‎（3）假设存在p，q．满足题设．于是an＋2＝－an＋1－an，an＋3＝－an＋2－an＋1 ⇒an＋3＝an，又bn＝an＋1则bn＋3＝bn，所以{bn}是周期为3的周期数列，‎ 因{bn}的前3项分别为2，3，－2． 则Sn＝ ，‎ 当n＝3k时， ＝1；当n＝3k－2时， ＝1＋ ⇒1＜ ≤2；当n＝3k－1时， ＝1＋⇒1＜ ≤，综上1≤ ≤，‎ 为使p≤≤q恒成立，只要p≤1，q≥ 即可． ‎ 综上，存在p≤1，q≥ 满足题设． ……………16分