高三数学总复习练习第二章 函数、导数及其应用 156页

第二章　函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示 基础盘查一　函数的有关概念 (一)循纲忆知 1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示 函数． (二)小题查验 1．判断正误 (1)函数是建立在其定义域到值域的映射(　　) (2)函数 y＝f(x)的图象与直线 x＝a 最多有 2 个交点(　　) (3)函数 f(x)＝x2－2x 与 g(t)＝t2－2t 是同一函数(　　) (4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数(　　) (5)若 A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从 A 到 B 的映射(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 2．(人教 A 版教材复习题改编)函数 f(x)＝ x－4 |x|－5 的定义域是________________． 答案：[4,5)∪(5，＋∞) 3．已知函数 y＝f(n)，满足 f(1)＝2，且 f(n＋1)＝3f(n)，n∈N*，则 f(4)＝________. 答案：54 基础盘查二　分段函数 (一)循纲忆知 　了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)． (二)小题查验 1．判断正误 (1)函数 f(x)＝Error!是分段函数(　　) (2)若 f(x)＝Error! 则 f(－x)＝Error!(　　) 答案：(1)√　(2)√ 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的________，其值域等于各段函数的值域的 ________． 答案：并集　并集 3．已知函数 f(x)＝Error!若 f(x)＝2，则 x＝________. 答案：1 2 对应学生用书P12 考点一　函数的概念|(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 1．函数的定义 设 A、B 为两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一 个数 x，在集合 B 中都有唯一的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的 一个函数，记作 y＝f(x)． 2．函数的三要素 [题组练透] 1．下列四组函数中，表示同一函数的是(　　) A．y＝x－1 与 y＝ (x－1)2　 B．y＝ x－1与 y＝ x－1 x－1 C．y＝4lg x 与 y＝2lg x2 D．y＝lg x－2 与 y＝lg x 100 答案：D 2．下列所给图象是函数图象的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 B　①中当 x>0 时，每一个 x 的值对应两个不同的 y 值，因此不是函数图象，② 中当 x＝x0 时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个 x 的值对应唯一的 y 值，因 此是函数图象，故选 B. [类题通法] 两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函 数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用 x 表示， 但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1 均表示同一函数． 考点二　函数的定义域问题|(常考常新型考点——多角探明) [多角探明] 函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研 究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组) 的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴. 常见的命题角度有： (1)求给定函数解析式的定义域； (2)求抽象函数的定义域； (3)已知定义域确定参数问题. 角度一：求给定函数解析式的定义域 1．函数 f(x)＝ 1－|x－1| ax－1 (a＞0 且 a≠1)的定义域为________． 解析：由Error!⇒Error!⇒0＜x≤2， 故所求函数的定义域为(0,2]． 答案：(0,2] 2．(2013·安徽高考)函数 y＝ln(1＋1 x )＋ 1－x2的定义域为________． 解析：要使函数有意义，需Error!即Error! 即Error!解得 00，所以 t>1， 故 f(x)的解析式是 f(x)＝lg 2 x－1，x>1. (3)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由 f(0)＝0，知 c＝0，f(x)＝ax2＋bx， 又由 f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， 得 a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1， 即 ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1， 所以Error!解得 a＝b＝1 2. 所以 f(x)＝1 2x2＋1 2x，x∈R. (4)在 f(x)＝2f( 1 x ) x－1 中， 用1 x代替 x，得 f( 1 x )＝2f(x) 1 x －1， 将 f( 1 x )＝2f(x) x －1 代入 f(x)＝2f( 1 x ) x－1 中， 可求得 f(x)＝2 3 x＋1 3. [类题通法] 求函数解析式常用的方法 (1)配凑法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的表达式； (2)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； (4)消去法：已知关于 f(x)与 f ( 1 x )或 f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一 个等式组成方程组，通过解方程求出 f(x)． [演练冲关] 1．已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)的解析式． 解：法一：设 t＝ x＋1，则 x＝(t－1)2，t≥1，代入原式有 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1. 故 f(x)＝x2－1，x≥1. 法二：∵x＋2 x＝( x)2＋2 x＋1－1＝( x＋1)2－1， ∴f( x＋1)＝( x＋1)2－1， x＋1≥1， 即 f(x)＝x2－1，x≥1. 2．设 y＝f(x)是二次函数，方程 f(x)＝0 有两个相等实根，且 f′(x)＝2x＋2，求 f(x)的解 析式． 解：设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则 f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2， ∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c. 又∵方程 f(x)＝0 有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c＝0，解得 c＝1.故 f(x)＝x2＋2x＋1. 考点四　分段函数|(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函 数通常叫做分段函数． [提醒]　分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． [典题例析] 1．已知 f(x)＝Error!且 f(0)＝2，f(－1)＝3，则 f(f(－3))＝(　　) A．－2　　　　　　　　 B．2 C．3 D．－3 解析：选 B　由题意得 f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2， 解得 b＝1. f(－1)＝a－1＋b＝a－1＋1＝3，解得 a＝1 2. 故 f(－3)＝( 1 2 )－3＋1＝9， 从而 f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2. 2．已知实数 a≠0，函数 f(x)＝Error!若 f(1－a)＝f(1＋a)，则 a 的值为________． 解析：当 a>0 时，1－a<1,1＋a>1. 这时 f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a， f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a. 由 f(1－a)＝f(1＋a)得 2－a＝－1－3a，解得 a＝－3 2. 不合题意，舍去． 当 a<0 时，1－a>1,1＋a<1， 这时 f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a， f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a. 由 f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a＝2＋3a，解得 a＝－3 4. 综上可知，a 的值为－3 4. 答案：－3 4 [类题通法] 分段函数“两种”题型的求解策略 (1)根据分段函数解析式求函数值 首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围 应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段 的自变量的取值范围． [提醒]　当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论． [演练冲关] (2015·榆林二模)已知 f(x)＝Error! 使 f(x)≥－1 成立的 x 的取值范围是________． 解析：由题意知Error!或Error! 解得－4≤x≤0 或 0＜x≤2，故 x 的取值范围是[－4,2]． 答案：[－4,2] 一、选择题 1．(2015·大同调研)设全集为 R，函数 f(x)＝ln 1＋x 1－x的定义域为 M，则∁RM＝(　　) A．(－1,1)　　　　　　　　　 B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．[－1,1] 解析：选 C　由 f(x)＝ln1＋x 1－x，得到1＋x 1－x>0， 即(x＋1)(x－1)<0， 解得－1f(3)(　　) (3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”(　　) (4)函数 y＝1 x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)(　　) (5)函数 y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× 2．(人教 A 版教材习题改编)函数 y＝x2－2x(x∈[2,4])的增区间为________． 答案：[2,4] 3．若函数 y＝(2k＋1)x＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则 k 的取值范围是________． 答案：(－∞，－1 2)基础盘查二　函数的最值 (一)循纲忆知 1．理解函数最大值、最小值及其几何意义． 2．会运用函数图象理解和研究函数的最值． (二)小题查验 1．判断正误 (1)所有的单调函数都有最值(　　) (2)函数 y＝1 x在[1,3]上的最小值为1 3(　　) 答案：(1)×　(2)√ 2 ．( 人 教 A 版教 材 例题 改 编 )已 知 函数 f(x) ＝ 2 x－1(x ∈[2,6]) ，则 函 数的 最 大 值为 ________． 答案：2 考点一　函数单调性的判断|(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 1．定义法 设函数 f(x)的定义域为 I，区间 D⊆I，如果对于任意 x1，x2∈D，且 x1f(x2)． 2．导数法 在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)＞0，那么函数 y＝f(x)在这个区间上单调递增；如果 f′(x) ＜0，那么函数 y＝f(x)在这个区间上单调递减． [题组练透] 1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　) A．f(x)＝3－x　　　　　　　 B．f(x)＝x2－3x C．f(x)＝－ 1 x＋1 D．f(x)＝－|x| 解析：选 C　当 x>0 时，f(x)＝3－x 为减函数； 当 x∈(0，3 2 )时，f(x)＝x2－3x 为减函数， 当 x∈( 3 2，＋∞)时，f(x)＝x2－3x 为增函数； 当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－ 1 x＋1为增函数； 当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．故选 C. 2．讨论函数 f(x)＝ ax x2－1(a＞0)在 x∈(－1,1)上的单调性． 解：设－1＜x1＜x2＜1， 则 f(x1)－f(x2)＝ ax1 x21－1 － ax2 x22－1 ＝ax1x22－ax1－ax2x21＋ax2 (x21－1)(x22－1) ＝a(x2－x1)(x1x2＋1) (x21－1)(x22－1) . ∵－1＜x1＜x2＜1，a>0， ∴x2－x1＞0，x1x2＋1＞0，(x21－1)(x22－1)＞0. ∴f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)>f(x)2， 故函数 f(x)在(－1,1)上为减函数． [类题通法] 对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： (1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解． (2)可导函数则可以利用导数判断．但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法 进行判断． 考点二　求函数的单调区间|(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 单调区间的定义 若函数 y＝f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 y＝f(x)在这一区间上具有(严格 的)单调性，区间 D 叫做 y＝f(x)的单调区间． [典题例析] 求下列函数的单调区间： (1)y＝－x2＋2|x|＋1； (2)y＝log1 2(x2－3x＋2)． 解：(1)由于 y＝Error! 即 y＝Error! 画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和 [0,1] ， 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． (2)令 u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作 y＝log1 2u 与 u＝x2－3x＋2 的复合函数． 令 u＝x2－3x＋2＞0，则 x＜1 或 x＞2. ∴函数 y＝log1 2(x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)． 又 u＝x2－3x＋2 的对称轴 x＝3 2，且开口向上． ∴u＝x2－3x＋2 在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数． 而 y＝log1 2u 在(0，＋∞)上是单调减函数， ∴y＝log1 2(x2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)． [类题通法] 求函数的单调区间与确定单调性的方法一致 (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义． (3)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写 出它的单调区间． (4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间． [提醒]　单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分 别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． [演练冲关] 1．若将典例(1)中的函数变为“y＝|－x2＋2x＋1|”，则结论如何？ 解：函数 y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示． 由图象可知，函数 y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为(1－ 2，1) 和(1＋ 2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－ 2)和(1,1＋ 2)． 2．设函数 y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数 k， 定义函数 fk(x)＝Error!取函数 f(x)＝2－|x|.当 k＝1 2时，求函数 fk(x)的单调递增区间． 解：由 f(x)>1 2，得－10 C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0 解析：选 B　∵函数 f(x)＝log2x＋ 1 1－x在(1，＋∞)上为增函数，且 f(2)＝0， ∴当 x1∈(1,2)时，f(x1)f(2)＝0， 即 f(x1)<0，f(x2)>0. 角度三：解函数不等式 3．f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足 f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当 f(x)＋f(x－ 8)≤2 时，x 的取值范围是(　　) A．(8，＋∞) B．(8,9] C．[8,9] D．(0,8) 解析：选 B　2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由 f(x)＋f(x－8)≤2，可得 f[x(x－8)]≤f(9)，因为 f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有Error! 解得 8＜x≤9. 角度四：利用单调性求参数的取值范围或值 4．已知函数 f(x)＝Error!满足对任意的实数 x1≠x2，都有f(x1)－f(x2) x1－x2 <0 成立，则实数 a 的取值范围为(　　) A．(－∞，2)　　　　　　　 B.(－∞，13 8 ] C．(－∞，2] D.[ 13 8 ，2)解析：选 B　由题意可知，函数 f(x)是 R 上的减函数， 于是有Error! 由此解得 a≤13 8 ， 即实数 a 的取值范围是(－∞，13 8 ] . [类题通法] 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数 的单调性解决． (2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱 掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数． ①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调 区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调 的． (4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值． 一、选择题 1．(2014·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　) A．y＝ x＋1　　　　　　　　 B．y＝(x－1)2 C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1) 解析：选 A　显然 y＝ x＋1是(0，＋∞)上的增函数；y＝(x－1)2 在(0,1)上是减函数，在 (1，＋∞)上是增函数；y＝2－x＝( 1 2 )x 在 x∈R 上是减函数；y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞) 上是减函数，故选 A. 2．函数 f(x)＝|x－2|x 的单调减区间是(　　) A．[1,2] B．[－1,0] C．[0,2] D．[2，＋∞) 解析：选 A　由于 f(x)＝|x－2|x＝Error! 结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]． 3．(2015·黑龙江牡丹江月考)设函数 f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线 x＝1 对称， 且当 x≥1 时，f(x)＝3x－1，则(　　) A．f( 1 3 )f( 2 3 )，即 f( 1 3 )>f( 3 2 )>f( 2 3 ). 4.(创新题)定义新运算⊕：当 a≥b 时，a⊕b＝a；当 a0. ∵x1＋x2<0，∴x1<－x2<0. 由 f(x)＋f(－x)＝0 知 f(x)为奇函数． 又由 f(x)在(－∞，0)上单调递增得，f(x1)1，即|x|<1，且 x≠0.故－10 且 f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求 a 的取值范围． 解：(1)证明：任设 x10，x1－x2<0， ∴f(x1)0，x2－x1>0， ∴要使 f(x1)－f(x2)>0， 只需(x1－a)(x2－a)>0 在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1. 综上所述知 a 的取值范围是(0,1]． 12．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数 f(x)满足 f ( x1 x2 )＝f(x1)－f(x2)，且当 x>1 时， f(x)<0. (1)求 f(1)的值； (2)证明：f(x)为单调递减函数； (3)若 f(3)＝－1，求 f(x)在[2,9]上的最小值． 解：(1)令 x1＝x2>0， 代入得 f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0， 故 f(1)＝0. (2)证明：任取 x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1>x2， 则x1 x2>1，由于当 x>1 时，f(x)<0， 所以 f( x1 x2 )<0，即 f(x1)－f(x2)<0， 因此 f(x1)0)的周期函数(　　) 答案：(1)√　(2)√ 2．若函数 f(x)是周期为 5 的奇函数，且满足 f(1)＝1，f(2)＝2，则 f(8)－f(14)＝________. 答案：－1 考点一　函数奇偶性的判断|(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 函数的奇偶性的定义 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x)[或 f(－x)＝－f(x)]，那么函数 f(x) 就叫做偶函数(奇函数)． [提醒]　定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． [题组练透] 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝ 1－x2＋ x2－1； (2)f(x)＝ 3－2x＋ 2x－3； (3)f(x)＝3x－3－x； (4)f(x)＝ 4－x2 |x＋3|－3； (5)f(x)＝Error! 解：(1)∵由Error!得 x＝±1， ∴f(x)的定义域为{－1,1}． 又 f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0， 即 f(x)＝±f(－x)． ∴f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)∵函数 f(x)＝ 3－2x＋ 2x－3的定义域为{ 3 2 }， 不关于坐标原点对称， ∴函数 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (3)∵f(x)的定义域为 R， ∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)， 所以 f(x)为奇函数． (4)∵由Error!得－2≤x≤2 且 x≠0. ∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]， ∴f(x)＝ 4－x2 |x＋3|－3＝ 4－x2 (x＋3)－3 ＝ 4－x2 x ， ∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数． (5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当 x>0 时，f(x)＝x 2＋ x， 则当 x<0 时，－x>0， 故 f(－x)＝x2－x＝f(x)； 当 x<0 时，f(x)＝x2－x，则当 x>0 时，－x<0， 故 f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数． [类题通法] 判定函数奇偶性的常用方法及思路 1．定义法： 2．图象法： 3．性质法： (1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶； (2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶； (3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇． [提醒]　(1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的． (2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明 f(－x)与 f(x)的关系，只有对各段上的 x 都满足 相同的关系时，才能判断其奇偶性． 考点二　函数的周期性|(题点多变型考点——全面发掘) [必备知识] 1．周期函数 对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的 最小正周期． [一题多变] [典型母题] 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x＋2)＝－f(x)．当 x∈[0,2]时，f(x) ＝2x－x2. (1)求函数的最小正周期； (2)计算 f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)． [解]　(1)∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)的最小正周期为 4. (2)f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0， f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1. 又∵f(x)是周期为 4 的周期函数， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝0. [题点发散 1]　本例条件若改为：设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋2)＝f(x)，且当 x∈ [0,2)时，f(x)＝2x－x2.试计算 f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)的值． 解：因为 f(x＋2)＝f(x)，所以周期 T＝2. 又 f(0)＝0，f(1)＝1， 所以 f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 014)＝0， f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 015)＝1， 所以 f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝1 008. [题点发散 2]　若本例中条件变为“f(x＋2)＝－ 1 f(x)”，求函数 f(x)的最小正周期． 解：∵对任意 x∈R，都有 f(x＋2)＝－ 1 f(x)， ∴f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－ 1 f(x＋2)＝－ 1 － 1 f(x) ＝f(x)， ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数． [题点发散 3]　在本例条件下，求 f(x)(x∈[2,4])的解析式． 解：当 x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]， 由已知得 f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2， 又 f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2. ∴f(x)＝x2＋2x. 又当 x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]， ∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)． 又 f(x)是周期为 4 的周期函数， ∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 故 x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8. [类题通法] 1．判断函数周期性的两个方法 (1)定义法． (2)图象法． 2．周期性三个常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： (1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a； (2)若 f(x＋a)＝ 1 f(x)，则 T＝2a； (3)若 f(x＋a)＝－ 1 f(x)，则 T＝2a.(a>0) [提醒]　应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内． 考点三　函数性质的综合应用|(常考常新型考点——多角探明) [多角探明] 高考对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、 单调性的综合考查. 归纳起来常见的命题角度有： (1)单调性与奇偶性结合； (2)周期性与奇偶性结合； (3)单调性、奇偶性与周期性结合. 角度一：单调性与奇偶性结合 1．(2015·洛阳统考)下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是(　　) A．y＝x2　　　　　　　　 B．y＝2|x| C．y＝log2 1 |x| D．y＝sin x 解析：选 C　函数 y＝x2 在(－∞，0)上是减函数；函数 y＝2|x|在(－∞，0)上是减函数； 函数 y＝log2 1 |x|＝－log2|x|是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数；函数 y＝sin x 不是偶函数．综 上所述，选 C. 2．已知奇函数 f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足 f(1－m)＋f(1－ m2)<0 的实数 m 的取值范围． 解：∵f(x)的定义域为[－2,2]， ∴Error!解得－1≤m≤ 3.① 又 f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴f(x)在[－2,2]上递减， ∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m>m2－1， 解得－2g(0)>g(－1)． 答案：f(1)>g(0)>g(－1) 10．设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝Error!其中 a，b∈ R.若 f( 1 2 )＝f( 3 2 )，则 a＋3b 的值为________． 解析：因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，所以 f( 3 2 )＝f(－1 2 )，且 f(－1)＝ f(1)，故 f( 1 2 )＝f(－1 2 )，从而 1 2b＋2 1 2＋1 ＝－1 2a＋1，即 3a＋2b＝－2.① 由 f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝b＋2 2 ，即 b＝－2a.② 由①②得 a＝2，b＝－4，从而 a＋3b＝－10. 答案：－10 三、解答题 11．已知函数 f(x)＝Error!是奇函数． (1)求实数 m 的值； (2)若函数 f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数 a 的取值范围． 解：(1)设 x<0，则－x>0， 所以 f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又 f(x)为奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)， 于是 x<0 时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以 m＝2. (2)要使 f(x)在[－1，a－2]上单调递增， 结合 f(x)的图象知Error! 所以 1＜a≤3，故实数 a 的取值范围是(1,3]． 12．设 f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当 0≤x≤1 时，f(x)＝x. (1)求 f(π)的值； (2)当－4≤x≤4 时，求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数 f(x)的单调区间． 解：(1)由 f(x＋2)＝－f(x)，得 f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数． ∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x＋2)＝－f(x)， 得 f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]， 即 f(1＋x)＝f(1－x)． 从而可知函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝1 对称． 又当 0≤x≤1 时，f(x)＝x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如图所 示． 设当－4≤x≤4 时，f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S， 则 S＝4S△OAB＝4×( 1 2 × 2 × 1)＝4. (3)函数 f(x)的单调递增区间为[4k－1,4k＋1](k∈Z)， 单调递减区间为[4k＋1,4k＋3](k∈Z)． 第四节 函数的图象 基础盘查一　利用描点法作函数图象 (一)循纲忆知 　会利用描点法作一些函数图象(如 y＝sin x)． (二)小题查验 1．判断正误 (1)函数 f(x)＝ x－1 x－1 与 g(x)＝ x－1的图象相同(　　) (2)点(0,0)，( 1 2，1 8 )，(1,1)，(2,8)为 y＝x3 的关键点(　　) 答案：(1)×　(2)√ 2．函数 y＝xax |x| (a>1)的图象的大致形状是(　　) 答案：A 基础盘查二　利用图象变换法作函数图象 (一)循纲忆知 能用变换法作函数图象，并会运用函数图象理解和研究函数的性质． (二)小题查验 1．判断正误 (1)当 x∈(0，＋∞)时，函数 y＝|f(x)|与 y＝f(|x|)的图象相同(　　) (2)函数 y＝af(x)与 y＝f(ax)(a>0 且 a≠1)的图象相同(　　) (3)函数 y＝f(x)与 y＝－f(x)的图象关于原点对称(　　) (4)若函数 y＝f(x)满足 f(1＋x)＝f(1－x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称(　　) (5)将函数 y＝f(－x)的图象向右平移 1 个单位得到函数 y＝f(－x－1)的图象(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× 2．已知图①中的图象对应的函数为 y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为(　　) A．y＝f(|x|)　　　　　　　　 B．y＝|f(x)| C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|) 答案：C 考点一　作函数的图象|(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 描点法作函数图象的基本步骤：列表、描点、连线． 首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、 周期性)； 其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)； 最后：描点，连线． [题组练透] 分别画出下列函数的图象： (1)y＝|lg x|； (2)y＝2x＋2； (3)y＝x2－2|x|－1. 解：(1)y＝Error!图象如图 1. (2)将 y＝2x 的图象向左平移 2 个单位．图象如图 2. (3)y＝Error!图象如图 3. [类题通法] 画函数图象的一般方法 1．直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数 的特征直接作出； 2．图象变换法．变换包括：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换． (1)平移变换： y＝f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― →a > 0，右移a个单位 a < 0，左移|a|个单位 y＝f(x－a)； y＝f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― →b > 0，上移b个单位 b < 0，下移|b|个单位 y＝f(x)＋b. (2)伸缩变换： y＝f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ―→0 < ω < 1，伸长为原来的倍 y＝f(ωx)； y＝f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― ―→A > 1，伸为原来的A倍 0 < A < 1，缩为原来的A y＝Af(x)． (3)对称变换： y＝f(x) ― ― ― ― ― ― →关于x轴对称 y＝－f(x)； y＝f(x) ― ― ― ― ―→关于y轴对称 y＝f(－x)； y＝f(x) ― ― ― ― ― ― →关于原点对称 y＝－f(－x)． (4)翻折变换： y＝f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ―→去掉y轴左边图，保留y轴右边图 将y轴右边的图象翻折到左边去 y＝f(|x|)； y＝f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― ―→留下x轴上方图 将x轴下方图翻折上去 y＝|f(x)|. 考点二　识图与辨图|(重点保分型考点——师生共研) [典题例析] 1．(2015·海淀区期中测试)函数 f(x)＝2x＋sin x 的部分图象可能是(　　) 解析：选 A　因为 x∈R，f(－x)＝－2x－sin x＝－f(x)，所以函数图象关于原点对称，又 f′(x)＝2＋cos x＞0，所以函数单调递增，因此选 A. 2.已知定义在区间[0,2]上的函数 y＝f(x)的图象如图所示，则 y＝－f(2－x) 的图象为(　　) 解：选 B　法一：由 y＝f(x)的图象知 f(x)＝Error! 当 x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]， 所以 f(2－x)＝Error! 故 y＝－f(2－x)＝Error! 法二：当 x＝0 时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1； 当 x＝1 时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1. 观察各选项，可知应选 B. [类题通法] 识图常用的方法 (1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利 用这一特征分析解决问题； (2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题； (3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解 决问题． [演练冲关] 1．已知 f(x)＝Error!则下列函数的图象错误的是(　　) 解析：选 D　先在坐标平面内画出函数 y＝f(x)的图象，如图所示，再 将函数 y＝f(x)的图象向右平移 1 个单位长度即可得到 y＝f(x－1)的图象， 因此 A 正确； 作函数 y＝f(x)的图象关于 y 轴的对称图形，即可得到 y＝f(－x)的图 象，因此 B 正确； y＝f(x)的值域是[0,2]，因此 y＝|f(x)|的图象与 y＝f(x)的图象重合，C 正确； y＝f(|x|)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当 0≤x≤1 时，y＝f(|x|)＝ x，相应这部分 图象不是一条线段，因此选项 D 不正确． 综上所述，选 D. 2.如图，不规则四边形 ABCD 中：AB 和 CD 是线段，AD 和 BC 是圆弧，直 线 l⊥AB 交 AB 于 E，当 l 从左至右移动(与线段 AB 有公共点)时，把四边形 ABCD 分成两部分，设 AE＝x，左侧部分的面积为 y，则 y 关于 x 的图象大致 是(　　) 解析：选 C　当 l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了 D 点后面积 保持匀速增加，图象呈直线变化，过了 C 点后面积的增加速度又逐渐减慢，故选 C. 3.如图，函数 f(x)的图象是曲线 OAB，其中点 O，A，B 的坐标分别为 (0,0)，(1,2)，(3,1)，则 f ( 1 f(3) )的值等于________． 解析：∵由图象知 f(3)＝1， ∴ 1 f(3)＝1.∴f( 1 f(3) )＝f(1)＝2. 答案：2 考点三　函数图象的应用|(常考常新型考点——多角探明) [多角探明] 函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系 提供了“形”的直观性. 归纳起来图象的应用常见的命题角度有： (1)研究函数的性质； (2)确定方程根的个数； (3)求参数的取值范围； (4)求不等式的解集. 角度一：研究函数的性质 1．已知函数 f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1) C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1) D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0) 解析：选 C　将函数 f(x)＝x|x|－2x 去掉绝对值得 f(x)＝Error!画出函数 f(x) 的图象，如图，观察图象可知，函数 f(x)的图象关于原点对称，故函数 f(x)为奇 函数，且在(－1,1)上单调递减． 角度二：确定方程根的个数 2 ． (2015· 日 照 一 模 ) 已 知 f(x) ＝ Error! 则 函 数 y ＝ 2f2(x) － 3f(x) ＋ 1 的 零 点 个 数 是 ________． 解析：方程 2f2(x)－3f(x)＋1＝0 的解为 f(x)＝1 2或 1.作出 y＝f(x)的图象，由图象知零点的 个数为 5. 答案：5 角度三：求参数的取值范围 3．(2014·山东高考)已知函数 f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程 f(x)＝g(x)有两个不相等的 实根，则实数 k 的取值范围是(　　) A.(0，1 2 )　　　　　　　　 B.( 1 2，1 )C．(1,2) D．(2，＋∞) 解析：选 B　在同一坐标系中分别画出函数 f(x)，g(x)的图象如 图所示，方程 f(x)＝g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图 象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线 y＝kx 的斜率大于 坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线 y＝x－1 的斜率时符合 题意，故1 20， 在( π 2，4 )上 y＝cos x<0. 由 f(x)的图象知在(1，π 2 )上 f(x) cos x<0， 因为 f(x)为偶函数，y＝cos x 也是偶函数， 所以 y＝ f(x) cos x为偶函数， 所以 f(x) cos x<0 的解集为(－π 2，－1)∪(1，π 2 ). 答案：(－π 2，－1)∪(1，π 2 ) [类题通法] 1．利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应 定义域；上下范围对应值域；上升、下降趋势对应单调性；对称性对应奇偶性． 2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的图象交点个数；利用此法也可由 解的个数求参数值． 3．有关不等式的问题常常转化为两函数图象的上、下关系来解． 一、选择题 1．函数 y＝e1－x2 的图象大致是(　　) 解析：选 C　易知函数 f(x)为偶函数，因此排除 A，B；又因为 f(x)＝e1－x2＞0，故排除 D，因此选 C. 2．为了得到函数 y＝2x－3－1 的图象，只需把函数 y＝2x 的图象上所有的点(　　) A．向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 B．向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 C．向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 D．向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 解析：选 A　y＝2x ― ― ― ― ― ― ― ― ―→向右平移3个单位长度 y＝2x－3 ― ― ― ― ― ― ― ― ―→向下平移1个单位长度 y＝2x－3－1.故选 A. 3．(2015·海淀区期中测试)下列函数 f(x)图象中，满足 f( 1 4 )＞f(3)＞f(2)的只可能是(　　) 解析：选 D　因为 f( 1 4 )＞f(3)＞f(2)，所以函数 f(x)有增有减，排除 A，B.在 C 中，f( 1 4 ) ＜f(0)＝1，f(3)＞f(0)，即 f( 1 4 )＜f(3)，排除 C，选 D. 4．设函数 F(x)＝f(x)＋f(－x)，x∈R，且[－π，－π 2]是函数 F(x)的一个单调递增区间．将 函数 F(x)的图象向右平移 π 个单位，得到一个新的函数 G( x)的图象，则 G(x)的一个单调递减 区间是(　　) A.[－π，－π 2]　　　　　　 B.[－π 2，0] C.[ π 2，π ] D.[ 3π 2 ，2π]解析：选 D　∵F(x)＝f(x)＋f(－x)，x∈R，∴F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，∴F(x)为偶函 数，∴[ π 2，π ]为函数 F(x)的一个单调递减区间．将 F(x)的图象向右平移 π 个单位，得到一个 新的函数 G(x)的图象，则 G(x)的一个单调递减区间是[ 3π 2 ，2π]. 5．(2015·成都模拟)设奇函数 f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且 f(1)＝0，则不等式f(x)－f(－x) x <0 的解集为(　　) A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1) 解析：选 D　f(x)为奇函数，所以不等式f(x)－f(－x) x <0 化为f(x) x <0，即 xf(x)<0，f(x)的大致图象如图所示．所以 xf(x)<0 的解集为(－1,0)∪(0,1)． 6.(创新题)已知函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)＝Error!若方程 f(x)＝x＋a 有两个不同实根，则 a 的取值范围为(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(0,1) D．(－∞，＋∞) 解析：选 A　x≤0 时， f(x)＝2－x－1， 00 时，f(x)是周期函数， 如图所示． 若方程 f(x)＝x＋a 有两个不同的实数根，则函数 f(x)的图象与直线 y＝x＋a 有两个不同交 点， 故 a<1，即 a 的取值范围是(－∞，1)，故选 A. 二、填空题 7.已知函数 f(x)的图象如图所示，则函数 g(x)＝log 2f(x)的定义域 是________． 解析：当 f(x)>0 时，函数 g(x)＝log 2f(x)有意义， 由函数 f(x)的图象知满足 f(x)>0 的 x∈(2,8]． 答案：(2,8] 8．函数 f(x)＝x＋1 x 的图象的对称中心为________． 解析：因为 f(x)＝x＋1 x ＝1＋1 x，故 f(x)的对称中心为(0,1)． 答案：(0,1) 9．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数 f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成， 则 f(x)的解析式为____________． 解析：当－1≤x≤0 时，设解析式为 y＝kx＋b， 则Error!得Error!∴y＝x＋1. 当 x>0 时，设解析式为 y＝a(x－2)2－1， ∵图象过点(4,0)，∴0＝a(4－2)2－1，得 a＝1 4. 答案：f(x)＝Error! 10．设函数 f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的 x∈R，不等式 f(x)≥g(x)恒成立，则实 数 a 的取值范围是____________． 解析：如图作出函数 f(x) ＝|x ＋a| 与 g(x) ＝x －1 的图象，观察 图象可知：当且仅当－a≤1，即 a≥－1 时，不等式 f(x)≥g(x)恒成 立，因此 a 的取值范围是[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞) 三、解答题 11．已知函数 f(x)＝Error! (1)在如图所示给定的直角坐标系内画出 f(x)的图象； (2)写出 f(x)的单调递增区间； (3)由图象指出当 x 取什么值时 f(x)有最值． 解：(1)函数 f(x)的图象如图所示． (2)由图象可知， 函数 f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]． (3)由图象知当 x＝2 时，f(x)min＝f(2)＝－1， 当 x＝0 时，f(x)max＝f(0)＝3. 12．已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)＝x＋1 x＋2 的图象关于点 A(0,1)对称． (1)求 f(x)的解析式； (2)若 g(x)＝f(x)＋a x，且 g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数 a 的取值范围． 解：(1)设 f(x)图象上任一点 P(x，y)，则点 P 关于(0,1)点的对称点 P′(－x,2－y)在 h(x)的 图象上， 即 2－y＝－x－1 x＋2， ∴y＝f(x)＝x＋1 x(x≠0)． (2)g(x)＝f(x)＋a x＝x＋a＋1 x ，g′(x)＝1－a＋1 x2 . ∵g(x)在(0,2]上为减函数， ∴1－a＋1 x2 ≤0 在(0,2]上恒成立， 即 a＋1≥x2 在(0,2]上恒成立， ∴a＋1≥4，即 a≥3， 故 a 的取值范围是[3，＋∞)． 命题点一　函数的概念及其表示 命题指数：☆☆☆☆☆ 难度：中、低 题型：选择题、填空题 1．(2014·山东高考)函数 f(x)＝ 1 (log2x)2－1 的定义域为(　　) A.(0，1 2 )　　　　　　　　 B．(2，＋∞) C.(0，1 2 )∪(2，＋∞) D.(0，1 2 ]∪[2，＋∞) 解析：选 C　由题意可知 x 满足(log2x)2－1>0，即 log2x>1 或 log2x<－1，解得 x>2 或 00， 则 x 的取值范围是________． 解析：由题可知，当－20，f(x－1)的图象是由 f(x)的图象向右平移 1 个单 位长度得到的，若 f(x－1)>0，则－1g(2)＝1，∴f(x)与 g(x)的图象的交点个数为 2，故选 B. 4．(2013·四川高考)函数 y＝ x3 3x－1的图象大致是(　　) 解析：选 C　因为函数的定义域是非零实数集，所以 A 错；当 x<0 时，y>0，所以 B 错； 当 x→＋∞时，y→0，所以 D 错，故选 C. 5．(2012·天津高考)已知函数 y＝|x2－1| x－1 的图象与函数 y＝kx－2 的图象恰有两个交点，则 实数 k 的取值范围是________________． 解析：因为函数 y＝|x2－1| x－1 ＝Error!又函数 y＝kx－2 的图象恒过点(0，－2)，根据图象易 知，两个函数图象有两个交点时，03－2a>0 或 3－2a1 时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2. 综上可知，a＝－1 或 a＝2. 2．设函数 y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为 g(x)，求 g(x)． 解：∵函数 y＝x2－2x＝(x－1)2－1， ∴对称轴为直线 x＝1， ∵x＝1 不一定在区间[－2，a]内， ∴应进行讨论． 当－21 时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当 x＝1 时，y 取得最小 值，即 ymin＝－1. 综上，g(x)＝Error! 角度二：二次函数中恒成立问题 3．已知 a 是实数，函数 f(x)＝2ax2＋2x－3 在 x∈[－1,1]上恒小于零，求实数 a 的取值范 围． 解：2ax2＋2x－3＜0 在[－1,1]上恒成立． 当 x＝0 时，适合； 当 x≠0 时，a＜3 2( 1 x－1 3 )2－1 6，因为1 x∈(－∞，－1] ∪[1，＋∞)，当 x＝1 时，右边取最小值1 2，所以 a＜1 2. 综上，实数 a 的取值范围是(－∞，1 2). 角度三：二次函数的零点问题 4．已知关于 x 的二次函数 f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t. (1)求证：对于任意 t∈R，方程 f(x)＝1 必有实数根； (2)若1 2＜t＜3 4，求证：函数 f(x)在区间(－1,0)及(0，1 2 )上各有一个零点． 证明：(1)∵f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t， ∴f(x)＝1⇔(x＋2t)(x－1)＝0，(*) ∴x＝1 是方程(*)的根，即 f(1)＝1. 因此 x＝1 是 f(x)＝1 的实根，即 f(x)＝1 必有实根． (2)当1 2＜t＜3 4时，f(－1)＝3－4t＞0， f(0)＝1－2t＝2( 1 2－t )＜0， f( 1 2 )＝1 4＋1 2(2t－1)＋1－2t＝3 4－t＞0. 又函数 f(x)的图象连续不间断． 因此 f(x)在区间(－1,0)及(0，1 2 )上各有一个零点． [类题通法] 二次函数图象与性质问题解题策略 1．对于二次项系数含参数的二次函数、方程、不等式问题，应对参数分类讨论，分类讨 论的标准就是二次项系数与 0 的关系． 2．当二次函数的对称轴不确定时，应分类讨论，分类讨论的标准就是对称轴在区间的左、 中、右三种情况． 3．求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要 求． 一、选择题 1．(2015·湖北孝感调研)函数 f(x)＝(m2－m－1)xm 是幂函数，且在 x∈(0，＋∞)上为增函 数，则实数 m 的值是(　　) A．－1　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．－1 或 2 解析：选 B　f(x)＝(m2－m－1)xm 是幂函数⇒m2－m－1＝1⇒m＝－1 或 m＝2.又 x∈(0，＋ ∞)上是增函数，所以 m＝2. 2．(2015·阿克苏 3 月模拟)已知幂函数 f(x)＝x α 的部分对应值如下表，则不等式 f(|x|)≤2 的解集是(　　) x 1 1 2 f(x) 1 2 2 A．{x|－4≤x≤4} B．{x|0≤x≤4} C．{x|－ 2≤x≤ 2} D．{x|0＜x≤ 2} 解析：选 A　由题意知 2 2 ＝( 1 2 )α， ∴α＝1 2，∴f(x)＝x1 2， 由|x|1 2≤2，得|x|≤4，故－4≤x≤4. 3．(2015·洛阳统考)设函数 f(x)＝x2－23x＋60，g(x)＝f(x)＋|f(x)|，则 g(1)＋g(2)＋…＋g(20) ＝(　　) A．56 B．112 C．0 D．38 解析：选 B　由二次函数图象的性质得，当 3≤x≤20 时，f(x)＋|f(x)|＝0，∴g(1)＋g(2) ＋…＋g(20)＝g(1)＋g(2)＝112. 4．(2015·北京西城期末)定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x＋1)＝2f(x)，且当 x∈(0,1]时，f(x) ＝x2－x，则当 x∈[－2，－1]时，f(x)的最小值为(　　) A．－ 1 16 B．－1 8 C．－1 4 D．0 解析：选 A　设 x∈[－2，－1]，则 x＋2∈[0,1]，则 f(x＋2)＝(x＋2) 2－(x＋2)，又 f(x＋2)＝ f[(x＋1)＋1]＝2f(x＋1)＝4f(x)，∴f(x)＝1 4(x2＋3x＋2)，∴当 x＝－3 2时，取最小值为－ 1 16. 5．(2015·吉林松原月考)设函数 f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)，已知 f(m)＜0，则(　　) A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0 C．f(m＋1)＞0 D．f(m＋1)＜0 解析：选 C　∵f(x)的对称轴为 x＝－1 2，f(0)＝a＞0， ∴f(x)的大致图象如图所示． 由 f(m)＜0，得－1＜m＜0， ∴m＋1＞0，∴f(m＋1)＞f(0)＞0. 6．已知函数 f(x)＝Error!则“－2≤a≤0”是“f(x)在 R 上单调递增”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 B　当 a＝－1 时，f(x)＝Error!作出图象可知，函数 f(x)在 R 上不是单调递增 函数，所以充分性不满足；反之，若函数 f(x)在 R 上是单调递增函数，则当 a＝0 时满足， 当 a≠0 时，－a 2≤1，a＜0 且－ 1 2a≥1，解得－ 1 2≤a＜0，即－ 1 2≤a≤0.所以能够推出－ 2≤a≤0，故“－2≤a≤0”是“函数 f(x)在 R 上单调递增”的必要不充分条件． 二、填空题 7．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为 x＝2，最小值为－1，则它的解析式为 ________________． 解析：依题意可设 f(x)＝a(x－2)2－1， 又其图象过点(0,1)， ∴4a－1＝1，∴a＝1 2. ∴f(x)＝1 2(x－2)2－1. 答案：f(x)＝1 2(x－2)2－1 8．对于任意实数 x，函数 f(x)＝(5－a)x2－6x＋a＋5 恒为正值，则 a 的取值范围是________． 解析：由题意可得Error! 解得－4＜a＜4. 答案：(－4,4) 9．已知幂函数 f(x)＝x－1 2，若 f(a＋1)＜f(10－2a)，则 a 的取值范围是________． 解析：∵f(x)＝x－1 2＝ 1 x(x＞0)，易知 x∈(0，＋∞)时为减函数，又 f(a＋1)＜f(10－2a)， ∴Error!解得Error! ∴3＜a＜5. 答案：(3,5) 10．设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数 y＝f(x)－g(x)在 x∈[a， b]上有两个不同的零点，则称 f(x)和 g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区 间”．若 f(x)＝x2－3x＋4 与 g(x)＝2x＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则 m 的取值范围为________． 解析：由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x 2－5x＋4－m 在[0,3]上有两个不同 的零点．在同一直角坐标系下作出函数 y＝m 与 y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的 图象如图所示，结合图象可知， 当 x∈[2,3]时， y＝x2－5x＋4∈[－9 4，－2]， 故当 m∈(－9 4，－2]时，函数 y＝m 与 y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图象有两个交点． 答案：(－9 4，－2]三、解答题 11．已知幂函数 f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)． (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； (2)若该函数 f(x)的图象经过点(2， 2)，试确定 m 的值，并求满足条件 f(2－a)＞f(a－1) 的实数 a 的取值范围． 解：(1)∵m2＋m＝m(m＋1)(m∈N*)，而 m 与 m＋1 中必有一个为偶数， ∴m2＋m 为偶数， ∴函数 f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函 数． (2)∵函数 f(x)的图象经过点(2， 2)， ∴ 2＝2 ，即 2 ＝2 ， ∴m2＋m＝2，解得 m＝1 或 m＝－2. 又∵m∈N*，∴m＝1，f(x)＝x . 又∵f(2－a)＞f(a－1)， ∴Error!解得 1≤a＜3 2， 故函数 f(x)的图象经过点(2， 2)时，m＝1. 2 1( )−＋m m 1 2 2 1( )−＋m m 1 2 满足条件 f(2－a)＞f(a－1)的实数 a 的取值范围为[1，3 2 ). 12．已知函数 f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若 f(x)在区间[2,3]上有最大值 5，最小值 2. (1)求 a，b 的值； (2)若 b<1，g(x)＝f(x)－mx 在[2,4]上单调，求 m 的取值范围． 解：(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a. 当 a>0 时，f(x)在[2,3]上为增函数， 故Error!⇒Error!⇒Error! 当 a<0 时，f(x)在[2,3]上为减函数， 故Error!⇒Error!⇒Error! (2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即 f(x)＝x2－2x＋2. g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2， ∵g(x)在[2,4]上单调，∴2＋m 2 ≤2 或m＋2 2 ≥4. ∴m≤2 或 m≥6. 故 m 的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)． 第六节 指数与指数函数 基础盘查一　根式 (一)循纲忆知 　理解根式的概念并能化简． (二)小题查验 1．判断正误 (1)n an与(n a)n 都等于 a(n∈N*)(　　) (2)当 n∈N*时，(n －3)n 都有意义(　　) (3) (π－4)2＝4－π(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．化简 a3b23 ab2 (ab)4ab (a>0，b>0)的结果为____________． 答案：ab－1 基础盘查二　有理数指数幂 (一)循纲忆知 理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． (二)小题查验 1．判断正误 (1)分数指数幂 a m n可以理解为m n个 a 相乘(　　) (2)(－1) ＝(－1) ＝ －1(　　) 答案：(1)×　(2)× 2．(人教 A 版教材习题改编) (1)2 3×3 1.5×6 12＝________. (2)(2a )(－6a b )÷(－3a b )＝________. 答案：(1)6　(2)4a 基础盘查三　指数函数的图象与性质 (一)循纲忆知 1．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 2．知道指数函数是一类重要的函数模型． (二)小题查验 1．判断正误 (1)函数 y＝3·2x 与 y＝2x＋1 都不是指数函数(　　) (2)若 am0 且 a≠1)，则 m1)的值域是(0，＋∞)(　　) (5)函数 y＝ax－1(a>0 且 a≠1)恒过点(1,1)(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ 2．(人教 A 版教材习题改编)已知 0.2m<0.2n，则 m______n(填“>”或“<”)． 答案：> 3．指数函数 y＝(2－a)x 在定义域内是减函数，则 a 的取值范围是__________． 答案：(1,2) 考点一　指数幂的化简与求值|(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] (1)幂的有关概念： 2 4 1 2 2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6 2 +1xa ①正分数指数幂：a ＝n am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)． ②负分数指数幂：a ＝ 1 am n ＝ 1 n am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)． ③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质： ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ar s(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． [提醒]　有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于 0，否则不能用性质来运 算． [题组练透] 求值与化简： (1)(23 5 )0＋2－2·(21 4 ) －(0.01)0.5； (2)5 6a ·b－2·(－3a b－1)÷(4a ·b－3) ； (3) (a·b－1)·a·b 6 a·b5 解：(1)原式＝1＋1 4×( 4 9 ) －( 1 100 ) ＝1＋1 4×2 3－ 1 10＝1＋1 6－ 1 10＝16 15. (2)原式＝－5 2a b－3÷(4a ·b－3) ＝－5 4a b－3÷(a b ) ＝－5 4a ·b . ＝－5 4· 1 ab3＝－5 ab 4ab2 . (3)原式＝ab·ab ab ＝a ·b ＝1 a. [类题通法] 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分 数． m n − m n 1 2 − 1 3 1 2 − 2 3 1 2 1 2 1 2 1 6 − 2 3 1 2 1 6 − 1 3 3 2 − 1 2 − 3 2 − 1 1 1 3 2 6 − − − 1 1 5 2 3 6 + − (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解 答． [提醒]　运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 考点二　指数函数的图象及应用|(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] (1)当 a＞1 时，指数函数的图象“上升”；当 0＜a＜1 时，指数函数的图象“下降”． (2)指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的图象过定点(0,1)，且函数图象经过第一、二象限． [典题例析] 1．函数 y＝ax－1 a(a>0，且 a≠1)的图象可能是(　　) 解析：选 D　法一：当 00，且 a≠1)的图象必过点(－1,0)，所以选 D. 2．(2015·衡水模拟)若曲线|y|＝2 x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 的取值范围是 ________． 解析：曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 的图象如图所示，由图可知：如果|y|＝2x＋1 与直线 y＝ b 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b∈[－1,1]． 答案：[－1,1] [类题通法] 指数函数图象的画法及应用 (1)画指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，(－1，1 a). (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对 称变换得到其图象． (3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求 解． [演练冲关] 1．(2015·北京模拟)在同一坐标系中，函数 y＝2x 与 y＝( 1 2 )x 的图象之间的关系是(　　) A．关于 y 轴对称　　　　 B．关于 x 轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线 y＝x 对称 解析：选 A　∵y＝( 1 2 )x＝2－x， ∴它与函数 y＝2x 的图象关于 y 轴对称． 2．若将典例 2 中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线 y＝b 有两个公共点，求 b 的取值范围． 解：曲线 y＝|2x－1|与直线 y＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线 y＝|2x－1|与直 线 y＝b 有两个公共点，则 b 的取值范围是(0,1)． 考点三　指数函数的性质及应用|(常考常新型考点——多角探明) [必备知识] 指数函数的性质 (1)定义域是 R； (2)值域是(0，＋∞)； (3)过定点(0,1)，即 x＝0 时，y＝1； (4)当 a＞1 时，在 R 上是增函数；当 0＜a＜1 时，在 R 上是减函数． [多角探明] 高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题. 归纳起来常见的命题角度有： (1)比较指数式的大小； (2)简单的指数方程或不等式的应用； (3)探究指数型函数的性质. 角度一：比较指数式的大小 1．设 a＝( 3 5 ) ，b＝( 2 5 ) ，c＝( 2 5 ) ，则 a，b，c 的大小关系是________． 解析：∵y＝x (x>0)为增函数，∴a>c. ∵y＝( 2 5 )x(x∈R)为减函数，∴c>b，∴a>c>b. 答案：a>c>b 角度二：简单的指数方程或不等式的应用 2．设函数 f(x)＝Error!若 f(a)＜1，则实数 a 的取值范围是(　　) A．(－∞，－3)　　　　　　 B．(1，＋∞) C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 解析：选 C　当 a＜0 时，不等式 f(a)＜1 可化为( 1 2 )a－7＜1，即 ( 1 2 )a＜8，即 ( 1 2 ) a＜( 1 2 )－3， 因为 0＜1 2＜1，所以 a＞－3，此时－3＜a＜0； 当 a≥0 时，不等式 f(a)＜1 可化为 a＜1， 所以 0≤a＜1.故 a 的取值范围是(－3,1)，故选 C. 角度三：探究指数型函数的性质 3．已知函数 f(x)＝( 1 3 ) . (1)若 a＝－1，求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值； (3)若 f(x)的值域是(0，＋∞)，求 a 的值． 解：(1)当 a＝－1 时，f(x)＝( 1 3 ) ， 令 g(x)＝－x2－4x＋3， 由于 g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而 y＝ ( 1 3 )t 在 R 上 单调递减， 所以 f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数 f(x)的单调递增 区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令 g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝( 1 3 )g(x)， 由于 f(x)有最大值 3，所以 g(x)应有最小值－1， 2 5 3 5 2 5 2 5 2 4 3− +ax x 2 4 3− +-x x 因此必有Error! 解得 a＝1，即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值等于 1. (3)由指数函数的性质知， 要使 y＝( 1 3 )g(x)的值域为(0，＋∞)． 应使 g(x)＝ax2－4x＋3 的值域为 R， 因此只能 a＝0.(因为若 a≠0，则 g(x)为二次函数，其值域不可能为 R)． 故 a 的值为 0. [类题通法] 指数函数的性质及应用问题解题策略 (1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0 或 1)法． (2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特 别注意底数 a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论． (3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、 周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论． 一、选择题 1．函数 f(x)＝2|x－1|的图象是(　　) 解析：选 B　f(x)＝Error!故选 B. 2．已知 f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则 f(x)的值域(　　) A．[9,81]　　　　　　　　　 B．[3,9] C．[1,9] D．[1，＋∞) 解析：选 C　由 f(x)过定点(2,1)可知 b＝2，因 f(x)＝3x－2 在[2,4]上是增函数，f(x)min＝f(2)＝ 1，f(x)max＝f(4)＝9.可知 C 正确． 3．已知 a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>c>a 解析：选 A　由 0.2<0.6,0.4<1，并结合指数函数的图象可知 0.40.2>0.40.6，即 b>c；因为 a＝ 20.2>1，b＝0.40.2<1，所以 a>b.综上，a>b>c. 4．(2015·太原一模)函数 y＝2x－2－x 是(　　) A．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 B．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 C．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 D．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 解析：选 A　令 f(x)＝2x－2－x，则 f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，所以函数 f(x)是奇函数，排 除 C，D. 又函数 y＝－2－x，y＝2x 均是 R 上的增函数， 故 y＝2x－2－x 在 R 上为增函数． 5．(2015·丽水模拟)当 x∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m)·4x－2x＜0 恒成立，则实数 m 的取值范围是(　　) A．(－2,1) B．(－4,3) C．(－1,2) D．(－3,4) 解析：选 C　原不等式变形为 m2－m＜( 1 2 )x， ∵函数 y＝( 1 2 )x 在(－∞，－1]上是减函数， ∴( 1 2 )x≥( 1 2 )－1＝2， 当 x∈(－∞，－1]时，m2－m＜( 1 2 )x 恒成立等价于 m2－m＜2，解得－1＜m＜2. 6．(2015·济宁三模)已知函数 f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c 且 f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中， 一定成立的是(　　) A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b≥0，c＞0 C．2－a＜2c D．2a＋2c＜2 解析：选 D　作出函数 f(x)＝|2x－1|的图象，如图， ∵a＜b＜c，且 f(a)＞f(c)＞f(b)，结合图象知 00 的解集是(1，＋∞)，由 1－ a 2x>0，可得 2x>a，故 x>log2a，由 log2a＝1 得 a＝2. 答案：2 8．(2015·南昌一模)函数 y＝8－23－x(x≥0)的值域是________． 解析：∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3， ∴0＜23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x<8， ∴函数 y＝8－23－x 的值域为[0,8)． 答案：[0,8) 9．定义区间[x1，x2]的长度为 x2－x1，已知函数 f(x)＝3|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,9]， 则区间[a，b]的长度的最大值为________，最小值为________． 解析：由 3|x|＝1 得 x＝0，由 3 |x|＝9 得 x＝±2，故满足题意的定义域可以为[－2， m](0≤m≤2)或[n,2](－2≤n≤0)，故区间[a，b]的最大长度为 4，最小长度为 2. 答案：4　2 10．(2015·济宁月考)已知函数 f(x)＝(a－2)a x(a＞0，且 a≠1)，若对任意 x 1，x2∈R， f(x1)－f(x2) x1－x2 ＞0，则 a 的取值范围是__________________． 解析：当 0＜a＜1 时，a－2＜0，y＝ax 单调递减，所以 f(x)单调递增；当 1＜a＜2 时，a －2＜0，y＝ax 单调递增，所以 f(x)单调递减；当 a＝2 时，f(x)＝0；当 a＞2 时，a－2＞0，y＝ ax 单调递增，所以 f(x)单调递增．又由题意知 f(x)单调递增，故 a 的取值范围是(0,1)∪(2，＋ ∞)． 答案：(0,1)∪(2，＋∞) 三、解答题 11．化简下列各式： (1)(27 9 )0.5＋0.1－2＋(210 27 ) －3π0＋37 48； (2)3 a· a－3÷ 3 a－3· a－1. 解：(1)原式＝( 25 9 ) ＋ 1 0.12＋( 64 27 ) －3＋37 48 2 3 − 1 2 2 3 − ＝5 3＋100＋ 9 16－3＋37 48＝100. (2)原式＝ 3 a·a÷ 3 a·a ＝ 3 a÷ 3 a－1 2 ＝a ÷a ＝a ＝a . 12．已知定义在 R 上的函数 f(x)＝2x－ 1 2|x|. (1)若 f(x)＝3 2，求 x 的值； (2)若 2tf(2t)＋mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立，求实数 m 的取值范围． 解：(1)当 x＜0 时，f(x)＝0，无解； 当 x≥0 时，f(x)＝2x－1 2x， 由 2x－1 2x＝3 2， 得 2·22x－3·2x－2＝0， 看成关于 2x 的一元二次方程， 解得 2x＝2 或 2x＝－1 2， ∵2x＞0，∴x＝1. (2)当 t∈[1,2]时，2t (22t－ 1 22t)＋m(2t－1 2t)≥0， 即 m(22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1＞0， ∴m≥－(22t＋1)， ∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]， 故 m 的取值范围是[－5，＋∞)． 第七节 对数与对数函数 基础盘查一　对数与对数运算 (一)循纲忆知 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数； 了解对数在简化运算中的作用． 7 6 1 6 − 8 6 4 3 (二)小题查验 1．判断正误 (1)(－2)3＝－8 可化为 log(－2)(－8)＝3(　　) (2)若 MN>0，则 loga(MN)＝logaM＋logaN(　　) (3)logax·logay＝loga(x＋y)(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．(人教 A 版教材习题改编)计算： (1)log35－log315＝________. (2)log23·log34·log45·log52＝________. 答案：(1)－1　(2)1 基础盘查二　对数函数的图象与性质 (一)循纲忆知 1．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 2．知道对数函数是一类重要的函数模型． 3．了解指数函数 y＝ax 与对数函数 y＝logax 互为反函数(a>0 且 a≠1)． (二)小题查验 1．判断正误 (1)函数 y＝log2x 及 y＝log 3x 都是对数函数(　　) (2)对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)在(0，＋∞)上是增函数(　　) (3)函数 y＝ln 1＋x 1－x与 y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同(　　) (4)对数函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，( 1 a，－1)，函数图象 只在第一、四象限(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(人教 A 版教材习题改编)函数 y＝ log0.5(4x－3)的定义域为________． 答案：( 3 4，1 ]3．函数 y＝loga(3x－2)(a>0，a≠1)的图象经过定点 A，则 A 点坐标是________． 答案：(1,0) 4．已知 a>0，且 a≠1，函数 y＝ax 与 y＝loga(－x)的图象可能是________(填序号)． 1 3 答案：② 考点一　对数式的化简与求值|(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 对数的运算 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0，且 a≠1，M>0，N>0)； (2)loga M N＝logaM－logaN(a>0，且 a≠1，M>0，N>0)； (3)logaMn＝nlogaM(a>0，且 a≠1，M>0，n∈R)； (4)对数换底公式：logbN＝logaN logab(a>0，a≠1，b>0，b≠1，N>0)； (5)对数恒等式：a ＝N(a>0，a≠1，N>0)． [提醒]　在应用 logaMn＝nlogaM 时，易忽视 M >0. [题组练透] 1．(2013·陕西高考)设 a，b，c 均为不等于 1 的正实数， 则下列等式中恒成立的是(　　) A．logab·logcb＝logca　　　 B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 解析：选 B　利用对数的换底公式进行验证，log ab·logca＝logcb logca·logca＝log cb，则 B 对． 2．计算下列各题： (1)lg3 7＋lg 70－lg 3－ (lg 3)2－lg 9＋1； (2)log3 4 27 3 ·log5[4 －(3 3) －7 ]． 解：(1)原式＝lg 3 7 × 70 3 － (lg 3)2－2lg 3＋1＝lg 10－ (lg 3－1)2＝1－|lg 3－1|＝lg 3. (2)原式＝log3 3 3 ·log5[2log210－(3 ) －7 ] ＝( 3 4log33－log33)·log5(10－3－2) ＝( 3 4－1 )·log55＝－1 4. [类题通法] 对数运算的一般思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简， loga N 1 102 2log 2 3 27log 3 2 2 3 27log 然后正用对数运算性质化简合并． (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同 底对数真数的积、商、幂的运算． 考点二　对数函数的图象及应用|(题点多变型考点——全面发掘) [必备知识] 对数函数图象的特点 (1)当 a>1 时，对数函数的图象呈上升趋势； 当 00，且 a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，( 1 a，－1)，函数图象 只在第一、四象限． [一题多变] [典型母题] 当 01 时不满足条件，当 0 2 2 ，所以 a 的取值范围为( 2 2 ，1). 法二：∵04x>1， ∴01 时，显然不成立； 当 01 时，在(0，＋∞)上是增函数；当 00 得－1b>c　　　　　　　　 B．b>c>a C．c>b>a D．b>a>c 解析：选 A　∵a＝3 >1,0b>c，故选 A. 2．已知函数 f(x)＝ax＋logax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为 loga2＋6，则 a 的值为(　　) A.1 2 B.1 4 C．2 D．4 解析：选 C　显然函数 y＝a x 与 y＝logax 在[1,2]上的单调性相同，因此函数 f(x)＝a x＋ logax 在[1,2]上的最大值与最小值之和为 f(1)＋f(2)＝(a＋loga1)＋(a2＋loga2)＝a＋a2＋loga2＝ loga2＋6，故 a＋a2＝6，解得 a＝2 或 a＝－3(舍去)．故选 C. 3．若 f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则 a 的取值范围为(　　) A．[1,2) B．[1,2] B．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 解析：选 A　令函数 g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为 x＝a，要使函 数在(－∞，1]上递减，则有Error!即Error!解得 1≤a<2，即 a∈[1,2)，故选 A. 一、选择题 1．(2015·内江三模)lg 5 1 000－8 ＝(　　) A．23 5 　　　　　　　　　　　 B．－17 5 C．－18 5 D．4 解析：选 B　lg 5 1 000－8 ＝lg 10 －(23) ＝ －4＝－17 5 . 2．若函数 y＝f(x)是函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的反函数，且 f(2)＝1，则 f(x)＝(　　) A．log2x B.1 2x C．log1 2x D．2x－2 解析：选 A　f(x)＝logax，∵f(2)＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x. 1 2 1 3 1 2 1 3 2 3 2 3 3 5 2 3 3 5 3．(2014·天津高考)函数 f(x)＝log (x2－4)的单调递增区间是(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2) 解析：选 D　函数 y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数 y＝f(x)是由 y＝ log t 与 t＝g(x)＝x2－4 复合而成，又 y＝log t 在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2) 上单调递减，所以函数 y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．选 D. 4．(2015·福州模拟)函数 y＝lg|x－1|的图象是(　　) 解析：选 A　因为 y＝lg|x－1|＝Error! 当 x＝1 时，函数无意义，故排除 B、D. 又当 x＝2 或 0 时，y＝0，所以 A 项符合题意． 5．(2015·长春质检)已知函数 f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则(　　) A．f(3)1，f(1)0 时，f(x)＝lg x2＋1 |x| ＝lgx2＋1 x ＝lg(x＋1 x )，令 t(x)＝x＋1 x， x>0，则 t′(x)＝1－ 1 x2，可知当 x∈(0,1)时，t′(x)<0，t(x)单调递减，当 x∈(1，＋∞)时， t′(x)>0，t(x)单调递增，即在 x＝1 处取到最小值为 2.由偶函数的图象关于 y 轴对称及复合函 数的单调性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④. 答案：①③④ 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1log 6 − 2 1log 6 三、解答题 11．已知函数 f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域； (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明； (3)当 a>1 时，求使 f(x)>0 的 x 的解集． 解：(1)要使函数 f(x)有意义． 则Error!解得－11 时，f(x)在定义域(－1,1)内是增函数， 所以 f(x)>0⇔x＋1 1－x>1，解得 00 的 x 的解集是(0,1)． 12．设 x∈[2,8]时，函数 f(x)＝1 2loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且 a≠1)的最大值是 1，最小值是－ 1 8，求 a 的值． 解：由题意知 f(x)＝1 2(logax＋1)·(logax＋2) ＝1 2(log2ax＋3logax＋2) ＝1 2(logax＋3 2)2－1 8. 当 f(x)取最小值－1 8时，logax＝－3 2. 又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)． ∵f(x)是关于 logax 的二次函数， ∴函数 f(x)的最大值必在 x＝2 或 x＝8 时取得． 若 1 2(loga2＋3 2)2－1 8＝1，则 a＝2 ， 此时 f(x)取得最小值时， x＝(2 ) ＝ 2∉[2,8]，舍去． 1 3 − 1 3 − 3 2 − 若 1 2(loga8＋3 2)2－1 8＝1，则 a＝1 2， 此时 f(x)取得最小值时，x＝( 1 2 ) ＝2 2∈[2,8]，符合题意，∴a＝1 2. 第八节 函数与方程 基础盘查一　函数的零点 (一)循纲忆知 1．了解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系． 2．掌握函数零点存在的条件，并会判断函数零点的个数． (二)小题查验 1．判断正误 (1)函数的零点是函数 y＝f(x)与 x 轴的交点(　　) (2)若 f(x)在(a，b)上有零点，一定有 f(a)·f(b)<0(　　) (3)函数 y＝2sin x－1 的零点有无数多个(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．函数 f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是(　　) A．(－2，－1)　　　　　　　　 B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 答案：B 3．函数 f(x)＝kx＋1 在[1,2]上有零点，则 k 的取值范围是________． 答案：(－1，－1 2)基础盘查二　二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 (一)循纲忆知 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数． (二)小题查验 1．判断正误 (1)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在 b2－4ac<0 时没有零点(　　) (2)已知函数 f(x)＝x2＋x＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数 a 的取值范围是(－2,0)(　　) 答案：(1)√　(2)√ 3 2 − 2．函数 f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)的零点为________． 答案：－ 2， 2，1,2 考点一　函数零点所在区间的判定|(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 零点存在性定理 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)＜0，那 么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根． [提醒]　此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数． [题组练透] 1．已知函数 f(x)＝6 x－log2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是(　　) A．(0,1)　　　　　　 B．(1,2) C．(2,4) D．(4，＋∞) 解析：选 C　因为 f(1)＝6－log21＝6＞0，f(2)＝3－log22＝2＞0，f(4)＝3 2－log24＝－1 2＜ 0，所以函数 f(x)的零点所在区间为(2,4)． 2．函数 f(x)＝2x－2 x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a 的取值范围是(　　) A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2) 解析：选 C　由条件可知 f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即 a(a－3)<0，解得 00，∴f(1)·f(8)<0， 又 f(x)＝x2－3x－18 在区间[1,8]的图象是连续的， 故 f(x)＝x2－3x－18 在区间[1,8]存在零点． 法二：令 f(x)＝0，得 x2－3x－18＝0， ∴(x－6)(x＋3)＝0. ∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]， ∴f(x)＝x2－3x－18 在区间[1,8]存在零点． 答案：存在 [类题通法] 确定函数 f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再 看是否有 f(a)·f(b)＜0.若有，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 考点二　判断函数零点个数|(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 1．函数零点的定义 对于函数 y＝f(x)，把使 f(x)＝0 成立的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点． 2．几个等价关系 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函数 y＝f(x)有零点． [典题例析] 1．(2013·天津高考)函数 f(x)＝2x|log0.5x|－1 的零点个数为(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：选 B　由 f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝( 1 2 )x. 设 g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝( 1 2 )x，在同一坐标系下分别画出函数 g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有 2 个交点，因此函数 f(x)有 2 个零点． 2．(2014·福建高考)函数 f(x)＝Error! 的零点个数是________． 解析：当 x≤0 时，令 x2－2＝0，解得 x＝－ 2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零 点．当 x>0 时，f′(x)＝2＋1 x＞0 恒成立，所以 f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又因为 f(2)＝－2 ＋ln 2＜0，f(3)＝ln 3＞0，所以 f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数 f(x)的零点个数为 2. 答案：2 [类题通法] 判断函数零点个数的方法 (1)解方程法：若对应方程 f(x)＝0 可解时，通过解方程，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函 数有多少个零点． (3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其 交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数． [演练冲关] 1．函数 f(x)＝sin(πcos x)在区间[0,2π]上的零点个数是(　　) A．3　　　　　　　　　　 B．4 C．5 D．6 解析：选 C　令 f(x)＝0，得 πcos x＝kπ(k∈Z)⇒cos x＝k，所以 k＝0,1，－1.若 k＝0，则 x＝π 2或 x＝3π 2 ；若 k＝1，则 x＝0 或 x＝2π；若 k＝－1，则 x＝π，故零点个数为 5. 2．(2015·北京丰台二模)函数 f(x)＝x1 2－( 1 2 )x 的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选 B　令 f(x)＝0，得 x1 2＝( 1 2 )x，在平面直角坐标系中分别画出函数 y＝x 1 2与 y ＝( 1 2 )x 的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选 B. 考点三　函数零点的应用|(题点多变型考点——全面发掘) [一题多变] [典型母题] 若函数 f(x)＝xln x－a 有两个零点，则实数 a 的取值范围为________． [解析]　令 g(x)＝xln x，h(x)＝a，则问题可转化成函数 g(x)与 h(x)的图象有两个交 点．g′(x)＝ln x＋1，令 g′(x)<0，即 ln x<－1，可解得 00，即 ln x>－1， 可解得 x>1 e，所以，当 01 e时，函数 g(x)单调递增，由此 可知当 x＝1 e时，g(x)min＝－1 e.在同一坐标系中作出函数 g(x)和 h(x)的简图如图所示，据图可 得－1 e2， ∴f(1)·f(2)<0， ∵函数 f(x)＝ln x＋x－2 的图象是连续的， ∴函数 f(x)的零点所在的区间是(1,2)． 法二：函数 f(x)的零点所在的区间转化为函数 g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2 图象交点的横坐 标所在的范围，如图所示， 可知 f(x)的零点所在的区间为(1,2)． 2．设 f(x)＝x3＋bx＋c 是[－1,1]上的增函数，且 f(－1 2 )·f( 1 2 )<0，则方程 f(x)＝0 在[－ 1,1]内(　　) A．可能有 3 个实数根 B．可能有 2 个实数根 C．有唯一的实数根 D．没有实数根 解析：选 C　由 f(x)在[－1,1]上是增函数，且 f(－1 2 )·f( 1 2 )<0，知 f(x)在[－1 2，1 2]上有 唯一零点，所以方程 f(x)＝0 在[－1,1]上有唯一实数根． 3．(2015·河北质检)若 f(x)是奇函数，且 x0 是 y＝f(x)＋ex 的一个零点，则－x0 一定是下列 哪个函数的零点(　　) A．y＝f(－x)ex－1 B．y＝f(x)e－x＋1 C．y＝exf(x)－1 D．y＝exf(x)＋1 解析：选 C　由已知可得 f(x0)＝－ex0，则 e－x0f(x0)＝－1，e－x0f(－x0)＝1，故－x0 一定 是 y＝exf(x)－1 的零点． 4．已知函数 f(x)满足 f(x＋1)＝f(x－1)，f(x)＝f(2－x)，且函数 y＝f(x)在区间[0,1]内有且只 有一个零点1 2，则 y＝f(x)在区间[0,2 014]上的零点的个数为(　　) A．2 012 B．1 006 C．2 014 D．1 007 解析：选 C　由 f(x＋1)＝f(x－1)可得函数 f(x)为周期为 2 的周期函数，由 f(x)＝f(2－x)可 得 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，由函数 y＝f(x)在区间[0,1]上有且只有一个零点1 2，可知函 数 y＝f(x)在区间[1,2]上有一个零点3 2，又 f(x)在区间[0,2 014]上有 1 007 个周期，故有 2 014 个 零点． 5．已知函数 f(x)＝x2－bx＋a 的图象如图所示，则函数 g(x)＝ln x＋f′(x)的零点所在的区 间是(　　) A.( 1 4，1 2 ) B.( 1 2，1 )C．(1,2) D．(2,3) 解析：选 B　由题图可知 f(x)的对称轴 x＝b 2∈( 1 2，1 )，则 1＜b＜2，易知 g(x)＝ln x＋2x－ b，则 g( 1 4 )＝－2ln 2＋1 2－b＜0，g( 1 2 )＝－ln 2＋1－b＜0，g(1)＝2－b＞0，故 g(x)的零 点所在的区间是( 1 2，1 ). 6．(2015·湖北八校联考)已知 x∈R，符号[x]表示不超过 x 的最大整数，若函数 f(x)＝[x] x － a(x≠0)有且仅有 3 个零点，则 a 的取值范围是(　　) A.( 3 4，4 5 ]∪[ 4 3，3 2 ) B.[ 3 4，4 5 ]∪[ 4 3，3 2 ] C.( 1 2，2 3 ]∪[ 5 4，3 2 ) D.[ 1 2，2 3 ]∪[ 5 4，3 2 ] 解析：选 A　当 00 和 k<0 作出函数 f(x)的图象．当 01 或 k<0 时，没有交点，故当 01)的增长速度会超过并远远大于 y＝xα(α>0)的 增长速度(　　) (3)“指数爆炸”是指数型函数 y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比 喻(　　) (4)幂函数增长比直线增长更快(　　) (5)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 2．某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍，且知病毒的繁殖规律为 y＝ekt(其中 k 为常数， t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则 k＝________，经过 5 小时，1 个病毒能繁殖 为________个． 答案：2ln 2　1 024 基础盘查二　常见的几种函数模型 (一)循纲忆知 了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函 数模型)的广泛应用． (二)小题查验 1．判断正误 (1)不存在 x0，使 ax00)．当 x － 4 x ＝0，即 x＝4 时，L 取得最大值 21.5. 故当年广告费投入 4 万元时，该公司的年利润最大． 答案：4 9．某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元，预测六月份销售额为 500 万元，七 月份销售额比六月份递增 x%，八月份销售额比七月份递增 x%，九、十月份销售总额与七、 八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达 7 000 万元，则 x 的最小值是 ________． 解析：七月份的销售额为 500(1＋x%)，八月份的销售额为 500(1＋x%)2，则一月份到十 月份的销售总额是 3 860＋500＋2 [500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，根据题意有 3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000， 即 25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66， 令 t＝1＋x%，则 25t2＋25t－66≥0， 解得 t≥6 5或者 t≤－11 5 (舍去)， 故 1＋x%≥6 5，解得 x≥20. 答案：20 10．一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 y＝ae －b t (cm3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过 ________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一． 解析：当 t＝0 时，y＝a；当 t＝8 时，y＝ae－8b＝1 2a，故 e－8b＝1 2.当容器中的沙子只有开 始时的八分之一时，即 y＝ae－bt＝1 8a，e－bt＝1 8＝(e－8b)3＝e－24b，则 t＝24，所以再经过 16 min 容器内沙子只有开始时的八分之一． 答案：16 三、解答题 11．(2015·湖北鄂州月考)如图所示，已知边长为 8 米的正方形钢板有 一个角被锈蚀，其中 AE＝4 米，CD＝6 米．为合理利用这块钢板，在五边 形 ABCDE 内截取一个矩形 BNPM，使点 P 在边 DE 上． (1)设 MP＝x 米，PN＝y 米，将 y 表示成 x 的函数，求该函数的解析 式及定义域； (2)求矩形 BNPM 面积的最大值． 解：(1)作 PQ⊥AF 于 Q， 所以 PQ＝(8－y)米， EQ＝(x－4)米． 又△EPQ∽△EDF， 所以EQ PQ＝EF FD，即x－4 8－y＝4 2. 所以 y＝－1 2x＋10， 定义域为{x|4≤x≤8}． (2)设矩形 BNPM 的面积为 S 平方米， 则 S(x)＝xy＝x(10－x 2)＝－1 2(x－10)2＋50， S(x)是关于 x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为 x＝10，所以当 x∈[4,8]时，S(x) 单调递增． 所以当 x＝8 米时，矩形 BNPM 的面积取得最大值，为 48 平方米． 12．一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当 砍伐到面积的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的1 4， 已知到今年为止，森林剩余面积为原来的 2 2 . (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？ 解：(1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0a＝log37>1，b＝21.1>2，c＝0.83.1<1，所以 c1 时，函数 f(x)＝xa(x>0)单调递增，函数 g(x)＝logax 单调递增，且过 点(1,0)，由幂函数的图象性质可知 C 错；当 00)单调递增，函数 g(x) ＝logax 单调递减，且过点(1,0)，排除 A，又由幂函数的图象性质可知 B 错，因此选 D. 4．(2013·浙江高考)已知 a，b，c∈R，函数 f(x)＝ax2＋bx＋c.若 f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　) A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0 C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0 解析：选 A　由 f(0)＝f(4)知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 对称轴为 x＝2，即－ b 2a＝2.所以 4a ＋b＝0，又 f(0)>f(1)且 f(0)，f(1)在对称轴同侧，故函数 f(x)在(－∞，2]上单调递减，则抛物 线开口方向朝上，知 a>0，故选 A. 5. (2014·安微高考)( 16 81 )－3 4＋log3 5 4＋log3 4 5＝________. 解析：原式＝(( 2 3 )4 )－3 4＋log3( 5 4 × 4 5)＝( 2 3 )－3＝27 8 . 答案：27 8 6．(2014·重庆高考)函数 f(x)＝log2 x·log 2(2x)的最小值为________． 解析：依题意得 f(x)＝1 2log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝(log2x＋1 2)2－1 4≥－1 4，当且仅 当 log2x＝－1 2，即 x＝ 1 2 时等号成立，因此函数 f(x)的最小值为－1 4. 答案：－1 4 7．(2014·湖南高考)若 f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax 是偶函数，则 a＝________. 解析：函数 f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax 为偶函数，故 f(－x)＝f(x)，即 ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1) ＋ax，化简得 ln 1＋e3x e3x＋e6x＝2ax＝ln e2ax，即 1＋e3x e3x＋e6x＝e2ax，整理得 e3x＋1＝e2ax＋3x(e3x＋1)，所以 2ax＋3x＝0，解得 a＝－3 2. 答案：－3 2 8．(2014·天津高考)已知函数 f(x)＝|x 2＋3x|，x∈R.若方程 f(x)－a|x－1|＝0 恰有 4 个互异 的实数根，则实数 a 的取值范围为________． 解析：画出函数 f(x)＝|x2＋3x|的大致图象，如图，令 g(x)＝a|x－1|， 则函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象有且仅有 4 个不同的交点，显然 a>0.联立Error!消去 y，得 x2＋(3－a)x＋a＝0， 由 Δ>0，解得 a<1 或 a>9；联立Error!消去 y，得 x2＋(3＋a)x－a＝ 0，由 Δ>0，解得 a>－1 或 a<－9. 综上，实数 a 的取值范围为(0,1)∪(9，＋∞)． 答案：(0,1)∪(9，＋∞) 命题点二　函数与方程 命题指数：☆☆☆☆ 难度：高、中 题型：选择题、填空题 1．(2014·湖北高考)已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时， f(x)＝x2－3x.则函数 g(x)＝f(x)－x＋3 的零点的集合为(　　) A．{1,3} B．{－3，－1,1,3} C．{2－ 7，1,3} D．{－2－ 7，1,3} 解析：选 D　当 x≥0 时，函数 g(x)的零点即方程 f(x)＝x－3 的根，由 x2－3x＝x－3，解 得 x＝1 或 3；当 x<0 时，由 f(x)是奇函数得－f(x)＝f(－x)＝x2－3(－x)，即 f(x)＝－x2－3x.由 f(x) ＝x－3 得 x＝－2－ 7(正根舍去)． 2．(2014·北京高考)已知函数 f(x)＝6 x－log2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,4) D．(4，＋∞) 解析：选 C　因为 f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝3 2－log24＝－1 2<0， 所以函数 f(x)的零点所在区间为(2,4)． 3．(2014·江苏高考)已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x∈[0,3)时，f(x)＝ |x2－2x＋1 2|.若函数 y＝f(x)－a 在区间[－3,4]上有 10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围 是________． 解析：函数 y＝f(x)－a 在区间[－3,4]上有互不相同的 10 个零点，即函数 y＝f(x)，x∈[－ 3,4]与 y＝a 的图象有 10 个不同交点．作出函数 y＝f(x)在[－3,4]上的图象，f(－3)＝f(－2)＝ f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝1 2，观察图象可得 00 是 f(x)为增函数的充要条件(　　) (2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓”(　　) 答案：(1)×　(2)× 2．(人教 A 版教材习题改编)函数 f(x)＝ex－x 的减区间为________． 答案：(－∞，0) 3．已知 f(x)＝x3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则 a 的最大值是________． 答案：3 基础盘查二　函数的极值与导数 (一)循纲忆知 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其 中多项式函数不超过三次)． (二)小题查验 1．判断正误 (1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的(　　) (2)函数的极大值不一定比极小值大(　　) (3)对可导函数 f(x)，f′(x0)＝0 是 x0 点为极值点的充要条件(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．(人教 A 版教材例题改编)函数 f(x)＝1 3x3－4x＋4 的极大值为________． 答案：28 3 基础盘查三　函数的最值与导数 (一)循纲忆知 会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)． (二)小题查验 1．判断正误 (1)函数的极大值一定是函数的最大值(　　) (2)开区间上的单调连续函数无最值(　　) (3)函数 f(x)＝1 x在区间[－1,1]上有最值(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．(人教 A 版教材例题改编)函数 f(x)＝1 3x3－4x＋4 在[0,3]的最小值为________． 答案：－4 3 第一课时　导数与函数的单调性 考点一　判断或证明函数的单调性|(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 函数的单调性 在区间(a，b)内可导函数 f(x)，f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于 0. f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数． f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数． [典题例析] (2014·大纲卷节选)函数 f(x)＝ln(x＋1)－ ax x＋a(a>1)．讨论 f(x)的单调性． 解：f(x)的定义域为(－1，＋∞)， f′(x)＝x[x－(a2－2a)] (x＋1)(x＋a)2 . ①当 10，f(x)在(－1，a2－2a)内是增函数； 若 x∈(a2－2a,0)，则 f′(x)<0，f(x)在(a2－2a,0)内是减函数； 若 x∈(0，＋∞)，则 f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)内是增函数． ②当 a＝2 时，f′(x)≥0，f′(x)＝0 成立当且仅当 x＝0，f(x)在(－1，＋∞)内是增函 数． ③当 a>2 时，若 x∈(－1,0)，则 f′(x)>0，f(x)在(－1,0)内是增函数； 若 x∈(0，a2－2a)，则 f′(x)<0，f(x)在(0，a2－2a)内是减函数； 若 x∈(a2－2a，＋∞)，则 f′(x)>0，f(x)在(a2－2a，＋∞)内是增函数． [类题通法] 导数法证明函数 f(x)在(a，b)内的单调性的步骤 (1)求 f′(x)； (2)确认 f′(x)在(a，b)内的符号； (3)作出结论：f′(x)>0 时为增函数；f′(x)<0 时为减函数． [提醒]　研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分 类讨论． [演练冲关] (2015·兰州、张掖联考)已知函数 f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，其中 g(x)的函数图象在 点(1，g(1))处的切线平行于 x 轴． (1)确定 a 与 b 的关系； (2)若 a≥0，试讨论函数 g(x)的单调性． 解：(1)依题意得 g(x)＝ln x＋ax2＋bx， 则 g′(x)＝1 x＋2ax＋b. 由函数 g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于 x 轴得：g′(1)＝1＋2a＋b＝0， ∴b＝－2a－1. (2)由(1)得 g′(x)＝2ax2－(2a＋1)x＋1 x ＝ (2ax－1)(x－1) x . ∵函数 g(x)的定义域为(0，＋∞)， ∴当 a＝0 时，g′(x)＝－x－1 x . 由 g′(x)＞0 得 0＜x＜1，由 g′(x)＜0 得 x＞1， 即函数 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当 a＞0 时，令 g′(x)＝0 得 x＝1 或 x＝ 1 2a， 若 1 2a＜1，即 a＞1 2，由 g′(x)＞0 得 x＞1 或 0＜x＜ 1 2a， 由 g′(x)＜0 得 1 2a＜x＜1， 即函数 g(x)在(0， 1 2a)，(1，＋∞)上单调递增，在( 1 2a，1)上单调递减； 若 1 2a＞1，即 0＜a＜1 2，由 g′(x)＞0 得 x＞ 1 2a或 0＜x＜1，由 g′(x)＜0 得 1＜x＜ 1 2a， 即函数 g(x)在(0,1)，( 1 2a，＋∞)上单调递增，在(1， 1 2a)上单调递减； 若 1 2a＝1，即 a＝1 2，在(0，＋∞)上恒有 g′(x)≥0， 即函数 g(x)在(0，＋∞)上单调递增． 综上可得：当 a＝0 时，函数 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当 00，故 f(x) 在(5，＋∞)内为增函数． [类题通法] 求函数的单调区间的“两个”方法 方法一 (1)确定函数 y＝f(x)的定义域； (2)求导数 y′＝f′(x)； (3)解不等式 f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式 f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 方法二 (1)确定函数 y＝f(x)的定义域； (2)求导数 y′＝f′(x)，令 f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根； (3)把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺 序排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间； (4)确定 f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性． [演练冲关] (2015·北京西城模拟)已知函数 f(x)＝ln(ex＋1)－ax(a＞0)． (1)若函数 y＝f(x)的导函数是奇函数，求 a 的值； (2)求函数 y＝f(x)的单调区间． 解：(1)函数 f(x)的定义域为 R. 由已知得 f′(x)＝ ex ex＋1－a. ∵函数 y＝f(x)的导函数是奇函数， ∴f′(－x)＝－f′(x)，即 e－x e－x＋1－a＝－ ex ex＋1＋a， 解得 a＝1 2. (2)由(1)f′(x)＝ ex ex＋1－a＝1－ 1 ex＋1－a. ①当 a≥1 时，f′(x)＜0 恒成立， ∴a∈[1，＋∞)时，函数 y＝f(x)在 R 上单调递减． ②当 0＜a＜1 时，由 f′(x)＞0 得(1－a)(ex＋1)>1， 即 ex＞－1＋ 1 1－a，解得 x＞ln a 1－a， 当 0＜a＜1 时，由 f′(x)＜0 得(1－a)(ex＋1)＜1， 即 ex＜－1＋ 1 1－a，解得 x＜ln a 1－a. ∴a∈(0,1)时，函数 y＝f(x)在 (ln a 1－a，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln a 1－a)上单调递 减． 考点三　已知函数的单调性求参数的范围|(题点多变型考点——全面发掘) [一题多变] [典型母题] 已知函数 f(x)＝x3－ax－1. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)在 R 上为增函数，求实数 a 的取值范围． [解]　(1)f′(x)＝3x2－a. ①当 a≤0 时，f′(x)≥0， 所以 f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数． ②当 a＞0 时，令 3x2－a＝0 得 x＝± 3a 3 ； 当 x＞ 3a 3 或 x＜－ 3a 3 时，f′(x)＞0； 当－ 3a 3 ＜x＜ 3a 3 时，f′(x)＜0. 因此 f(x)在(－∞，－ 3a 3 )，( 3a 3 ，＋∞)上为增函数，在(－ 3a 3 ， 3a 3 )上为减函数． 综上可知，当 a≤0 时，f(x)在 R 上为增函数； 当 a＞0 时，f(x)在(－∞，－ 3a 3 )，( 3a 3 ，＋∞)上为增函数，在(－ 3a 3 ， 3a 3 )上为减函 数． (2)因为 f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以 f′(x)＝3x2－a≥0 在(－∞，＋∞)上恒成立， 即 a≤3x2 对 x∈R 恒成立． 因为 3x2≥0，所以只需 a≤0. 又因为 a＝0 时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1 在 R 上是增函数，所以 a≤0，即 a 的取值 范围为(－∞，0]. [题点发散 1]　函数 f(x)不变，若 f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求 a 的取值范围． 解：因为 f′(x)＝3x3－a，且 f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数， 所以 f′(x)≥0 在(1，＋∞)上恒成立， 即 3x2－a≥0 在(1，＋∞)上恒成立， 所以 a≤3x2 在(1，＋∞)上恒成立，所以 a≤3， 即 a 的取值范围为(－∞，3]. [题点发散 2]　函数 f(x)不变，若 f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求 a 的取值范围． 解：由 f′(x)＝3x2－a≤0 在(－1,1)上恒成立，得 a≥3x2 在(－1,1)上恒成立． 因为－1＜x＜1，所以 3x2＜3，所以 a≥3. 即当 a 的取值范围为[3，＋∞)时，f(x)在(－1,1)上为减函数． [题点发散 3]　函数 f(x)不变，若 f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求 a 的值． 解：由例题可知， f(x)的单调递减区间为(－ 3a 3 ， 3a 3 )， ∴ 3a 3 ＝1，即 a＝3. [题点发散 4]　函数 f(x)不变，若 f(x)在区间(－1,1)上不单调，求 a 的取值范围． 解：∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a. 由 f′(x)＝0，得 x＝± 3a 3 (a≥0)． ∵f(x)在区间(－1,1)上不单调， ∴0＜ 3a 3 ＜1，得 0＜a＜3， 即 a 的取值范围为(0,3)． [类题通法] 已知函数单调性，求参数范围的两个方法 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的 子集． (2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则 f′(x)≥0；若函数单调递减， 则 f′(x)≤0”来求解． [提醒]　f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a，b)都有 f′(x)≥0 且在(a，b)内的任一 非空子区间上 f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． [A 卷——夯基保分] 一、选择题 1．(2015·苏中八校学情调查)函数 f(x)＝x－ln x 的单调递减区间为(　　) A．(0,1)　　　　　　　　 B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析：选 A　函数的定义域是(0，＋∞)，且 f′(x)＝1－1 x＝x－1 x ，令 f′(x)＜0，解得 0＜ x＜1，所以单调递减区间是(0,1)． 2．函数 f(x)＝(x－3)ex 的单调递增区间是(　　) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 解析：选 D　∵f(x)＝(x－3)·ex， 则 f′(x)＝ex(x－2)，令 f(x)＞0，得 x＞2. ∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)． 3．(2015·长春调研)已知函数 f(x)＝1 2x3＋ax＋4，则“a＞0”是“f(x)在 R 上单调递增”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 A　f′(x)＝3 2x2＋a，当 a≥0 时，f′(x)≥0 恒成立，故“a＞0”是“f(x)在 R 上 单调递增”的充分不必要条件． 4．已知 a≥0，函数 f(x)＝(x2－2ax)ex，若 f(x)在[－1,1]上是单调减函数，则 a 的取值范 围是(　　) A.(0，3 4 ) B.( 1 2，3 4 ) C.[ 3 4，＋∞) D.(0，1 2 )解析：选 C　f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)e2＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，由题意当 x∈[－1,1] 时，f′(x)≤0 恒成立，即 x2＋(2－2a)x－2a≤0 恒成立． 令 g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a，则有Error! 即Error!解得 a≥3 4. 5．(2015·洛阳统考)已知函数 f(x)满足 f(x)＝f(π－x)，且当 x∈ (－π 2，π 2)时，f(x)＝ex＋sin x，则(　　) A．f(1)＜f(2)＜f(3) B．f(2)＜f(3)＜f(1) C．f(3)＜f(2)＜f(1) D．f(3)＜f(1)＜f(2) 解析：选 D　由 f(x)＝f(π－x)，得 f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，由 f(x)＝ex＋sin x 得函数 在(－π 2，π 2)上单调递增，又－π 2<π－3<1<π－2< π 2，∴f(π－2)＞f(1)＞f(π－3)，∴f(2)＞f(1)＞ f(3)． 6．(2015·湛江一模)若函数 f(x)＝x＋ b x(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则 f(x)在下 列区间上单调递增的是(　　) A．(－2,0) B．(0,1) C．(1，＋∞) D．(－∞，－2) 解析：选 D　由题意知，f′(x)＝1－b x2，∵函数 f(x)＝x＋b x(b∈R)的导函数在区间(1,2)上 有零点，∴当 1－b x2＝0 时，b＝x2，又 x∈(1,2)，∴b∈(1,4)，令 f′(x)＞0，解得 x＜－ b或 x ＞ b，即 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ b)，( b，＋∞)，∵b∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合 题意，故选 D. 二、填空题 7．函数 f(x)＝x3－15x2－33x＋6 的单调减区间为________． 解析：由 f(x)＝x3－15x2－33x＋6 得 f′(x)＝3x2－30x－33，令 f′(x)＜0，即 3(x－11)(x＋ 1)＜0，解得－1＜x＜11，所以函数 f(x)的单调减区间为(－1,11)． 答案：(－1,11) 8．函数 f(x)＝1＋x－sin x 在(0,2π)上的单调情况是________． 解析：在(0,2π)上有 f′(x)＝1－cos x>0，所以 f(x)在(0,2π)上单调递增． 答案：单调递增 9．函数 f(x)＝ sin x 2＋cos x的单调递增区间是______________． 解析：由导函数 f′(x)＝ (2＋cos x)cos x－sin x(－sin x) (2＋cos x)2 ＝ 2cos x＋1 (2＋cos x)2 ＞0， 得 cos x＞－1 2， 所以 2kπ－2π 3 0 时，由 f′(x)>0 得，x>2a 或 x<0， 由于此时 02a 时，f(x)为增函数，x<0 时，f(x)为增函数； 由 f′(x)<0 得，00 得，x>0 或 x<2a，由于此时 2a0 时，f(x)为增函数． 由 f′(x)<0 得，2a0 时，函数 f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(2a，＋∞)，单调减区间为(0，a)， (a,2a)． 当 a<0 时，函数 f(x)的单调增区间为(－∞，2a)，(0，＋∞)，单调减区间为(2a，a)， (a,0)． (2)①当 a≤0 时，由(1)可得，f(x)在(1,2)上单调递增，且 x∈(1,2)时，x≠a. ②当 0<2a≤1 时，即 00，右侧 f′(x)<0，那么 f(x0)是极大值； ②如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，那么 f(x0)是极小值． [提醒]　可导函数的极值点必须是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不一定是极值点，即 f′(x0)＝0 是可导函数 f(x)在 x＝x0 处取得极值的必要不充分条件．例如函数 y＝x3 在 x＝0 处有 y′＝0，但 x＝0 不是极值点． [多角探明] 函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中， 为中高档题. 归纳起来常见的命题角度有： (1)知图判断函数极值； (2)已知函数求极值； (3)已知极值求参数. 角度一：知图判断函数极值 1.设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)，且函数 y＝(1－ x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1) C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2) D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2) 解析：选 D　由题图可知，当 x<－2 时，f′(x)>0；当－22 时，f′(x)>0.由此可以得到函数 f(x)在 x＝－2 处取得极大值，在 x＝2 处取得极小值． 角度二：已知函数求极值 2．设 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1 的导数 f′(x)满足 f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数 a，b∈ R. (1)求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)设 g(x)＝f′(x)e－x，求函数 g(x)的极值． 解：(1)由于 f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 则 f′(1)＝3＋2a＋b＝2a，解得 b＝－3； f′(2)＝12＋4a＋b＝－b，解得 a＝－3 2. 所以 f(x)＝x3－3 2x2－3x＋1，f′(x)＝3x2－3x－3， 于是有 f(1)＝－5 2，f′(1)＝－3， 故曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y－(－5 2 )＝－3(x－1)，即 6x＋2y－1＝0. (2)由(1)知 g(x)＝(3x2－3x－3)e－x， 则 g′(x)＝(－3x2＋9x)e－x， 令 g′(x)＝0 得 x＝0 或 x＝3，于是函数 g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0,3)上单调递增， 在(3，＋∞)上单调递减． 所以函数 g(x)在 x＝0 处取得极小值 g(0)＝－3，在 x＝3 处取得极大值 g(3)＝15e－3. 角度三：已知极值求参数 3．设 f(x)＝ln(1＋x)－x－ax2，若 f(x)在 x＝1 处取得极值，则 a 的值为________． 解析：由题意知，f(x)的定义域为(－1，＋∞)， 且 f′(x)＝ 1 1＋x－2ax－1＝ －2ax2－(2a＋1)x 1＋x ， 由题意得：f′(1)＝0，则－2a－2a－1＝0，得 a＝－1 4， 又当 a＝－1 4时，f′(x)＝ 1 2x2－1 2x 1＋x ＝ 1 2x(x－1) 1＋x ， 当 01 时，f′(x)>0， 所以 f(1)是函数 f(x)的极小值，所以 a＝－1 4. 答案：－1 4 [类题通法] 利用导数研究函数极值的一般流程 考点二　运用导数解决函数的最值问题|(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 函数的最值 (1)在闭区间[a，b ]上连续的函数 f(x)在[a，b ]上必有最大值与最小值． (2)若函数 f(x)在[a，b ]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函 数 f(x)在[a，b ]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． [提醒] 函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念． [典题例析] (2015·洛阳统考)已知函数 f(x)＝1－x x ＋kln x，k<1 e，求函数 f(x)在[ 1 e，e ]上的最大值和最 小值． 解：因 f(x)＝1－x x ＋kln x， f′(x)＝ －x－(1－x) x2 ＋k x＝kx－1 x2 . ①若 k＝0，则 f′(x)＝－1 x2在[ 1 e，e ]上恒有 f′(x)<0， ∴f(x)在[ 1 e，e ]上单调递减． ∴f(x)min＝f(e)＝1－e e ，f(x)max＝f( 1 e )＝e－1. ②若 k≠0，f′(x)＝kx－1 x2 ＝ k(x－1 k )x2 . ①若 k<0，则在[ 1 e，e ]上恒有 k(x－1 k )x2 <0， ∴f(x)在[ 1 e，e ]上单调递减， ∴f(x)min＝f(e)＝1－e e ＋kln e＝1 e＋k－1， f(x)max＝f( 1 e )＝e－k－1. ②若 k>0，由 k<1 e，得1 k>e，则 x－1 k<0， ∴ k(x－1 k )x2 <0，∴f(x)在[ 1 e，e ]上单调递减． ∴f(x)min＝f(e)＝1－e e ＋kln e＝1 e＋k－1， f(x)max＝f( 1 e )＝e－k－1. 综上，当 k＝0 时，f(x)min＝1－e e ，f(x)max＝e－1； 当 k≠0 且 k<1 e时，f(x)min＝1 e＋k－1，f(x)max＝e－k－1. [类题通法] 求函数 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a，b)内的极值； (2)求函数在区间端点的函数值 f(a)，f(b)； (3)将函数 f(x)的极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小 值． [演练冲关] 设函数 f(x)＝aln x－bx2(x>0)，若函数 f(x)在 x＝1 处与直线 y＝－1 2相切， (1)求实数 a，b 的值； (2)求函数 f(x)在[ 1 e，e ]上的最大值． 解：(1)f′(x)＝a x－2bx， ∵函数 f(x)在 x＝1 处与直线 y＝－1 2相切， ∴Error!解得Error! (2)由(1)得 f(x)＝ln x－1 2x2， 则 f′(x)＝1 x－x＝1－x2 x ， ∵当1 e≤x≤e 时，令 f′(x)>0 得1 e≤x<1； 令 f′(x)<0，得 10)的导函数 y＝f′(x)的两个零点为－3 和 0. (1)求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)的极小值为－e3，求 f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值． 解：(1)f′(x)＝ (2ax＋b)ex－(ax2＋bx＋c)ex (ex)2 ＝ －ax2＋(2a－b)x＋b－c ex ， 令 g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c， 因为 ex>0，所以 y＝f′(x)的零点就是 g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c 的零点，且 f′(x)与 g(x)符号相同． 又因为 a>0，所以－30，即 f′(x)>0， 当 x<－3 或 x>0 时，g(x)<0，即 f′(x)<0， 所以 f(x)的单调增区间是(－3,0)，单调减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)． (2)由(1)知，x＝－3 是 f(x)的极小值点，所以有 Error! 解得 a＝1，b＝5，c＝5， 所以 f(x)＝x2＋5x＋5 ex . 因为 f(x)的单调增区间是(－3,0)，单调减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)， 所以 f(0)＝5 为函数 f(x)的极大值， 故 f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取 f(－5)和 f(0)中的最大者． 而 f(－5)＝ 5 e－5＝5e5>5＝f(0)， 所以函数 f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是 5e5. [类题通法] 求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求 函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过 单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值． [演练冲关] 已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线 y＝f(x)在点 x＝1 处的切线为 l：3x－y＋1＝0，若 x ＝2 3时，y＝f(x)有极值． (1)求 a，b，c 的值； (2)求 y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值． 解：(1)由 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c， 得 f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 当 x＝1 时，切线 l 的斜率为 3，可得 2a＋b＝0， ① 当 x＝2 3时，y＝f(x)有极值，则 f′( 2 3 )＝0， 可得 4a＋3b＋4＝0， ② 由①②，解得 a＝2，b＝－4. 由于切点的横坐标为 1，所以 f(1)＝4. 所以 1＋a＋b＋c＝4，得 c＝5. (2)由(1)可得 f(x)＝x3＋2x2－4x＋5， f′(x)＝3x2＋4x－4. 令 f′(x)＝0，解得 x1＝－2，x2＝2 3. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示： x －3 (－3，－2) －2 (－2，2 3) 2 3 ( 2 3，1 ) 1 f′(x) ＋ ＋ 0 － 0 ＋ ＋ f(x) 8  13  95 27  4 13，最小值为95 27. [A 卷——夯基保分] 一、选择题 1．当函数 y＝x·2x 取极小值时，x＝(　　) A. 1 ln 2　　　　　　　　　 B．－ 1 ln 2 C．－ln 2 D．ln 2 解析：选 B　令 y′＝2x＋x·2xln 2＝0，∴x＝－ 1 ln 2. 2．(2015·济宁一模)函数 f(x)＝1 2x2－ln x 的最小值为(　　) A.1 2 B．1 C．0 D．不存在 解析：选 A　f′(x)＝x－1 x＝x2－1 x ，且 x>0.令 f′(x)>0，得 x>1; 令 f′(x)<0，得 00，f′(－1)>0，不满足 f′(－1)＋f(－1)＝0. 5．已知 y＝f(x)是奇函数，当 x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax(a > 1 2 )，当 x∈(－2,0)时，f(x)的 最小值为 1，则 a 的值等于(　　) A.1 4 B.1 3 C.1 2 D．1 解析：选 D　∵f(x)是奇函数，∴f(x)在(0,2)上的最大值为－1.当 x∈(0,2)时，f′(x)＝1 x－ a，令 f′(x)＝0 得 x＝1 a，又 a>1 2，∴0<1 a<2.当 00，f(x)在(0，1 a )上单调递增； 当 x>1 a时，f′(x)<0，f(x)在( 1 a，2 )上单调递减，∴f(x)max＝f( 1 a )＝ln1 a－a·1 a＝－1，解得 a＝ 1. 6．(2015·山东日照月考)如果函数 y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数 y＝f(x)在区间(－3，－1 2)内单调递增； ②函数 y＝f(x)在区间(－1 2，3)内单调递减； ③函数 y＝f(x)在区间(4，5 )内单调递增； ④当 x＝2 时，函数 y＝f(x)有极小值； ⑤当 x＝－1 2时，函数 y＝f(x)有极大值． 则上述判断中正确的是(　　) A．①② B．②③ C．③④⑤ D．③ 解析：选 D　当 x∈(－3，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，①错；当 x∈ (－1 2，2)时， f′(x)>0，f(x)单调递增，当 x∈(2,3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，②错；当 x＝2 时，函数 y＝ f(x)有极大值，④错；当 x＝－1 2时，函数 y＝f(x)无极值，⑤错．故选 D. 二、填空题 7．函数 f(x)＝x3 3＋x2－3x－4 在[0,2]上的最小值是________． 解析：f′(x)＝x2＋2x－3， 令 f′(x)＝0 得 x＝1(x＝－3 舍去)， 又 f(0)＝－4，f(1)＝－17 3 ，f(2)＝－10 3 ， 故 f(x)在[0,2]上的最小值是 f(1)＝－17 3 . 答案：－17 3 8．(2015·东北八校月考)已知函数 y＝f(x)＝x 3＋3ax2＋3bx＋c 在 x＝2 处有极值，其图象 在 x＝1 处的切线平行于直线 6x＋2y＋5＝0，则 f(x)的极大值与极小值之差为________． 解析：∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3b， ∴Error!⇒Error! ∴f′(x)＝3x2－6x，令 3x2－6x＝0，得 x＝0 或 x＝2， ∴f(x)极大值－f(x)极大值＝f(0)－f(2)＝4. 答案：4 9．函数 f(x)＝x 3－3ax＋b(a>0)的极大值为 6，极小值为 2，则 f(x)的单调递减区间是 ________． 解析：令 f′(x)＝3x2－3a＝0，得 x＝± a， 则 f(x)，f′(x)随 x 的变化情况如下表： x (－∞，－ a) － a (－ a， a) a ( a，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  从而Error!解得Error! 所以 f(x)的单调递减区间是(－1,1)． 答案：(－1,1) 10．已知 f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a0；　②f(0)f(1)<0； ③f(0)f(3)>0；　④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是________． 解析：∵f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)， 由 f′(x)<0，得 10，得 x<1 或 x>3， ∴f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数． 又 a0， y 极小值＝f(3)＝－abc<0. ∴00.又 x＝1，x＝3 为函数 f(x)的极值点，后一种 情况不可能成立，如图． ∴f(0)<0.∴f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0.∴正确结论的序号是②③. 答案：②③ 三、解答题 11．已知函数 f(x)＝x－1＋a ex(a∈R，e 为自然对数的底数)． (1)若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于 x 轴，求 a 的值； (2)求函数 f(x)的极值． 解：(1)由 f(x)＝x－1＋a ex，得 f′(x)＝1－a ex. 又曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于 x 轴， 得 f′(1)＝0，即 1－a e＝0，解得 a＝e. (2)f′(x)＝1－a ex， ①当 a≤0 时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数 f(x)无极值． ②当 a>0 时，令 f′(x)＝0，得 ex＝a，即 x＝ln a. x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0； x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0， 所以 f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增， 故 f(x)在 x＝ln a 处取得极小值， 且极小值为 f(ln a)＝ln a，无极大值． 综上，当 a≤0 时，函数 f(x)无极值； 当 a>0 时，f(x)在 x＝ln a 处取得极小值 ln a，无极大值． 12．(2015·衡水中学二调)已知函数 f(x)＝xln x，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a 为实数)． (1)当 a＝5 时，求函数 y＝g(x)在 x＝1 处的切线方程； (2)求 f(x)在区间[t，t＋2](t>0)上的最小值． 解：(1)当 a＝5 时，g(x)＝(－x2＋5x－3)ex，g(1)＝e. 又 g′(x)＝(－x2＋3x＋2)ex， 故切线的斜率为 g′(1)＝4e. 所以切线方程为：y－e＝4e(x－1)，即 y＝4ex－3e. (2)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1， 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (0，1 e ) 1 e ( 1 e，＋∞)f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 极小值 单调递增 ①当 t≥1 e时，在区间[t，t＋2]上 f(x)为增函数， 所以 f(x)min＝f(t)＝tln t. ②当 0f′(x)； (2)若 f(x)有两个极值点 x1，x2，求实数 a 的取值范围． 解：(1)f′(x)＝2ax－ex， 令 f(x)－f′(x)＝ax(x－2)>0. 当 a＝0 时，无解； 当 a>0 时，解集为{x|x<0 或 x>2}； 当 a<0 时，解集为{x|00 时，由 g′(x)＝0，得 x＝ln 2a， 当 x∈(－∞，ln 2a)时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 当 x∈(ln 2a，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减． ∴当 g(x)max>0 时，方程 g(x)＝0 才有两个根， ∴g(x)max＝g(ln 2a)＝2aln 2a－2a>0，得 a>e 2. 故实数 a 的取值范围是( e 2，＋∞). 2．(2014·江西高考)已知函数 f(x)＝(4x2＋4ax＋a2) x，其中 a<0. (1)当 a＝－4 时，求 f(x)的单调递增区间； (2)若 f(x)在区间 [1,4]上的最小值为 8，求 a 的值． 解：(1)当 a＝－4 时，f(x)＝(4x2－16x＋16) x，其中 x>0.则 f′(x)＝2(5x－2)(x－2) x . 由 f′(x)>0 得 02. 故函数 f(x)的单调递增区间为(0，2 5 )和(2，＋∞)． (2)f′(x)＝ (10x＋a)(2x＋a) 2 x ，a<0， 由 f′(x)＝0 得 x＝－ a 10或 x＝－a 2. 当 x∈(0，－ a 10)时，f(x)单调递增；当 x∈－ a 10，－a 2时，f(x)单调递减；当 x∈(－a 2，＋∞)时，f(x)单调递增． 易知 f(x)＝(2x＋a)2 x≥0，且 f(－a 2 )＝0. ①当－a 2≤1 时，即－2≤a<0 时，f(x)在[1,4]上的最小值为 f(1)，由 f(1)＝4＋4a＋a2＝8， 得 a＝±2 2－2，均不符合题意． ②当 1<－a 2≤4 时，即－8≤a<－2 时，f(x)在[1,4]上的最小值为 f (－a 2 )＝0，不符合题 意． ③当－a 2>4 时，即 a<－8 时，f(x)在[1,4]上的最小值可能在 x＝1 或 x＝4 处取得，而 f(1)≠8， 由 f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8 得 a＝－10 或 a＝－6(舍去)，当 a＝－10 时，f(x)在(1,4)上单调递 减，f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4)＝8，符合题意． 综上有，a＝－10. 3.(2015·云南第一次检测)已知 f(x)＝ex(x3＋mx2－2x＋2)． (1)假设 m＝－2，求 f(x)的极大值与极小值； (2)是否存在实数 m，使 f(x)在[－2，－1]上单调递增？如果存在，求 m 的取值范围；如 果不存在，请说明理由． 解：(1)当 m＝－2 时， f(x)＝ex(x3－2x2－2x＋2)，其定义域为(－∞，＋∞)． 则 f′(x)＝ex(x3－2x2－2x＋2)＋ex(3x2－4x－2) ＝xex(x2＋x－6) ＝(x＋3)x(x－2)ex， ∴当 x∈(－∞，－3)或 x∈(0,2)时，f′(x)<0; 当 x∈(－3,0)或 x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0; f′(－3)＝f′(0)＝f′(2)＝0， ∴f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3,0)上单调递增； 在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴当 x＝－3 或 x＝2 时，f(x)取得极小值； 当 x＝0 时，f(x)取得极大值， ∴f(x)极小值＝f(－3)＝－37e－3，f(x)极小值＝f(2)＝－2e2， f(x)极大值＝f(0)＝2. (2)f′(x)＝ex(x3＋mx2－2x＋2)＋ex(3x2＋2mx－2) ＝xex[x2＋(m＋3)x＋2m－2]. ∵f(x)在[－2，－1]上单调递增， ∴当 x∈[－2，－1]时，f′(x)≥0. 又∵当 x∈[－2，－1]时，xex<0， ∴当 x∈[－2，－1]时，x2＋(m＋3)x＋2m－2≤0， ∴Error!解得 m≤4， ∴当 m∈(－∞，4]时，f(x)在[－2，－1]上单调递增． 第三课时　导数与函数的综合问题 考点一　利用导数研究生活中的优化问题|(重点保分型考点——师生共研) [典题例析] (2013·重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面 半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本 为 100 元/平方米，底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000π 元(π 为圆周率)． (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大． 解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为 100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为 160πr2 元， 所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元． 又根据题意 200πrh＋160πr2＝12 000π， 所以 h＝ 1 5r(300－4r2)， 从而 V(r)＝πr2h＝π 5(300r－4r3)． 因为 r＞0，又由 h＞0 可得 r＜5 3， 故函数 V(r)的定义域为(0,5 3)． (2)因为 V(r)＝π 5(300r－4r3)， 所以 V′(r)＝π 5(300－12r2)． 令 V′(r)＝0，解得 r1＝5，r2＝－5(因为 r2＝－5 不在定义域内，舍去)． 当 r∈(0,5)时，V′(r)＞0，故 V(r)在(0,5)上为增函数； 当 r∈(5,5 3)时，V′(r)＜0，故 V(r)在(5,5 3)上为减函数． 由此可知，V(r)在 r＝5 处取得最大值，此时 h＝8. 即当 r＝5，h＝8 时，该蓄水池的体积最大． [类题通法] 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之 间的函数关系式 y＝f(x)； (2)求函数的导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和 f′(x)＝0 的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答． [演练冲关] 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位： 元/千克)满足关系式 y＝ a x－3＋10(x－6)2，其中 3＜x＜6，a 为常数．已知销售价格为 5 元/千 克时，每日可售出该商品 11 千克． (1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得 的利润最大． 解：(1)因为 x＝5 时，y＝11， 所以a 2＋10＝11，a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y＝ 2 x－3＋10(x－6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)＝(x－3)[ 2 x－3＋10(x－6)2 ]＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6. 从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)． 于是，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (3,4) 4 (4,6) f′(x) ＋ 0 － f(x)  极大值  由上表可得，x＝4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以，当 x＝4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42. 当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 考点二　利用导数研究函数的零点或方程的根|(重点保分型考点——师生共研) [典题例析] (2014·新课标全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线 y＝f(x)在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为－2. (1)求 a； (2)证明：当 k<1 时，曲线 y＝f(x)与直线 y＝kx－2 只有一个交点． 解：(1)f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a. 曲线 y＝f(x)在点(0,2)处的切线方程为 y＝ax＋2. 由题设得－2 a＝－2，所以 a＝1. (2)证明：由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2. 设 g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4. 由题设知 1－k>0. 当 x≤0 时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k>0，g(x)单调递增，g(－1)＝k－1<0，g(0)＝4，所以 g(x) ＝0 在(－∞，0]有唯一实根． 当 x>0 时，令 h(x)＝x3－3x2＋4，则 g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x)． h′(x)＝3x 2 －6x＝3x(x－2)，h(x)在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以 g(x)>h(x)≥h(2)＝0. 所以 g(x)＝0 在(0，＋∞)没有实根． 综上，g(x)＝0 在 R 上有唯一实根，即曲线 y＝f(x)与直线 y＝kx－2 只有一个交点． [类题通法] 利用导数研究方程根的方法 研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等， 根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想 去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现． [演练冲关] 已知函数 f(x)＝(2－a)x－2(1＋ln x)＋a. (1)当 a＝1 时，求 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在区间(0，1 2 )上无零点，求 a 的最小值． 解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝x－1－2ln x， 则 f′(x)＝1－2 x，定义域 x∈(0，＋∞)． 由 f′(x)＞0，得 x＞2，由 f′(x)＜0，得 0＜x＜2， 故 f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)， (2)f(x)＝(2－a)(x－1)－2ln x， 令 m(x)＝(2－a)(x－1)，x＞0；h(x)＝2ln x，x＞0， 则 f(x)＝m(x)－h(x)， ①当 a＜2 时，m(x)在(0，1 2 )上为增函数，h(x)在(0，1 2 )上为增函数， 若 f(x)在(0，1 2 )上无零点，则 m( 1 2 )≥h( 1 2 )， 即(2－a)( 1 2－1 )≥2ln 1 2，∴a≥2－4ln 2， ∴2－4ln 2≤a<2， ②当 a≥2 时，在(0，1 2 )上 m(x)≥0，h(x)＜0， ∴f(x)＞0，∴f(x)在(0，1 2 )上无零点． 由①②得 a≥2－4ln 2，∴amin＝2－4ln 2. 考点三　利用导数研究与不等式有关的问题|(常考常新型考点——多角探明) [多角探明] 导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大， 属中高档题．归纳起来常见的命题角度有： (1)证明不等式； (2)不等式恒成立问题； (3)存在型不等式成立问题. 角度一：证明不等式 1．(2015·唐山一模)已知 f(x)＝(1－x)ex－1. (1)求函数 f(x)的最大值； (2)设 g(x)＝f(x) x ，x＞－1，且 x≠0，证明：g(x)＜1. 解：(1)f′(x)＝－xex. 当 x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减． 所以 f(x)的最大值为 f(0)＝0. (2)证明：由(1)知，当 x＞0 时，f(x)＜0，g(x)＜0＜1. 当－1＜x＜0 时，g(x)＜1 等价于 f(x)＞x. 设 h(x)＝f(x)－x，则 h′(x)＝－xex－1. 当 x∈(－1,0)时，0＜－x＜1,0＜ex＜1，则 0＜－xex＜1， 从而当 x∈(－1,0)时，h′(x)＜0，h(x)在(－1,0]上单调递减． 当－1＜x＜0 时，h(x)＞h(0)＝0，即 g(x)＜1. 综上，总有 g(x)＜1. 角度二：不等式恒成立问题 2．已知 f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3. (1)对一切 x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围； (2)证明：对一切 x∈(0，＋∞)，ln x＞1 ex－ 2 ex恒成立． 解：(1)由题意知 2xln x≥－x2＋ax－3 对一切 x∈(0，＋∞)恒成立， 则 a≤2ln x＋x＋3 x， 设 h(x)＝2ln x＋x＋3 x(x＞0)， 则 h′(x)＝ (x＋3)(x－1) x2 ， ①当 x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减， ②当 x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增， 所以 h(x)min＝h(1)＝4，对一切 x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立， 所以 a≤h(x)min＝4. 即实数 a 的取值范围是(－∞，4] (2)证明：问题等价于证明 xln x>x ex－2 e(x∈(0，＋∞))． 又 f(x)＝xln x，f′(x)＝ln x＋1， 当 x∈(0，1 e )时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当 x∈( 1 e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以 f(x)min＝f( 1 e )＝－1 e. 设 m(x)＝x ex－2 e(x∈(0，＋∞))，则 m′(x)＝1－x ex ， 易知 m(x)max＝m(1)＝－1 e， 从而对一切 x∈(0，＋∞)，ln x＞1 ex－ 2 ex恒成立． 角度三：存在型不等式成立问题 3．(2015·新乡调研)已知函数 f(x)＝x－(a＋1)ln x－a x(a∈R)，g(x)＝1 2x2＋ex－xex. (1)当 x∈[1，e]时，求 f(x)的最小值； (2)当 a<1 时，若存在 x1∈[e，e2]，使得对任意的 x2∈[－2，0]，f(x1) e2－2e e＋1 ， 所以 a 的取值范围为( e2－2e e＋1 ，1). [类题通法] 导数在不等式问题中的应用问题解题策略 (1)利用导数证明不等式 若证明 f(x)＜g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数 F(x)＝f(x)－g(x)，如果 F′(x)＜0，则 F(x) 在(a，b)上是减函数，同时若 F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有 F(x)＜0，即 证明了 f(x)＜g(x)． (2)利用导数解决不等式的恒成立问题 利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出 最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数， 直接把问题转化为函数的最值问题． [A 卷——夯基保分] 1．一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为 20 km/h 时，每小时消耗的煤价值 40 元，其他费用每小时需 400 元，火车的最高速度为 100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？ 解：设火车的速度为 x km/h，甲、乙两城距离为 a km. 由题意，令 40＝k·203，∴k＝ 1 200， 则总费用 f(x)＝(kx3＋400)·a x ＝a(kx2＋400 x )＝a( 1 200x2＋400 x )(0＜x≤100)． 由 f′(x)＝a(x3－40 000) 100x2 ＝0，得 x＝203 5. 当 0＜x＜20 3 5时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当 203 5＜x≤100 时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． ∴当 x＝20 3 5时，f(x)取极小值也是最小值，即速度为 203 5 km/h 时，总费用最少． 2．(2015·山西四校联考)已知 f(x)＝ln x－x＋a＋1. (1)若存在 x∈(0，＋∞)使得 f(x)≥0 成立，求 a 的取值范围； (2)求证：当 x＞1 时，在(1)的条件下，1 2x2＋ax－a＞xln x＋1 2成立． 解：(1)原题即为存在 x>0 使得 ln x－x＋a＋1≥0， ∴a≥－ln x＋x－1，令 g(x)＝－ln x＋x－1， 则 g′(x)＝－1 x＋1＝x－1 x . 令 g′(x)＝0，解得 x＝1. ∵当 0＜x＜1 时，g′(x)＜0，g(x)为减函数， 当 x＞1 时，g′(x)＞0，g(x)为增函数， ∴g(x)min＝g(1)＝0，a≥g(1)＝0. 故 a 的取值范围是[0，＋∞)． (2)证明：原不等式可化为 1 2x2＋ax－xln x－a－1 2＞0(x＞1，a≥0)． 令 G(x)＝1 2x2＋ax－xln x－a－1 2，则 G(1)＝0. 由(1)可知 x－ln x－1＞0， 则 G′(x)＝x＋a－ln x－1≥x－ln x－1＞0， ∴G(x)在(1，＋∞)上单调递增， ∴G(x)>G(1)＝0 成立， ∴1 2x2＋ax－xln x－a－1 2＞0 成立，即 1 2x2＋ax－a>x1nx＋1 2成立． 3．(2014·四川高考)已知函数 f(x)＝e x－ax2－bx－1，其中 a，b∈R，e＝2.718 28…为自 然对数的底数． (1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数，求函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值； (2)若 f(1)＝0，函数 f(x)在区间(0,1)内有零点．证明：e－2n>1，证明 m n n m>n m. 解：(1)因为 f(x)＝xln x＋mx，所以 f′(x)＝1＋ln x＋m. 由题意 f′(1)＝1＋ln 1＋m＝2，得 m＝1. (2)g(x)＝f(x)－x x－1 ＝xln x x－1(x>0，x≠1)， 所以 g′(x)＝x－1－ln x (x－1)2 . 设 h(x)＝x－1－ln x，h′(x)＝1－1 x. 当 x>1 时，h′(x)＝1－1 x>0，h(x)是增函数， h(x)>h(1)＝0， 所以 g′(x)＝x－1－ln x (x－1)2 >0， 故 g(x)在(1，＋∞)上为增函数； 当 0h(1)＝0， 所以 g′(x)＝x－1－ln x (x－1)2 >0，故 g(x)在(0,1)上为增函数； 所以 g(x)在区间(0,1)和(1，＋∞)上都是单调递增的． (3)证明：由已知可知要证 m n n m>n m， 即证ln n m －ln m n >ln n－ln m， 即证 n－1 n ln m>m－1 m ln n， 即证mln m m－1>nln n n－1， 即证 g(m)>g(n)， 又 m>n>1(m，n∈N*)，由(2)知 g(m)>g(n)成立，所以 m n n m>n m. 第十二节 定积分与微积分基本定理 基础盘查一　定积分的概念、几何意义与性质 (一)循纲忆知 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． (二)小题查验 1．判断正误 (1)设函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则 ∫b a f(x)dx＝∫b a f(t)dt(　　) (2)定积分一定是曲边梯形的面积(　　) (3)若 ∫b a f(x)dx<0，那么由 y＝f(x)，x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成的图形一定在 x 轴下方 (　　) (4)若 f(x)是偶函数，则 ∫a -a f(x)dx＝2∫a 0 f(x)dx(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(人教 A 版教材习题改编) ∫1 0 1－x2dx＝________. 答案：π 4 基础盘查二　微积分基本定理 (一)循纲忆知 　了解微积分基本定理的含义． (二)小题查验 1．判断正误 (1)微积分基本定理中 F(x)是唯一的(　　) (2)若 f(x)是连续的奇函数，则 ∫a -a f(x)dx＝0(　　) 答案：(1)×　(2)√ 2．(人教 A 版教材习题改编)计算： (1) ∫0 (3x＋sin x)dx＝________. (2) ∫2 1 (ex－2 x )dx＝________________. 答案：(1)3π2 8 ＋1　(2)e2－e－2ln 2 考点一　定积分的计算|(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 1．定积分的性质 (1)∫b a kf(x)dx＝k∫b a f(x)dx(k 为常数)； (2)∫b a [f1(x)±f2(x)]dx＝∫b a f1(x)dx±∫b a f2(x)dx； (3)∫b a f(x)dx＝∫c a f(x)dx＋∫b c f(x)dx(其中 a0，故 a＝1. 答案：1 8.∫π 2 0 2sin(x＋π 4 )dx＝________. 解析：依题意得 ∫0 2sin(x＋π 4 )dx＝∫0 (sin x＋cos x)dx＝(sin x－cos x) Error! ＝ (sinπ 2－cosπ 2)－(sin 0－cos 0)＝2. 答案：2 9．(2015·北京海淀一模)函数 y＝x－x 2 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积等于 ________． 解析：由 x－x2＝0，得 x＝0 或 x＝1.因此所围成的封闭图形的面积为∫1 0 (x－x2)dx＝ ( x2 2－x3 3)Error!10＝1 2－1 3＝1 6. 答案：1 6 10．曲线 y＝1 x＋2x＋2e2x，直线 x＝1，x＝e 和 x 轴所围成的区域的面积是________． 解析：由题意得，所求面积为 ∫e 1 ( 1 x＋2x＋2e2x )dx＝ ∫e 1 1 xdx＋∫e 1 2xdx＋∫e 1 2e2xdx＝ln x | e1＋x2| e1＋e2x| e1＝(1－0)＋(e 2－1) ＋(e2e－e2)＝e2e. 2 0 π 答案：e2e 三、解答题 11．求下列定积分． (1) ∫2 1 (x－x2＋1 x)dx； (2) ∫0 -π (cos x＋ex)dx. 解：(1)∫2 1 (x－x2＋1 x)dx＝∫2 1 xdx－∫2 1 x2dx＋∫2 1 1 xdx ＝x2 2Error!21－x3 3Error!21＋ln xError!21＝3 2－7 3＋ln 2＝ln 2－5 6. (2)∫0 -π (cos x＋ex)dx＝∫0 -π cos xdx＋∫0 -π exdx ＝sin xError! 0－π＋exError! 0－π＝1－1 eπ. 12．(2015·江西宜春月考)已知函数 f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数 g(x) ＝x2 围成的图形的面积． 解：∵(1,2)为曲线 f(x)＝x3－x2＋x＋1 上的点， 设过点(1,2)处的切线的斜率为 k， 则 k＝f′(1)＝(3x2－2x＋1)Error!＝2， ∴过点(1,2)处的切线方程为 y－2＝2(x－1)， 即 y＝2x. y＝2x 与函数 g(x)＝x2 围成的图形如图： 由Error!可得交点 A(2,4)． ∴y＝2x 与函数 g(x)＝x2 围成的图形的面积 S＝∫2 0 (2x－x2)＝(x2－1 3x3 )Error!20＝4－8 3＝4 3. 对应学生用书P 命题点一　导数的运算及几何意义 命题指数：☆☆☆☆☆ 难度：中、低 题型：选择题、填空题、解答题 1．(2014·大纲卷)曲线 y＝xex－1 在点(1,1)处切线的斜率等于(　　) A．2e　　　　　　　　　　　　 B．e C．2 D．1 解析：选 C　由题意可得 y′＝ex－1＋xex－1，所以曲线在点(1,1)处切线的斜率等于 2，故 选 C. 2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设曲线 y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为 y＝2x，则 a＝ (　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选 D　y′＝a－ 1 x＋1，由题意得 y′|x＝0＝2，即 a－1＝2，所以 a＝3. 3 ．(2013· 江西 高考 )设 函数 f(x) 在 (0， ＋∞) 内可 导， 且 f(e x) ＝x＋ e x ， 则 f′(1)＝ ________. 解析：因为 f(ex)＝x＋ex，所以 f(x)＝x＋ln x(x>0)，所以 f′(x)＝1＋1 x，所以 f′(1)＝2. 答案：2 4．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y＝ax2＋b x(a，b 为常数)过点 P(2，－ 5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x＋2y＋3＝0 平行，则 a＋b 的值是________． 解析：y＝ax2＋b x的导数为 y′＝2ax－b x2， 直线 7x＋2y＋3＝0 的斜率为－7 2. 由题意得Error!解得Error!则 a＋b＝－3. 答案：－3 命题点二　导数的应用 命题指数：☆☆☆☆☆ 难度：高、中 题型：选择题、解答题 1．(2012·辽宁高考)函数 y＝1 2x2－ln x 的单调递减区间为(　　) A．(－1,1] B．(0,1] C．[1，＋∞) D．(0，＋∞) 解析：选 B　函数 y＝1 2x2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－1 x＝ (x－1)(x＋1) x ，令 y′≤0， 则可得 01 时，f′(x)＝k－1 x≥0 恒成立，即 k≥1 x在区间(1，＋∞)上恒成立．因为 x>1， 所以 0<1 x<1，所以 k≥1.故选 D. 3．(2013·浙江高考)已知 e 为自然对数的底数，设函数 f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(　　) A．当 k＝1 时，f(x)在 x＝1 处取到极小值 B．当 k＝1 时，f(x)在 x＝1 处取到极大值 C．当 k＝2 时，f(x)在 x＝1 处取到极小值 D．当 k＝2 时，f(x)在 x＝1 处取到极大值 解析：选 C　法一：当 k＝1 时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，0,1 是函数 f(x)的零点．当 01 时，f(x)＝(ex－1)(x－1)>0,1 不会是极值点．当 k＝2 时，f(x)＝(ex －1)(x－1)2，零点还是 0,1，但是当 01 时，f(x)>0，由极值的概念，知选 C. 法二：当 k＝1 时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，f′(x)＝xex－1，f′(1)≠0，故 A、B 错；当 k＝2 时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，f′(x)＝(x2－1)ex－2x＋2＝(x－1)[(x＋1)ex－2]，故 f′(x)＝0 有一根 为 x1＝1，另一根 x 2∈(0,1)．当 x∈(x 2,1)时，f′(x)<0，f(x)递减，当 x∈(1，＋∞)时， f′(x)>0，f(x)递增，∴f(x)在 x＝1 处取得极小值．故选 C. 4．(2014·江西高考)在同一直角坐标系中，函数 y＝ax2－x＋a 2与 y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈ R)的图象不可能的是(　　) 解析：选 B　分两种情况讨论： 当 a＝0 时，函数为 y＝－x 与 y＝x，图象为 D，故 D 有可能；当 a≠0 时，函数 y＝ax2－ x＋a 2的对称轴为 x＝ 1 2a，对函数 y＝a2x3－2ax2＋x＋a 求导得 y′＝3a 2x2－4ax＋1＝(3ax－ 1)(ax－1)，令 y′＝0，则 x1＝ 1 3a，x2＝1 a，所以对称轴 x＝ 1 2a介于两个极值点 x1＝ 1 3a，x2＝1 a之 间，A，C 满足，B 不满足，所以 B 不可能．故选 B. 5．(2014·陕西高考)设函数 f(x)＝ln x＋m x，m ∈R. (1)当 m＝e(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值； (2)讨论函数 g(x)＝f′(x)－x 3零点的个数； (3)若对任意 b>a>0，f(b)－f(a) b－a <1 恒成立，求 m 的取值范围． 解：(1)由题设，当 m＝e 时，f(x)＝ln x＋e x， 则 f′(x)＝x－e x2 ， ∴当 x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减， 当 x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增， ∴x＝e 时，f(x)取得极小值 f(e)＝ln e＋e e＝2， ∴f(x)的极小值为 2. (2)由题设 g(x)＝f′(x)－x 3＝1 x－m x2－x 3(x＞0)， 令 g(x)＝0，得 m＝－1 3x3＋x(x＞0)． 设 φ(x)＝－1 3x3＋x(x≥0)， 则 φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)， 当 x∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上单调递增； 当 x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减． ∴x＝1 是 φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此 x＝1 也是 φ(x)的最大值点， ∴φ(x)的最大值为 φ(1)＝2 3. 又 φ(0)＝0，结合 y＝φ(x)的图象(如图)，可知 ①当 m＞2 3时，函数 g(x)无零点； ②当 m＝2 3时，函数 g(x)有且只有一个零点； ③当 0＜m＜2 3时，函数 g(x)有两个零点； ④当 m≤0 时，函数 g(x)有且只有一个零点． 综上所述，当 m＞2 3时，函数 g(x)无零点； 当 m＝2 3或 m≤0 时，函数 g(x)有且只有一个零点； 当 0＜m＜2 3时，函数 g(x)有两个零点． (3)对任意的 b＞a＞0，f(b)－f(a) b－a ＜1 恒成立． 等价于 f(b)－b＜f(a)－a 恒成立．(*) 设 h(x)＝f(x)－x＝ln x＋m x－x(x＞0)， ∴(*)等价于 h(x)在(0，＋∞)上单调递减， 由 h′(x)＝1 x－m x2－1≤0 在(0，＋∞)上恒成立， 得 m≥－x2＋x＝－(x－1 2 )2＋1 4(x＞0)恒成立， ∴m≥1 4(对m＝1 4，h′(x)＝0仅在x＝1 2时成立)， ∴m 的取值范围是[ 1 4，＋∞). 6．(2014·北京高考)已知函数 f(x)＝xcos x－sin x，x∈[0，π 2 ]. (1)求证：f(x)≤0； (2)若 a0)，若 f(x)在[－1,1]上的最小值记为 g(a)． (1)求 g(a)； (2)证明：当 x∈[－1,1]时，恒有 f(x)≤g(a)＋4. 解：(1)因为 a>0，－1≤x≤1，所以 (ⅰ)当 00，故 f(x)在(a,1)上是增函数； 所以 g(a)＝f(a)＝a3. (ⅱ)当 a≥1 时，有 x≤a，则 f(x)＝x3－3x＋3a，f′(x)＝3x 2－3<0，故 f(x)在(－1,1)上是 减函数，所以 g(a)＝f(1)＝－2＋3a. 综上，g(a)＝Error! (2)证明：令 h(x)＝f(x)－g(a)， (ⅰ)当 00， 知 t(a)在(0,1)上是增函数． 所以 t(a)0)，设所求切线的斜率为 k， ∵g′(x)＝f(1,x)，∴k＝g′(1)＝1， 于是在点(1，0)处切线方程为 y＝x －1. (2 分) 第二步 构造新函数， 将公共点转 化为零点 ⇐ Error ! (2)证明：曲线 y＝ex 与 y＝1 2x2＋x＋1 公共点的个数等于函数 φx＝ex－1 2 x2－x－1 零点个数. (4 分) 不说明两曲 线公共点的 个数等于函 数零点个数, 步骤不规范. 第三步 求零点 ⇐ Error ! ∵φ(0)＝1－1＝0， ∴φ(x)存在零点 x＝0. (5 分) 又 φ′(x)＝e x－x－1，,令 h(x)＝ φ′(x)＝ex－x－1， 则 h′(x)＝ex－1， 当 x＜0 时，h′(x)＜0， ∴φ′(x)在(－∞，0)上单调递减； 当 x＞0 时，h′(x)＞0， 想 不 到 第 二 次 求 导 即 构 造 新 函数 h(x)导 致 解 题 中 断． 第四步 求函数的导 函数并判断 其单调性进 而 求 极 值 (最值) ⇐ Error ! ∴φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增. (8 分) ∴φ′(x)在 x＝0 有唯一的极小值 φ′(0)＝0, 即 φ′(x) 在 R 上 的 最 小 值 为 φ′(0)＝0. 第五步 利 用 极 值 (最值)判断 零点个数即 交点个数 ⇐ Error ! ∴φ′(x)≥0(仅当 x＝0 时等号成 立)， ∴φ(x)在 R 上是单调递增的， ∴φ(x)在 R 上有唯一的零点， 不 说 明 φ′(x) 有 最 小 值 0 导 致扣分. 第六步 得出结论 ⇐ Error ! 故曲线 y＝f(x)与 y＝1 2x2＋x＋1 有 唯一的公共点. (12 分) 函数与导数 1．(2015·洛阳统考)已知函数 f(x)＝ex＋ax2－e2x. (1)若曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线平行于 x 轴，求函数 f(x)的单调区间； (2)若 x>0 时，总有 f(x)>－e2x，求实数 a 的取值范围． 解：(1)由 f′(x)＝ex＋2ax－e2 得： y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率 k＝4a＝0，则 a＝0. 此时 f(x)＝ex－e2x，f′(x)＝ex－e2. 由 f′(x)＝0，得 x＝2. 当 x∈(－∞，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当 x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 所以函数 f(x)的单调增区间是(2，＋∞)， 单调减区间是(－∞，2)． (2)由 f(x)>－e2x 得：a>－ex x2. 设 g(x)＝－ex x2，x>0，则 g′(x)＝ex(2－x) x3 . ∴当 x∈(0,2)时，g′(x)>0，g(x)在(0,2)上单调递增； 当 x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)在(2，＋∞)上单调递减． ∴g(x)≤g(2)＝－e2 4. 因此，a 的取值范围为(－e2 4，＋∞). 2．已知定义在正实数集上的函数 f(x)＝1 2x2＋2ax，g(x)＝3a2ln x＋b，其中 a>0，设两曲 线 y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同． (1)用 a 表示 b； (2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)． 解：(1)设曲线 y＝f(x)与 y＝g(x)(x>0)在公共点(x0，y0)处的切线相同， ∵f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝3a2 x ， ∴依题意得Error! 即Error! 由 x0＋2a＝3a2 x0 ，得 x0＝a 或 x0＝－3a(舍去)， 则 b＝1 2a2＋2a2－3a2ln a＝5 2a2－3a2ln a. (2)证明：设 F(x)＝f(x)－g(x) ＝1 2x2＋2ax－3a2ln x－b(x>0)， 则 F′(x)＝x＋2a－3a2 x ＝ (x－a)(x＋3a) x (x>0)， 由 F′(x)＝0 得 x＝a 或 x＝－3a(舍去)． 当 x 变化时，F′(x)，F(x)的变化情况如下表： x (0，a) a (a，＋∞) F′(x) － 0 ＋ F(x)  极小值  结合(1)可知函数 F(x)在(0，＋∞)上的最小值是 F(a)＝f(a)－g(a)＝0. 故当 x>0 时，有 f(x)－g(x)≥0， 即当 x>0 时，f(x)≥g(x)． 3．(2014·辽宁高考)已知函数 f(x)＝(cos x－x)(π＋2x)－8 3(sin x＋1)，g(x)＝3(x－π)cos x－4(1 ＋sin x)·ln(3－2x π ). 证明：(1)存在唯一 x0∈(0，π 2 )，使 f(x0)＝0； (2)存在唯一 x1∈( π 2，π )，使 g(x1)＝0，且对(1)中的 x0，有 x0＋x1<π. 证明：(1)当 x∈(0，π 2 )时， f′(x)＝－(1＋sin x)(π＋2x)－2x－2 3cos x<0， 则函数 f(x)在(0，π 2 )上为减函数， 又 f(0)＝π－8 3>0，f( π 2 )＝－π2－16 3 <0， 所以存在唯一 x0∈(0，π 2 )，使 f(x0)＝0. (2)考虑函数 h(x)＝3(x－π)cos x 1＋sin x －4ln(3－2x π )，x∈[ π 2，π ]. 令 t＝π－x，则 x∈[ π 2，π ]时，t∈[0，π 2 ]. 设 u(t)＝h(π－t)＝ 3tcos t 1＋sin t－4ln(1＋2 πt)， 则 u′(t)＝ 3f(t) (π＋2t)(1＋sin t). 由(1)得，当 t∈(0，x0)时，u′(t)>0， 当 t∈(x0，π 2)时，u′(t)<0. 在(0，x0)上 u(t)是增函数，又 u(0)＝0， 从而当 t∈(0，x0]时，u(t)>0， 所以 u(t)在(0，x0]上无零点． 在(x0，π 2)上 u(t)为减函数，由 u(x0)>0，u( π 2 )＝－4ln 2<0，知存在唯一 t1∈(x0，π 2)， 使 u(t1)＝0. 所以存在唯一的 t1∈(0，π 2 )，使 u(t1)＝0. 因此存在唯一的 x1＝π－t1∈( π 2，π )，使 h(x1)＝h(π－t1)＝u(t1)＝0. 因为当 x∈( π 2，π )时，1＋sin x>0， 故 g(x)＝(1＋sin x)h(x)与 h(x)有相同的零点， 所以存在唯一的 x1∈( π 2，π )，使 g(x1)＝0. 因 x1＝π－t1，t1>x0，所以 x0＋x1<π.