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- 2021-06-21 发布
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2019学年高一数学上学期12月月考试题
考试范围:必修1 必修2第一章第二章;考试时间:120分钟;
一、单选题(共12题,每题5分)
1.已知全集,,则图中阴影部分表示的集合是( )
A. B.
C. D.
2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( )
A. B. C. D.
3.已知函数的定义域为,则函数的定义域为( )
A.(-,-1)B.(-1,-)C.(-5,-3)D.(-2,-)
4.设m,n是两条不同的直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A .B.
C. D.
5.如果方程的两个实根一个小于‒1,另一个大于1,则实数m的取值范围是( )
A. B.(-2,0) C.(0,1) D.(-2,1)
6.在长方体中,,,则与平面所成角的正弦值为()
A. B. C. D.
7.已知函数若关于的方程有两个不等的实根,则实数取值范围是( )
A. B. C. D.
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8某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为,则其正视图中x的值为
A.5 B. 4 C.3 D.2
9.已知三棱锥的三条侧棱两两垂直,且,则该三棱锥的外接球的半径为( )
A. 3 B. 6 C. 36 D. 9
10.已知=是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,) C.[,)D.[,1)
11.如图,等边三角形的中线与中位线相交于,已知是△绕旋转过程中的一个图形,下列命题中,错误的是( )
A. 动点在平面上的射影在线段上B. 恒有平面⊥平面
C. 三棱锥的体积有最大值D. 异面直线与不可能垂直
12.如图所示,在棱长为5的正方体中,是棱上的一条线段,且,点是的中点,点是棱上的动点,则四面体的体积( )
A.是变量且有最大值 B.是变量且有最小值
C.是变量有最大值和最小值 D.是常量
二、填空题(共4题,每题5分)
13.若,则__________.
14.已知是球的直径上一点, , 平面, 为垂足, 截球所得截面的面积为,则球的表面积为_______.
15. 若在区间(-∞,1]上递减,则a的取值范围为
16.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1,则下列四个命题:
①P在直线BC1上运动时,三棱锥A—D1PC的体积不变;
②P在直线BC1上运动时,直线AP与平面ACD1所成角的大小不变;
③P在直线BC1上运动时,二面角P—AD1—C的大小不变;
④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点,则M点的轨迹是过D1点的直线D1A1。
其中真命题的编号是。
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三、解答题(共6题,共70分)
17.(本小题满分10分)
已知集合,集合,集合
.
(1) 求,;
(2)若,求实数的取值范围.
18. (本小题满分12分)
在直三棱柱中,,,求:
(1)异面直线与所成角的正切值;
(2)直线到平面的距离.
19. (本小题满分12分)
已知函数
(1)若函数的定义域为R,求实数a的取值范围;
(2)若函数的值域为(﹣∞,﹣1],求实数a的取值范围;
(3)若函数在区间上为增函数,求实数a的取值范围
20. (本小题满分12分)
在如图所示的几何体中,四边形是正方形,平面,分别为的中点,且.
(1)求证:平面平面;
(2)求证:平面平面;
(3)求三棱锥与四棱锥的体积之比.
21. (本小题满分12分)
已知是定义在上的奇函数,且,若,且时,有恒成立.
(Ⅰ)用定义证明函数在上是增函数;
(Ⅱ)解不等式:;
- 11 -
(Ⅲ)若对所有恒成立,求实数m的取值范围.
18. (本小题满分12分)
如图甲,⊙O的直径AB=2,圆上两点C、D在直径AB的两侧,且∠CAB=,∠DAB=.沿直径AB折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙),F为BC的中点,E为AO的中点.根据图乙解答下列各题:
(1)求三棱锥C-BOD的体积;
(2)求证:CB⊥DE;
(3)在上是否存在一点G,使得FG∥平面ACD?若存在,试确定点G的位置;若不存在,请说明理由.
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参考答案
1.C
【解析】试题分析:图中阴影表示
,故选C.
考点:集合的运算
2.A
【解析】
试题分析:根据,等腰梯形的面积为,所以原图像的面积为,故选A.
考点:斜二测画法
3.B.
【解析】
试题分析:因为函数的定义域为,即,所以,所以函数的定义域为,所以,即,所以函数的定义域为.故选B.
考点:函数的定义域及其求法.
4.D
【解析】构造一个正方体,将各选项中的条件对应于正方体中的线和面,不难知道,A,B,C是典型错误命题,选D.
5.C
【解析】
试题分析:构建函数f(x)=x2 +(m-1)x+m2-2,根据两个实根一个小于-1,另一个大于1,可得f(-1)<0,f(1)>0,从而可求实数m的取值范围.解:由题意,构建函数f(x)=x2 +(m-1)x+m2-2,∵两个实根一个小于-1,另一个大于1,∴f(-1)<0,f(1)>0,∴0<m<1,故选C
考点:方程根的问题
点评:本题以方程为载体,考查方程根的讨论,关键是构建函数,用函数思想求解.
6.D
【解析】试题分析:连与交与点,再连,∵,∴,且平面平面,所以平面,则为与平面所成的角,所以,所以,故选D.
7.D
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【解析】试题分析:做出的图象,在时,是增函数,值域为,在时,是减函数,值域是,由图知,方程有两个不等实根,则有.故选D.
8.C
【解析】
考点:由三视图求面积、体积.
分析:几何体是一个组合体,上面是一个正四棱锥,四棱锥的底面是一个对角线为4的正方形,侧棱长是3,下面是一个圆柱,底面直径是4,母线长是x,写出几何体的体积,得到关于x的方程,解出结果.
:由三视图知,几何体是一个组合体,
上面是一个正四棱锥,四棱锥的底面是一个对角线为4的正方形,侧棱长是3,根据直角三角形勾股定理知圆锥的高是=
下面是一个圆柱,底面直径是4,母线长是x,
∵几何体的体积为,
∴π×4x+×(2)2×=,
∴x=3,
故答案为:3
9.A
【解析】因为三棱锥S—ABC的三条侧棱两两垂直,所以该三棱锥的外接球就是以三棱锥S—ABC的三条侧棱为棱的长方体的外接球;长方体的外接球的直径等于长方体对角线;所以外接球的半径为故选A
10.C
【解析】
- 11 -
试题分析:由题意可得.故C正确.
考点:1函数的单调性;2数形结合思想.
11.D
【解析】试题分析:依题意可知四边形为菱形,对角线与互相垂直平分,故正确,在旋转过程中始终垂直和,故,所以恒有平面⊥平面,故正确.当时,三棱锥的体积取得最大值,故正确.因为,故异面直线与所成的角为,旋转过程中有可能为直角,故错误.
考点:1、立体几何折叠问题;2、立体几何面面垂直的判定定理;3、异面直线所成的角.
12. D
【解析】试题分析:点Q到棱AB的距离为常数,所以△EFQ的面积为定值.由C1D1∥EF,可得棱C1D1∥
平面EFQ,所以点P到平面EFQ的距离是常数.于是四面体PQEF的体积为常数.
二、填空题(共4题,每题5分)
13.0
【解析】得
14.;
【解析】试题分析:由题如图,设截面小圆的半径为r,球的半径为R,因为AH∶HB=1∶2,所以.由勾股定理, ,又由题意得,故.由球的表面积公式得;
考点:球体的几何性质及表面积。
15.
【解析】函数的对称轴为
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,要使函数在(-∞,1]上递减,则有,即,解得,即,选A.
16.①③④
【解析】
试题分析:①∵BC1∥平面AD1,∴BC1∥上任意一点到平面AD1C的距离相等,所以体积不变,正确.②P在直线BC1上运动时,直线AB与平面ACD1所成角和直线AC1与平面ACD1所成角不相等,所以不正确.③当P在直线BC1上运动时,AP的轨迹是平面PAD1,即二面角P-AD1-C的大小不受影响,所以正确.④∵M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点,∴M点的轨迹是一条与直线D C1平行的直线,而D D1= C1D1,所以正确.故答案为:①③④.
三、解答题(共6题,共70分)
17.【解析】
(1)由,得,,,
(2)∵,∴
①当,即时,,此时,满足题意;
②当时,若,则,解得
综上所述,的取值范围是
18.(1);(2).
【解析】
(1)因为,所以(或其补角)是异面直线与所成角. 1分
因为,,所以平面,所以.3分
在中,6分
(2)因为//平面
所以到平面的距离等于到平面的距离 8分
设到平面的距离为,
因为,所以10分
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可得11分
直线与平面的距离为.
考点:(1)异面直线所成的角;(2)直线到平面的距离.
19. (1)实数a的取值范围是.(2)a=±1.
(3)实数a的取值范围是[1,2].
【解析】记g(x)=x2﹣2ax+3=(x﹣a)2+3﹣a2,
(1)由题意知g(x)>0对x∈R恒成立,
∴ ,解得
∴实数a的取值范围是.
(2) 由函数是减函数及函数的值域为
(﹣∞,﹣1],可知 x2﹣2ax+3≥2.由(1)知g(x)的值域为[3﹣a2,+∞),
∴.
∴a=±1.
(3)由题意得,解得1≤a≤2,
∴实数a的取值范围是[1,2].
20.(1)(2)证明过程详见解析;(3)1:4
【解析】
(1)证明:∵分别为的中点,
∴,
又∵四边形是正方形,
∴,∴,
∵在平面外,在平面内,
∴平面,平面,
又∵都在平面内且相交,
∴平面平面.
(2)证明:由已知平面,
∴平面.
又平面,∴.
∵四边形为正方形,∴,
又,∴平面,
在中,∵分别为的中点,
∴,∴平面.
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又平面,∴平面平面.
(3)解:∵平面,四边形为正方形,不妨设,则.
∵平面,且,
∴即为点到平面的距离,
∴21.(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) (Ⅲ)或
【解析】
(Ⅰ)证明:设任意且,
由于是定义在上的奇函数,∴
因为,所以,由已知有,
∵,∴,即,
所以函数在上是增函数.
(Ⅱ)由不等式得,解得
(Ⅲ)由以上知最大值为,
所以要使对所有,只需恒成立,
得实数m的取值范围为或.
22.(1)(2)见解析(3)G为的中点
【解析】(1)∵C为圆周上一点,且AB为直径,∴∠C=,
∵∠CAB=,∴AC=BC,
∵O为AB的中点,∴CO⊥AB,
∵AB=2,∴CO=1.
∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB,
∴CO⊥平面ABD,∴CO⊥平面BOD.
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∴CO就是点C到平面BOD的距离,
S△BOD=S△ABD=××1×=,
∴VC-BOD=S△BOD·CO=××1=.
(2)证明:在△AOD中,∵∠OAD=,OA=OD,
∴△AOD为正三角形,
又∵E为OA的中点,∴DE⊥AO,
∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB,
∴DE⊥平面ABC.
又CB⊂平面ABC,∴CB⊥DE.
(3)存在满足题意的点G,G为的中点.证明如下:
连接OG,OF,FG,
易知OG⊥BD,
∵AB为⊙O的直径,
∴AD⊥BD,
∴OG∥AD,
∵OG⊄平面ACD,AD⊂平面ACD,
∴OG∥平面ACD.
在△ABC中,O,F分别为AB,BC的中点,
∴OF∥AC,
∴OF∥平面ACD,
∵OG∩OF=O,
∴平面OFG∥平面ACD.
又FG⊂平面OFG,∴FG∥平面ACD.
- 11 -