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- 2021-06-21 发布
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数学试题
时量:120分钟 总分:150分
一、 选择题(每小题5分,共60分,每题只有一个正确答案)
1.不等式的解集是( )
A. B.
C. D. 或
2.设,则( )
A. M N B. M > N C. M < N D. M N
3.已知等差数列中,,则前5项和为( )
A. 5 B. 6 C. 15 D. 30
4.若a、b、c为实数,则下列命题正确的是( )
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则
5.已知等比数列中,,,则( )
A. 3 B. 15 C. 48 D. 63
6.已知方程表示椭圆,则k的取值范围为( )
A. 且 B. 且
C. D.
7.在中,,则的形状是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形
8.已知中,,, 则数列的通项公式是( )
A. B. C. D.
9.当时,不等式 恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.已知等差数列的前项和为,满足,且,则中最大的是( )
A. B. C. D.
11.设、是椭圆E:的左、右焦点 , P为直线上一点, 是底角为的等腰三角形,则E的离心率为( )
A. B. C. D.
12.如果不等式x2<|x﹣1|+a的解集是区间(﹣3,3)的子集,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.在等比数列中,已知,则___ ___
14.已知 的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 若 ,, 则 .
15.若关于x的不等式的解集是, 则_____ _.
16.已知数列,定义使为整数的数k叫做企盼数,则区间内所有的企盼数的和是
三、解答题(解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤,共70分)
17.(本题10分)已知椭圆C中心在原点,焦点为,,且离心率.
求椭圆C的标准方程;
过的直线l交椭圆C于A,B两点,求的周长.
18.(本题12分)已知等差数列的公差不为零,,且,,成等比数列.
1求的通项公式;
2求.
19.(本题12分)
的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
(1)求角C;
(2)若,的面积为,求 的周长.
20.(本题12分)
某工厂要建造一个长方体的无盖贮水池,其容积为, 深为3m, 如果池底造价为每平方米150元,池壁每平方米造价为120元, 怎么设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?
21.(本题12分)
已知数列中, 且当时, .
(1) 求数列的通项公式;
(2) 若,求数列 的前n项和 ;
22.(本题12分)
已知函数.
求不等式的解集;
若不等式的解集非空,求m的取值范围.
参考答案
一.选择题(本大题12小题,共60分)
题号
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
答案
D
A
C
B
C
B
A
C
D
B
C
A
二.填空题(本大题4小题,共20分)
13、_ 4 _ 14、 15、 2 16、 2026
三. 解答题(本大题6小题,共70分)
17.(本题10分)
已知椭圆C中心在原点,焦点为,,且离心率.
求椭圆C的标准方程;
过的直线l交椭圆C于A,B两点,求的周长
解析:因为,,,
所以,
得到又椭圆的焦点在x轴上,
所以求椭圆的标准方程为.
因为的直线l交椭圆于两点,
根据椭圆的定义得的周长等于.
18.(本题12分)
已知等差数列的公差不为零,,且,,成等比数列.
1求的通项公式;
2求.
解析:设等差数列的公差为,
由题意,,成等比数列,,
,化为,
,,解得.
.
由可得,可知此数列是以25为首项,为公差的等差数列.
.
19.(本题12分)
的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
(1)求角C;
(2)若,的面积为,求 的周长
解析:(1)由已知及正弦定理得,,
即.故.
可得,所以.
(2)由已知,.又,所以.
由已知及余弦定理得.故,从而.
所以的周长为.
20.(本题12分)
某工厂要建造一个长方体的无盖贮水池,其容积为, 深为3m, 如果池 底造价为每平方米150元,池壁每平方米造价为120元, 怎么设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?
解析:,设长方体的长宽分别为x,y, 则,可得 .
水池总造价
元
当且仅当,时取等号.
设计水池底面为边长为20m的正方形能使总造价最低,最低造价是297600元.
21.(本题12分)
已知数列中, 且当时, .
(1) 求数列的通项公式;
(2) 若,求数列 的前n项和 ;
解析: (1)由题可知数列是个等比数列, 公比q=2, 所以
(2)
所以
则
两式相减得
可得
22.(本题12分)
已知函数.
求不等式的解集;
若不等式的解集非空,求m的取值范围.
解析: ,
,
当时,,解得;
当时,恒成立,故;
综上,不等式的解集为.
原式等价于存在使得成立,
即, 设.
由知,
当时,,其开口向下,对称轴方程为,
;
当时,,其开口向下,对称轴方程为,
;
当时,,其开口向下,对称轴方程为,
;
综上,,
的取值范围为