高中同步数学教案空间向量及其应用 23页

空间向量及其应用 一、 空间向量 ‎1、空间向量定义：空间既有大小、又有方向的量叫做空间向量。用带有箭头的线段表示。‎ ‎ 以为始点，为终点的空间向量记作，也可用表示，以表示的模。‎ ‎2、相等的向量、零向量、负向量、单位向量、向量的平移、向量的平行、向量的夹角等概念与平面向量类似。‎ ‎3、空间向量的运算：‎ 空间向量的和、差、数乘向量、数量积等运算的定义及其运算率与平面向量的相应运算及其运算率类似。‎ 加法的平行四边形法则、三角形法则，减法的三角形法则在空间向量中仍适用。‎ 例1、在平行六面体中，设，用表示下列向量：‎ ‎（1）； （2）； （3）； （4）； （5）。‎ 解：（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）；‎ ‎（5）。‎ 例2、已知平行六面体，点在对角线上，且，点在对角线上，且，求证：三点共线。‎ 证：设，‎ 则，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以，‎ ‎，所以三点共线。‎ 例3、已知向量，向量与的夹角都为，且，求 ‎（1）； （2）； ‎ ‎（3）与的夹角。‎ 解：，‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3），所以，。‎ 例4、在正四面体中，是的中点，是的中点.‎ 求异面直线与所成角的大小。‎ 解：。‎ 二、 空间向量的坐标形式 ‎1、空间直角坐标系的建立：‎ ‎ 从空间某一个定点引三条互相垂直且有相同长度单位的数轴，这样就建立了空间直角坐标系。其中为坐标原点，轴、轴、轴分别叫做横轴、纵轴、竖轴。‎ ‎2、三条坐标轴的位置关系要满足右手系。‎ ‎3、空间直角坐标系的三条坐标轴确定了三个坐标平面，这三个平面把空间分成了八个部分，分别称为八个卦限。‎ ‎4、空间直角坐标系内点的坐标：‎ 空间任意一点在轴、轴、轴上的射影所对应的实数构成的有序实数组称为点的坐标，记作。‎ 例1、已知正三棱柱的所有棱长都是，分别是棱的中点，在如图空间直角坐标系中，写出正三棱柱各顶点的坐标。‎ 解：，‎ ‎。‎ ‎5、空间向量的坐标形式：‎ 坐标轴上的单位向量：建立空间直角坐标系后，用分别表示轴，轴，轴上与它们的正半轴有相同方向的单位向量。‎ 位置向量：始点是坐标原点，终点是的向量叫做点的位置向量。‎ 设点在三条坐标轴上的射影分别为，，‎ 则，与平面向量相类似，我们把有序实数组叫做空间中点的位置向量的坐标，记作。‎ 空间向量的坐标：设点，‎ 则，‎ 我们把叫做空间向量的坐标，‎ 记作。‎ 其实这也是所对应的位置向量的坐标。‎ 例2、已知长方体的棱长，建立如图空间直角坐标系，写出的坐标。‎ 解：，‎ ‎，‎ 所以，‎ ‎。‎ ‎6、空间向量的坐标运算：‎ ‎ 设，则 ‎；‎ ‎；‎ 特别地， 。‎ 例3、已知点的坐标分别为，点在直线上，且，求点坐标。‎ 解：由已知，‎ ‎∵，∴。‎ 这就是平面上定比分点公式在空间的推广。‎ 当，的中点；三角形的重心公式也可以作相应的推广。‎ 例4、已知空间三点，求点坐标，使四边形是平行四边形。‎ 解：设，∵的中点与的中点重合，∴，‎ 所以。‎ ‎7、向量坐标的应用：‎ ‎（1）两个非零向量与平行的充要条件是存在非零实数，使得；‎ ‎（2）两个非零向量与垂直的充要条件是；‎ ‎（3）若，的夹角为，则 ‎。‎ 例5、已知，若与平行，求实数的值。‎ 解：，因为与平行，所以。‎ 例6、已知，若与互相垂直，求实数的值。‎ 解：，因为与垂直，所以。‎ 例7、已知空间三点，求各边长和各内角的大小。‎ 解：，‎ 所以，因为，所以为等腰三角形，‎ 设向量的夹角为，则，‎ 所以，。‎ 三、 空间直线的方向向量和平面的法向量 ‎1、空间直线的方向向量：‎ 对于空间的任意一条直线，我们把与直线平行的非零向量叫做直线的一个方向向量。‎ 例1、已知棱长为的正四面体，试建立空间直角坐标系，确定各棱所在直线的方向向量。‎ 解：以为原点，所在直线为轴，所在平面为平面，建立如图空间直角坐标系。，‎ 过作于，则，‎ 又因为，所以，各棱所在直线的方向向量分别为：‎ ‎，‎ ‎。‎ ‎2、平面的法向量：‎ 对于非零空间向量，如果它与平面垂直，那么叫做平面的一个法向量。‎ 例2、如图，正方体的棱长为，分别是棱的中点，求平面的一个法向量。 ‎ 解：，‎ 所以，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 因为，‎ 所以，取，得，所以。‎ ‎3、三个基础命题：‎ 基础命题1：两条直线平行或重合的充要条件是它们的方向向量互相平行。‎ 基础命题2：一条直线与一个平面平行或在一个平面内的充要条件是这条直线的方向向量垂直于该平面的法向量。‎ 基础命题3：两个平面平行或重合的充要条件是它们的法向量互相平行。‎ 如何证垂直？‎ 例3、正方体中，分别为的中点，求证：。‎ 证明：建立如图直角坐标系，设正方体的边长为1，‎ 则，‎ 所以，‎ 因为，所以，且与不重合，由基础命题1有。‎ 例4、在长方体中，，分别是上的点，且，求证：直线。‎ 解：建立如图直角坐标系，则 ‎，‎ 由线段定比分点公式有，‎ 所以，因为轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量。‎ 因为，所以，而不在平面内，由基础命题2有。‎ 例5、在长方体中，，求证：平面。‎ 证明：建立如图直角坐标系，则 ‎，‎ ‎，，‎ 设平面和平面的法向量分别为 和，‎ 因为，‎ 所以，取，得，‎ 所以，同理可以求得，因为，所以，‎ 且平面和平面不重合，所以。‎ 例6、已知矩形与全等，它们所在的平面成角，若，分别是的中点，求证：。‎ 证明：建立如图直角坐标系，‎ ‎，‎ ‎，‎ 因为为中点，所以，‎ 为中点，所以，‎ 又因为平面的一个法向量，，所以，‎ 且不在平面内，所以。‎ 四、 空间向量在度量问题中的应用 ‎1、空间两条直线所成角：‎ 设空间直线与所成角为，它们的一个方向向量分别为，，则。‎ 例1、在正方体中，分别是的中点，‎ ‎（1）求异面直线与所成角；‎ ‎（2）求证：。‎ 解：建立如图空间直角坐标系，设正方体棱长为，则，‎ ‎，‎ ‎（1），‎ 设的夹角为，‎ 则，‎ 所以与所成角为。‎ ‎（2），‎ 因为，所以，即。‎ ‎2、空间直线与平面所成的角、二面角 ‎（1）线面角：‎ 当直线与平面斜交时，设所成角为，设是直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，则。‎ ‎（2）二面角：‎ 设二面角的两个半平面所在平面的法向量分别是，设的夹角为，二面角的大小为，所以或。‎ 例2、在正方体中，分别是的中点，求 ‎（1）直线与平面所成角的大小；‎ ‎（2）二面角的大小。‎ 解：设正方体棱长为2，建立如图空间直角坐标系，‎ ‎，所以 ‎，‎ ‎（1）设是的一个法向量，‎ 所以，，取，则，设与夹角为，‎ 与平面所成角为，‎ 所以，即。‎ ‎（2）因为的一个法向量为，设与夹角为，所以，‎ 即二面角为。‎ ‎3、空间的点与平面的距离：‎ 设是平面上任意一点，是的一个法向量，是平面外一点，点到平面的距离为，则。‎ 例3、在长方体中，，求 ‎（1）顶点到平面的距离；‎ ‎（2）直线到平面的距离。‎ 解：建立如图空间直角坐标系，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则，设是平面的一个法向量，‎ 则，，取，得到，‎ ‎（1），所以顶点到平面的距离；‎ ‎（2），因为，且不在平面内，所以，‎ ‎，所以到平面的距离，即直线到平面的距离为。‎ 例4、已知正方体棱长为，分别是的中点，求四棱锥的体积。‎ 解：建立如图空间直角坐标系，‎ 则，所以，‎ 设是的一个法向量，则，，‎ 取，得到，因为，所以，‎ 到平面的距离，又因为为等腰梯形，‎ 所以，所以。‎ 例5、已知正三棱柱的所有棱长为，是中点，求 ‎（1）直线与平面所成角的大小；‎ ‎（2）二面角的大小。‎ 解：建立如图空间直角坐标系，则 ‎，所以，‎ ‎（1）设平面的一个法向量为，‎ 则，，取，‎ 得到，直线的一个方向向量 ‎，设与夹角为，与平面所成角为，‎ 所以，即。‎ ‎（2）平面的一个法向量，设夹角为，则，‎ 即二面角为。‎