【数学】2020届一轮复习人教B版平面向量、数系的扩充与复数的引入课时作业(1) 10页

第四章　平面向量、数系的扩充与复数的引入 课时作业25　平面向量的概念及其线性运算 ‎1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　B　)‎ A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同 C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a 解析：对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．‎ ‎2．(2019·合肥质检)已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2＋＝0，则向量等于(　C　)‎ A.－ B．－＋ C．2－ D．－＋2 解析：因为＝－，＝－，所以2＋＝2(－)＋(－)＝－2＋＝0，所以＝2－.‎ ‎3．(2019·济宁模拟)如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为(　B　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：∵O为BC的中点，‎ ‎∴＝(＋)＝(m＋n)‎ ‎＝＋，‎ ‎∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，‎ ‎∴m＋n＝2.‎ ‎4．(2019·河南中原名校联考)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝(　C　)‎ A.－ B.－ C．－＋ D．－＋ 解析：＝＋＝＋ ‎＝－＋ ‎＝－＋ ‎＝－＋＋＋(＋＋)‎ ‎＝－＋.‎ ‎5．(2019·长春模拟)在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且＝＋，则＝(　B　)‎ A. B. C. D. 解析：由＝＋得点D在平行于AB的中位线上，从而有S△ABD＝S△ABC，又S△ACD＝S△ABC，所以S△BCD＝S△ABC＝S△ABC，所以＝.故选B.‎ ‎6．(2019·太原模拟)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，点P是△ABC内一点(含边界)，若＝＋λ·，则||的取值范围为(　D　)‎ A. B. C. D. 解析：在AB上取一点D，使得＝，过D作DH∥AC，交BC于H.‎ ‎∵＝＋λ，且点P是△ABC内一点(含边界)，∴点P在线段DH上．‎ 当P在D点时，||取得最小值2；‎ 当P在H点时，||取得最大值，‎ 此时B，P，C三点共线，‎ ‎∵＝＋λ，∴λ＝，‎ ‎∴＝＋，‎ ‎∴2＝2＋2＋·＝，‎ ‎∴||＝.‎ 故||的取值范围为.故选D.‎ ‎7．已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝3.‎ 解析：由已知条件得＋＝－，‎ 如图，延长AM交BC于D点，‎ 则D为BC的中点．‎ 延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，‎ 同理可证E，F分别为AC，AB的中点，‎ 即M为△ABC的重心，‎ ‎∴＝＝(＋)，‎ 即＋＝3，则m＝3.‎ ‎8．(2019·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为－.‎ 解析：由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得＝λ.‎ 又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，‎ 所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，‎ 所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，‎ 又e1与e2不共线，‎ 所以解得k＝－.‎ ‎9．在直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是.‎ 解析：由题意可求得AD＝1，CD＝，∴＝2，‎ ‎∵点E在线段CD上，‎ ‎∴＝λ(0≤λ≤1)．‎ ‎∵＝＋，‎ 又＝＋μ＝＋2μ＝＋，∴＝1，即μ＝，∵0≤λ≤1，∴0≤μ ‎≤.‎ 即μ的取值范围是.‎ ‎10．(2019·太原质检)设G为△ABC的重心，且sinA·＋sinB·＋sinC·＝0，则角B的大小为60°.‎ 解析：∵G是△ABC的重心，‎ ‎∴＋＋＝0，＝－(＋)，‎ 将其代入sinA·＋sinB·＋sinC·＝0，‎ 得(sinB－sinA)＋(sinC－sinA)＝0.‎ 又，不共线，‎ ‎∴sinB－sinA＝0，sinC－sinA＝0.‎ 则sinB＝sinA＝sinC.‎ 根据正弦定理知，b＝a＝c，‎ ‎∴△ABC是等边三角形，则B＝60°.‎ ‎11．如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设＝a，＝b，试用a，b表示向量.‎ 解：由D，O，C三点共线，可设 ＝k1＝k1(－)＝‎ k1＝－k1a＋k1b(k1为实数)，‎ 同理，可设＝k2＝k2(－)‎ ‎＝k2＝－k2a＋k2b(k2为实数)，①‎ 又＝＋ ‎＝－a＋ ‎＝－(1＋k1)a＋k1b，②‎ 所以由①②，得－k2a＋k2b＝－(1＋k1)a＋k1b，‎ 即(1＋k1－2k2)a＋b＝0.‎ 又a，b不共线，‎ 所以解得 所以＝－a＋b.‎ 所以＝＋＝a＋＝(a＋b)．‎ ‎12．(2019·广东化州一模)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,3)，B(3,2)，C(1,1)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)内，设＝m－n(m，n∈R)，则2m＋n的最大值为(　B　)‎ A．－1 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：由已知得＝(1，－1)，＝(1,2)，设＝(x，y)，∵＝m－n，‎ ‎∴∴2m＋n＝x－y.‎ 作出平面区域如图所示，令z＝x－y，则y＝x－z，由图象可知当直线y＝x－z经过点B(3,2)时，截距最小，即z最大．‎ ‎∴z的最大值为3－2＝1，即2m＋n的最大值为1.故选B.‎ ‎13．如图所示，在△ABC中，AD＝DB，点F在线段CD上，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则＋的最小值为(　D　)‎ A．6＋2 B．6 C．6＋4 D．3＋2 解析：由题意知＝xa＋yb＝2x＋y，‎ 因为C，F，D三点共线，‎ 所以2x＋y＝1，即y＝1－2x.‎ 由题图可知x＞0且x≠1.‎ 所以＋＝＋＝.‎ 令f(x)＝，则f′(x)＝，‎ 令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝－－1(舍)．‎ 当0＜x＜－1时，f′(x)＜0，‎ 当x＞－1且x≠1时，f′(x)＞0.‎ 所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，亦为最小值，最小值为f(－1)＝＝3＋2.‎ ‎14．(2019·河北百校联盟联考)已知在△ABC中，点D满足2＋＝0，过点D的直线l与直线AB，AC分别交于点M，N，＝λ，＝μ.若λ＞0，μ＞0，则λ＋μ的最小值为.‎ 解析：连接AD.因为2＋＝0，所以＝，‎ ＝＋＝＋＝＋(－)＝‎ ＋.‎ 因为D，M，N三点共线，所以存在x∈R，‎ 使＝x＋(1－x)，‎ 则＝xλ＋(1－x)μ，‎ 所以xλ＋(1－x)μ＝＋，所以xλ＝，(1－x)μ＝，‎ 所以x＝，1－x＝，所以＋＝1，‎ 所以λ＋μ＝(λ＋μ)＝≥，当且仅当λ＝μ时等号成立，‎ 所以λ＋μ的最小值为.‎ ‎15．定义两个平面向量的一种运算a⊗b＝|a|·|b|sin〈a，b〉，则关于平面向量上述运算的以下结论中，‎ ‎①a⊗b＝b⊗a；‎ ‎②λ(a⊗b)＝(λa)⊗b；‎ ‎③若a＝λb，则a⊗b＝0；‎ ‎④若a＝λb且λ＞0，则(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c)．‎ 正确的序号是①③④.‎ 解析：①恒成立，②λ(a⊗b)＝λ|a|·|b|sin〈a，b〉，‎ ‎(λa)⊗b＝|λa|·|b|sin〈a，b〉，当λ＜0时，‎ λ(a⊗b)＝(λa)⊗b不成立，③a＝λb，则 sin〈a，b〉＝0，故a⊗b＝0恒成立，‎ ‎④a＝λb，且λ＞0，则a＋b＝(1＋λ)b，(a＋b)⊗c＝|(1＋λ)||b|·|c|sin〈b，c〉，(a⊗c)＋(b⊗c)＝|λb|·|c|sin〈b，c〉＋|b|·|c|sin〈b，c〉＝|1＋λ||b|·|c|sin〈b，c〉，‎ 故(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c)恒成立．‎