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- 2021-06-22 发布
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高三数学试题
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合则
A. B. C. D.
2.已知复数在复平面内对应的点在直线上,则实数
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3若则
A. B.
C. D.
4我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长减少或增加的量相同,周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸,夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则说法不正确的是
A相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺
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B.春分和秋分两个节气的晷长相同
C立冬的晷长为一丈五寸
D立春的晷长比立秋的晷长短
5有三个筐,一个装着柑子,一个装着苹果,一个装着柑子和苹果,包装封好然后做“柑子”“苹果”“混装”三个标签,分别贴到上述三个筐上,由于马虎,结果全贴错了,则
A从贴有“柑子”标签的筐里拿出一个水果,就能纠正所有的标签
B从贴有“苹果”标签的筐里拿出一个水果,就能纠正所有的标签
C从贴有“混装”标签的筐里拿出一个水果,就能纠正所有的标签
D从其中一个筐里拿出一个水果,不可能纠正所有的标签
6已知向量将绕原点O逆时针旋转到的位置,则
7.已知函数对任意都有且则
A. B. C. D.
8.已知正四棱柱设直线与平面所成的角为,直线与直线A1C1所成的角为β,则
二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得3分,有选错的得0分.
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9.随着我国经济结构调整和方式转变,社会对高质量人才的需求越来越大,因此考研现象在我国不断升温.某大学一学院甲、乙两个本科专业,研究生的报考和录取情况如下表,则
A.甲专业比乙专业的录取率高 B乙专业比甲专业的录取率高
C男生比女生的录取率高 D女生比男生的录取率高
10.已知函数将的图像上所有点向左平移个单位,然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,得到函数的图像.若为偶函数,且最小正周期为,则
图美称在(0,)单调递增
在 有且仅有3个解 有仅有3个极大值点
11.已知抛物线上三点为抛物线的焦点,则
A.抛物线的准线方程为
B.则成等差数列
C..若A,F,C三点共线,则
则AC的中点到y轴距离的最小值为2
12.已知函数的定义域为导函数为且,则
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在处取得极大值
在单调递增
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
的展开式中的系数为________.
14.已知是平面α,β外的直线,给出下列三个论断,①∥α:②:③⊥β.以其中两个论断为条件,余下的论断为结论,写出一个正确命题:________.(用序号表示)
15.已知双曲线过左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于P,Q两点,以P,Q为圆心的两圆与双曲线的同一条渐近线相切,若两圆的半径之和为则双曲线的离心率为________
16我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势,实现了气能源需求与供给的东西部衔接,工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展输气管道工程建设中,某段管道铺设要经过一处峡谷,峡谷内恰好有一处直角拐角,水平横向移动输气管经过此拐角,从宽为27米峡谷拐入宽为8米的峡谷.如图所示,位于峡谷悬崖壁上两点E,F的连线恰好经过拐角内侧顶点O(点E,O,F在同一水平面内),设EF与较宽侧峡谷悬崖壁所成角为θ,则EF的长为________ (用θ表示)米.要使输气管顺利通过拐角,其长度不能超过________米.
(本题第一空2分,第二空3分)
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
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17.(本小题满分10分)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为.
(Ⅰ)求角B;
(Ⅱ)若求BC边上的高.
18.(本小题满分12分)
从条件①②③中任选一个,补充到下面问题中,并给出解答。
已知数列的前n项和为,________.若成等比数列,求k的值.(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)
19.(本小题满分12分)
携号转网,也称作号码携带、移机不改号,即无需改变自己的手机号码,就能转换运营商,并享受其提供的各种服务.2019年11月27日,工信部宣布携号转网在全国范围正式启动.某运营商为提质量保客户,从运营系统中选出300名客户,对业务水平和服务水平的评价进行统计,其中业务水平的满意率为,服务水平的满意率为,对业务水平和服务水平都满意的客户有180人.
(Ⅰ)完成下面列联表,并分析是否有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关;
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(Ⅱ)为进一步提高服务质量,在选出的对服务水平不满意的客户中,抽取2名征求改进意见,用X表示对业务水平不满意的人数,求X的分布列与期望;
(Ⅲ)若用频率代替概率,假定在业务服务协议终止时,对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为5%,只对其中一项不满意的客户流失率为34%,对两项都不满意的客户流失率为85%,从该运营系统中任选4名客户,则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多少?
附:
20.(本小题满分12分)
已知直三棱柱M,N,P分别为的中点,且
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(Ⅰ)求证:MN∥平面;
(Ⅱ)求
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
21.(本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)求证:当时的图像位于直线上方;
(Ⅱ)设函数若曲线在点M处的切线与x轴平行,且在点处的切线与直线OM平行(O为坐标原点)
求证:
22.(本小题满分12分)
已知是椭圆C: 上一点,以点P及椭圆的左、右焦点为顶点的三角形面积为.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)过作斜率存在且互相垂直的直线,M是与C两交点的中点,N是与C两交点的中点,求面积的最大值.
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