【数学】2020届一轮复习人教B版集合与常用逻辑用语课时作业(1) 9页

课时作业3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 ‎1．命题“函数y＝f(x)(x∈M)是偶函数”的否定可表示为(　A　)‎ A．∃x0∈M，f(－x0)≠f(x0)‎ B．∀x∈M，f(－x)≠f(x)‎ C．∀x∈M，f(－x)＝f(x)‎ D．∃x0∈M，f(－x0)＝f(x0)‎ 解析：命题“函数y＝f(x)(x∈M)是偶函数”即“∀x∈M，f(－x)＝f(x)”，该命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，即“∃x0∈M，f(－x0)≠f(x0)”．‎ ‎2．(2019·清华大学自主招生能力测试)“∀x∈R，x2－πx≥‎0”‎的否定是(　D　)‎ A．∀x∈R，x2－πx＜0 B．∀x∈R，x2－πx≤0‎ C．∃x0∈R，x－πx0≤0 D．∃x0∈R，x－πx0＜0‎ 解析：全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈R，x2－πx≥‎0”‎的否定是“∃x0∈R，x－πx0＜‎0”‎，故选D.‎ ‎3．(2019·衡水二调)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是(　B　)‎ A．∃x1，x2∉R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0‎ B．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0‎ C．∀x1，x2∉R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0‎ D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0‎ 解析：根据全称命题与特称命题互为否定的关系可知綈p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0.‎ ‎4．(2019·安徽安庆模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋ ‎＞3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2＞2x，则下列命题为真的是(　A　)‎ A．p∧(綈q) B．(綈p)∧q C．p∧q D．(綈p)∨q 解析：对于命题p，当x0＝4时，x0＋＝＞3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x成立，故命题q为假命题，所以p∧(綈q)为真命题，故选A.‎ ‎5．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(　A　)‎ A．綈p∨綈q B．p∨綈q C．綈p∧綈q D．p∨q 解析：命题p是“甲降落在指定范围”，则綈p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则綈q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为綈p∨綈q.故选A.‎ ‎6．(2019·河南郑州外国语中学模拟)已知命题p：若复数z满足(z－i)·(－i)＝5，则z＝6i；命题q：复数的虚部为－i，则下列命题中为真命题的是(　C　)‎ A．(綈p)∧(綈q) B．(綈p)∧q C．p∧(綈q) D．p∧q 解析：复数z满足(z－i)·(－i)＝5，‎ 则z＝－＋i＝6i，故命题p为真命题，‎ 则綈p为假命题；‎ 复数＝＝－i，则z的虚部为－，故命题q为假命题，则綈q为真命题．由复合命题真假判断的真值表可知(綈p)∧(綈q)为假命题，(綈p)∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，p∧q为假命题．故选C.‎ ‎7．(2019·山东泰安联考)下列命题正确的是(　D　)‎ A．命题“∃x∈[0,1]，使x2－1≥‎0”‎的否定为“∀x∈[0,1]，都有x2－1≤‎‎0”‎ B．若命题p为假命题，命题q是真命题，则(綈p)∨(綈q)为假命题 C．命题“若a与b的夹角为锐角，则a·b＞‎0”‎及它的逆命题均为真命题 D．命题“若x2＋x＝0，则x＝0或x＝－‎1”‎的逆否命题为“若x≠0且x≠－1，则x2＋x≠‎‎0”‎ 解析：对于选项A，命题“∃x∈[0,1]，使x2－1≥‎0”‎的否定为“∀x∈[0,1]，都有x2－1＜‎0”‎，故A项错误；对于选项B，p为假命题，则綈p为真命题；q为真命题，则綈q为假命题，所以(綈p)∨(綈q)为真命题，故B项错误；对于选项C，原命题为真命题，若a·b＞0，则a与b的夹角可能为锐角或零角，所以原命题的逆命题为假命题，故C项错误；对于选项D，命题“若x2＋x＝0，则x＝0或x＝－‎1”‎的逆否命题为“若x≠0且x≠－1，则x2＋x≠‎0”‎，故选项D正确，因此选D.‎ ‎8．(2019·江西七校联考)已知函数f(x)＝给出下列两个命题：命题p：∃m∈(－∞，0)，方程f(x)＝0有解，命题q：若m＝，则f(f ‎(－1))＝0，那么，下列命题为真命题的是(　B　)‎ A．p∧q B．(綈p)∧q C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)‎ 解析：因为3x＞0，当m＜0时，m－x2＜0，‎ 所以命题p为假命题；‎ 当m＝时，因为f(－1)＝3－1＝，‎ 所以f(f(－1))＝f＝－2＝0，‎ 所以命题q为真命题，‎ 逐项检验可知，只有(綈p)∧q为真命题，故选B.‎ ‎9．已知命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1＞0，命题q：∃x0∈R，x－x0＋a＝0.若p∧q为真命题，则实数a的取值范围是(　D　)‎ A．(－∞，4] B．[0,4)‎ C. D. 解析：当a＝0时，命题p为真；当a≠0时，若命题p为真，则a＞0且Δ＝a2－‎4a＜0，即0＜a＜4.故命题p为真时，0≤a＜4.命题q为真时，Δ＝1－‎4a≥0，即a≤.命题p∧q为真命题时，p，q均为真命题，则实数a的取值范围是.‎ ‎10．(2019·聊城模拟)已知函数f(x)在R上单调递增，若∃x0∈R，f(|x0＋1|)≤f(log‎2a－|x0＋2|)，则实数a的取值范围是(　A　)‎ A．[2，＋∞) B．[4，＋∞)‎ C．[8，＋∞) D．(0,2]‎ 解析：∵函数f(x)在R上单调递增，‎ ‎∴∃x0∈R，f(|x0＋1|)≤f(log‎2a－|x0＋2|)，‎ 等价为∃x0∈R，|x0＋1|≤log‎2a－|x0＋2|成立，‎ 即|x＋1|＋|x＋2|≤log‎2a有解，‎ ‎∵|x＋1|＋|x＋2|≥|x＋2－x－1|＝1，‎ ‎∴log‎2a≥1，即a≥2.‎ ‎11．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：‎ ‎①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(綈p)∨(綈q)为假．‎ 其中，正确的是②__.(填序号)‎ 解析：命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．‎ ‎12．(2019·郑州质量预测)已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是　.‎ 解析：依题意知f(x)max≤g(x)max.‎ ‎∵f(x)＝x＋在上是减函数，‎ ‎∴f(x)max＝f＝.‎ 又g(x)＝2x＋a在[2,3]上是增函数，‎ ‎∴g(x)max＝8＋a，因此≤8＋a，则a≥.‎ ‎13．已知命题p：∀x∈R，不等式ax2＋2x＋1＜0解集为空集，命题q：f(x)＝(‎2a－5)x在R上满足f′(x)＜0，若命题p∧(綈q)是真命题，则实数a的取值范围是(　D　)‎ A. B．[3，＋∞)‎ C．[2,3] D.∪[3，＋∞)‎ 解析：命题p：∀x∈R，不等式ax2＋2x＋1＜0解集为空集，a＝0时，不满足题意．当a≠0时，必须满足：‎ 解得a≥2.‎ 命题q：f(x)＝(‎2a－5)x在R上满足f′(x)＜0，‎ 可得函数f(x)在R上单调递减，‎ ‎∴0＜‎2a－5＜1，解得＜a＜3.‎ ‎∵命题p∧(綈q)是真命题，‎ ‎∴p为真命题，q为假命题．‎ ‎∴解得2≤a≤或a≥3，‎ 则实数a的取值范围是[3，＋∞)∪.故选D.‎ ‎14．(2019·河北衡水中学联考)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，其中|MN|＝，记命题p：f(x)＝2sin，命题q：将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数y＝2sin的图象，则以下判断正确的是(　D　)‎ A．p∧q为真 B．p∨q为假 C．(綈p)∨q为真 D．p∧(綈q)为真 解析：由|MN|＝，可得 ＝，‎ 解得ω＝，因为f(0)＝1，‎ 所以sinφ＝.‎ 又φ∈，所以φ＝，‎ 所以f(x)＝2sin.‎ 故p为真命题．‎ 将f(x)图象上所有的点向右平移个单位，得到 f＝2sin的图象，‎ 故q为假命题．‎ 所以p∧q为假，p∨q为真，(綈p)∨q为假，p∧(綈q)为真，故选D.‎ ‎15．(2019·沈阳模拟)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，给出以下四个命题：‎ ‎①∀x∈(－1,1)，有f(－x)＝－f(x)；‎ ‎②∀x1，x2∈(－1,1)且x1≠x2，有＞0；‎ ‎③∀x1，x2∈(0,1)，有f≤；‎ ‎④∀x∈(－1,1)，|f(x)|≥2|x|.‎ 其中所有真命题的序号是(　D　)‎ A．①② B．③④‎ C．①②③ D．①②③④‎ 解析：对于①，∵f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，且其定义域为(－1,1)，∴f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－[ln(1＋x)－ln(1－x)]＝－f(x)，即∀x∈(－1,1)，有f(－x)＝－f(x)，故①是真命题；‎ 对于②，∵x∈(－1,1)，由f′(x)＝＋＝≥2＞0，可知f(x)在区间(－1,1)上单调递增，即∀x1，x2∈(－1,1)且x1≠x2，有＞0，故②是真命题；‎ 对于③，∵f′(x)＝在(0,1)上单调递增，‎ ‎∴∀x1，x2∈(0,1)，有f≤，‎ 故③是真命题；‎ 对于④，设g(x)＝f(x)－2x，‎ 则当x∈(0,1)时，g′(x)＝f′(x)－2≥0，‎ ‎∴g(x)在(0,1)上单调递增，‎ ‎∴当x∈(0,1)时，g(x)＞g(0)，即f(x)＞2x，由奇函数性质可知，∀x∈(－1,1)，|f(x)|≥2|x|，故④是真命题，故选D.‎ ‎16．已知命题p：∃x0∈R，ex0－mx0＝0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是[0,2]__．‎ 解析：若p∨(綈q)为假命题，则p假q真．‎ 由ex－mx＝0，可得m＝，x≠0，‎ 设f(x)＝，x≠0，则f′(x)＝＝，‎ 当x＞1时，f′(x)＞0，函数f(x)＝在(1，＋∞)上是单调递增函数；‎ 当0＜x＜1或x＜0时，f′(x)＜0，函数f(x)＝在(0,1)和(－∞‎ ‎，0)上是单调递减函数，所以当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝e，所以函数f(x)＝的值域是(－∞，0)∪[e，＋∞)，由p是假命题，可得0≤m＜e.‎ 当命题q为真命题时，有Δ＝m2－4≤0，即－2≤m≤2.‎ 所以当p∨(綈q)为假命题时，m的取值范围是0≤m≤2.‎