【数学】2020届一轮复习（理）江苏专版5-3平面向量的数量积及其应用作业 7页

课时跟踪检测（二十七） 平面向量的数量积及其应用 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．(2019·海门模拟)向量 a＝(3,4)在向量 b＝(1，－1)方向上的投影为________． 解析：∵向量 a＝(3,4)，b＝(1，－1)， ∴向量 a 在向量 b 方向上的投影为 |a|cos θ＝a·b |b| ＝3×1＋4×－1 12＋－12 ＝－ 2 2 . 答案：－ 2 2 2．(2018·江苏百校联盟联考)已知平面向量 a，b 的夹角为2π 3 ，且 a·(a－b)＝8，|a|＝2， 则|b|＝________. 解析：因为 a·(a－b)＝8，所以 a·a－a·b＝8， 即|a|2－|a||b|cos a，b ＝8， 所以 4＋2|b|×1 2 ＝8，解得|b|＝4. 答案：4 3．(2018·苏州期末)已知 a＝(m,2)，b＝(1，n)，m＞0，n＞0，且|a|＝4，|b|＝2，则向量 a 与 b 的夹角是________． 解析：设向量 a 与 b 的夹角是θ，θ∈[0，π]， ∵a＝(m,2)，b＝(1，n)，m＞0，n＞0，且|a|＝4，|b|＝2， ∴m2＋4＝16,1＋n2＝4，解得 m＝2 3，n＝ 3. ∴a·b＝m＋2n＝4 3＝4×2×cos θ， ∴cos θ＝ 3 2 ，则向量 a 与 b 的夹角是π 6. 答案：π 6 4．(2018·滨海期末)已知向量 a＝(－1,3)，b＝(3，t)，若 a⊥b，则|2a＋b|＝________. 解析：∵向量 a＝(－1,3)，b＝(3，t)，a⊥b， ∴a·b＝－3＋3t＝0，解得 t＝1， ∴b＝(3,1)，2a＋b＝(1,7)， 故|2a＋b|＝ 1＋49＝5 2. 答案：5 2 5．(2018·淮安高三期中)在平行四边形 ABCD 中，AB＝2，AD＝1，∠ABC＝60°，则 AB―→· AC―→＝________. 解析：由题意得 AC―→＝ AB―→＋ AD―→，所以 AB―→ · AC―→＝ AB―→ ·( AB―→＋ AD―→ )＝ AB―→ 2 ＋ AB―→ · AD―→＝4＋2×1×cos 120°＝3. 答案：3 6．(2018·南通一调)已知边长为 6 的正三角形 ABC， BD―→＝1 2 BC―→， AE―→＝1 3 AC―→，AD 与 BE 交于点 P，则 PB―→ · PD―→的值为________． 解析：如图，以 D 为原点，以 BC 为 x 轴，AD 为 y 轴，建立平面 直角坐标系，则 B(－3,0)，C(3,0)，D(0,0)，A(0，3 3)，E(1, 2 3)， P 0，3 3 2 ，所以 PB―→· PD―→＝| PD―→|2＝ 3 3 2 2＝27 4 . 答案：27 4 二保高考，全练题型做到高考达标 1．(2018·淮安调研)已知向量 a＝(1，x)，b＝(－1，x)，若 2a－b 与 b 垂直，则|a|＝________. 解析：由已知得 2a－b＝(3，x)，而(2a－b)·b＝0⇒－3＋x2＝0⇒x2＝3，所以|a|＝ 1＋x2 ＝ 4＝2. 答案：2 2．(2019·如皋模拟)已知平面向量 a 与 b 的夹角为 60°， a＝(3,4)，|b|＝1，则|a－2b|＝ ________. 解析：∵a＝(3,4)，∴|a|＝ 32＋42＝5， 又|b|＝1，∴a·b ＝|a|·|b|cos 60°＝5×1×1 2 ＝5 2 ， ∴|a－2b|2＝a2＋4b2－4a·b＝25＋4－10＝19， 则|a－2b|＝ 19. 答案： 19 3．(2018·苏北四市期末)已知非零向量 a，b 满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则 a 与 2a－b 夹角的 余弦值为________． 解析：因为非零向量 a，b 满足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以 a2＝b2＝a2＋2a·b＋b2，a·b＝－1 2 a2 ＝－1 2 b2，所以 a·(2a－b)＝2a2－a·b＝5 2 a2，|2a－b|＝ 2a－b2＝ 5a2－4 a·b＝ 7|a|，cos〈a,2a －b〉＝a·2a－b |a|·|2a－b| ＝ 5 2 a2 |a|· 7|a| ＝ 5 2 7 ＝5 7 14 . 答案：5 7 14 4．(2018·泰州中学高三学情调研)矩形 ABCD 中，P 为矩形 ABCD 所在平面内一点，且 满足 PA＝3，PC＝4，矩形对角线 AC＝6，则 PB―→ · PD―→＝________. 解析：由题意可得 PB―→ · PD―→＝( PA―→＋ AB―→ )·( PA―→＋ AD―→ )＝ PA―→2＋ PA―→ · AD―→＋ AB―→ · PA―→ ＋ AB―→ · AD―→＝9＋ PA―→ ·( AD―→＋ AB―→ )＋0＝9＋ PA―→ · AC―→＝9＋3×6×cos(π－∠PAC)＝9－ 18×PA2＋AC2－PC2 2×PA×AC ＝9－18×9＋36－16 2×3×6 ＝－11 2 . 答案：－11 2 5．(2018·苏锡常镇调研)已知菱形 ABCD 边长为 2，∠B＝π 3 ，点 P 满足 AP―→＝λ AB―→，λ ∈R，若 BD―→· CP―→＝－3，则λ＝________. 解析：法一：由题意可得 BA―→ · BC―→＝2×2cos π 3 ＝2， BD―→ · CP―→＝( BA―→＋ BC―→ ) ·( BP―→－ BC―→ ) ＝( BA―→＋ BC―→ )·[( AP―→－ AB―→ )－ BC―→ ] ＝( BA―→＋ BC―→ )·[(λ－1)· AB―→－ BC―→ ] ＝(1－λ) BA―→2－ BA―→ · BC―→＋(1－λ) BA―→ · BC―→－ BC―→2 ＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4 ＝－6λ＝－3， 所以λ＝1 2. 法二：建立如图所示的平面直角坐标系， 则 B(2,0)，C(1， 3)，D(－1， 3)． 令 P(x,0)，由 BD―→ · CP―→＝(－3， 3)·(x－1，－ 3)＝－3x＋3－3 ＝－3x＝－3 得 x＝1. 因为 AP―→＝λ AB―→，所以λ＝1 2. 答案：1 2 6．(2018·苏北四市调研)如图，在平面四边形 ABCD 中，O 为 BD 的中点，且 OA＝3，OC＝5.若 AB―→ · AD―→＝－7，则 BC―→ · DC―→＝________. 解析： BC―→ · DC―→＝( OC―→－ OB―→ )·( OC―→－ OD―→ )＝( OC―→＋ OD―→ )·( OC―→－ OD―→ )＝ OC―→2－ OD―→2，同理， AB―→ · AD―→＝ AO―→2－ OD―→2＝－7，所以 BC―→ · DC―→＝ OC―→2－ OD―→2＝ OC―→2－ AO―→2 －7＝9. 答案：9 7．(2019·崇川一模)若非零向量 a 与 b 满足|a|＝|a ＋b|＝2，|b|＝1，则向量 a 与 b 夹角 的余弦值为________． 解析：∵非零向量 a 与 b 满足|a|＝|a＋b|＝2，|b|＝1， ∴|a|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b， 即 a·b＝－1 2|b|2＝－1 2 ×12＝－1 2 ， 设 a 与 b 的夹角为θ， 则 cos θ＝ a·b |a||b| ＝ －1 2 2×1 ＝－1 4 ， ∴向量 a 与 b 夹角的余弦值为－1 4. 答案：－1 4 8．(2018·盐城期中)如图，在四边形 ABCD 中，A＝π 3 ，AB＝2，AD＝3， 分别延长 CB，CD 至点 E，F，使得 CE―→＝λ CB―→， CF―→＝λ CD―→，其中λ＞0， 若 EF―→· AD―→＝15，则λ的值为________． 解析：∵ EF―→＝ CF―→－ CE―→＝λ CD―→－λ CB―→＝λ BD―→＝λ( AD―→－ AB―→ )， ∴ EF―→ · AD―→＝λ( AD―→－ AB―→ )· AD―→＝λ( AD―→2－ AB―→ · AD―→ )＝λ(9－3)＝15， ∴λ＝5 2. 答案：5 2 9．(2019·通州调研)设两个向量 a，b 不共线． (1)若 AB―→＝a＋b， BC―→＝2a＋8b， CD―→＝3(a－b)，求证：A，B，D 三点共线； (2)若|a|＝2，|b|＝3，a，b 的夹角为 60°，求使向量 ka＋b 与 a＋kb 垂直的实数 k 的值． 解：(1)证明：∵ AD―→＝ AB―→＋ BC―→＋ CD―→ ＝(a＋b)＋(2a＋8b)＋3(a－b) ＝6(a＋b)＝6 AB―→， ∴ AD―→与 AB―→共线，且有公共点 A， ∴A，B，D 三点共线． (2)∵ka＋b 与 a＋kb 垂直， ∴(ka＋b)·(a＋kb)＝0， ∴ka2＋(k2＋1)|a||b|·cos 60°＋kb2＝0， 即 3k2＋13k＋3＝0， 解得 k＝－13± 133 6 . 10．在四边形 ABCD 中，已知 AB＝9，BC＝6， CP―→＝2 PD―→. (1)若四边形 ABCD 是矩形，求 AP―→ · BP―→的值； (2)若四边形 ABCD 是平行四边形，且 AP―→ · BP―→＝6，求 AB―→与 AD―→夹角的余弦值． 解：(1)因为四边形 ABCD 是矩形， 所以 AB―→⊥ AD―→，即 AB―→ · AD―→＝0， 又 AB＝9，BC＝6， CP―→＝2 PD―→， 所以 AP―→＝ AD―→＋ DP―→＝ AD―→＋1 3 AB―→， BP―→＝ BC―→＋ CP―→＝ AD―→－2 3 AB―→， 所以 AP―→ · BP―→＝ AD―→＋1 3 AB―→ · AD―→－2 3 AB―→ ＝ AD―→2－1 3 AB―→ · AD―→－2 9 AB―→2 ＝62－2 9 ×92＝18. (2)设 AB―→与 AD―→的夹角为θ，由(1)得， AP―→· BP―→＝ AD―→＋1 3 AB―→ · AD―→－2 3 AB―→ ＝ AD―→2－1 3 AB―→ · AD―→－2 9 AB―→2 ＝62－ 1 3 ×9×6×cos θ－2 9 ×92＝6， 所以 cos θ＝2 3. 故 AB―→与 AD―→夹角的余弦值为2 3. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．(2018·徐州高三年级期中考试)如图，在半径为 2 的扇形 AOB 中，∠AOB＝90°，P 为AB 上的一点，若 OP―→· OA―→＝2，则 OP―→· AB―→＝________. 解析：如图，以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴，OB 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A(2,0)，B(0,2)，设 P(x，y)，由 OP―→ · OA―→＝ 2，可得 2x＝2，x＝1，P 为 A B 上的一点，所以| OP―→ |＝2，所以 P(1， 3)， OP―→＝(1， 3)，又 AB―→＝(－2,2)，所以 OP―→· AB―→＝－2＋2 3. 答案：－2＋2 3 2．(2018·南通、扬州、泰州、淮安调研)如图，已知△ABC 的边 BC 的垂直平分线交 AC 于点 P，交 BC 于点 Q.若| AB―→|＝3，| AC―→|＝5，则( AP―→ ＋ AQ―→ )·( AB―→－ AC―→ )的值为________． 解析：法一：因为 AP―→＝ AQ―→＋ QP―→，所以 AP―→＋ AQ―→＝2 AQ―→＋ QP―→， 而 AB―→－ AC―→＝ CB―→，由于 QP―→⊥ CB―→，所以 QP―→· CB―→ ＝0，所以( AP―→＋ AQ―→)·( AB―→－ AC―→) ＝(2 AQ―→＋ QP―→ )· CB―→＝2 AQ―→ · CB―→，又因为 Q 是 BC 的中点，所以 2 AQ―→＝ AB―→＋ AC―→，故 2 AQ―→ · CB―→＝( AB―→＋ AC―→ )·( AB―→－ AC―→ )＝ AB―→2－ AC―→2＝9－25＝－16. 法二：由题意得△ABC 是不确定的，而最后的结果是唯一的，因此取 AB⊥BC，从而 P 为 AC 的中点． 又| AB―→|＝3，| AC―→|＝5，所以| BC―→|＝4，cos∠BAC＝3 5 ， 故 AP―→＋ AQ―→＝1 2 AC―→＋1 2( AB―→＋ AC―→)＝1 2 AB―→＋ AC―→， 从而( AP―→＋ AQ―→ )·( AB―→－ AC―→ ) ＝ 1 2 AB―→＋ AC―→ ·( AB―→－ AC―→ ) ＝1 2 AB―→2＋1 2 AB―→ · AC―→－ AC―→2 ＝1 2 ×9＋1 2 ×3×5×3 5 －25＝－16. 答案：－16 3．(2019·姜堰中学调研)在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量 m ＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且 m·n＝3 5. (1)求 sin A 的值； (2)若 a＝4 2，b＝5，AD⊥BC 于 D，求 BA―→ · AD―→的值． 解：(1) 由 m·n＝3 5 ，得 cos(A－B)cos B－sin(A－B)·sin B＝3 5 ，所以 cos A＝3 5. 因为 0＜A＜π 2 ， 所以 sin A＝ 1－cos2 A＝4 5. (2)由正弦定理，得 a sin A ＝ b sin B ， 则 sin B＝bsin A a ＝ 5×4 5 4 2 ＝ 2 2 . 因为 0＜B＜π 2 ，所以 B＝π 4 ， 所以 sin C＝sin(A＋B)＝ 2 2 (sin A＋cos A)＝7 2 10 . 又| AD―→ |＝| AC―→ |sin C＝5×7 2 10 ＝7 2 2 ， 所以 BA―→ · AD―→＝( BD―→＋ DA―→ )· AD―→＝－ AD―→2＝－| AD―→ |2＝－49 2 .