2018-2019学年贵州省安顺市普通高中高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版） 20页

2018-2019 学年贵州省安顺市普通高中高二上学期期末考试 数学（理）试题 一、单选题 1．抛物线 y＝ax2（a≠0）的焦点坐标是（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得焦点坐标． 【详解】 当 时， 整理抛物线方程得 ， 焦点坐标为 ． 抛物线 的焦点坐标为： ． 故选： 【点睛】 本题主要考查了抛物线的标准方程、抛物线的性质．属容易题． 2．盛唐著名边塞诗人王昌龄在其作品《从军行》中写道：青海长云暗雪山，孤城遥望 玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还．其最后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的 （　 　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】 “攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”， 由充分条件和必要条件的定义判断可得“攻破楼兰”是“返回家乡”必要不充分条件， 故选： 【点睛】 04 a    ， 04 a −  ， 10 4a     ， 10 4a  −  ， 0a ≠ 2 1x ya = 1 2p a = ∴ 1(0, )4a 2 ( 0)y ax a= ≠ 1(0, )4a C B 本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于容易题． 3．若 90°＜θ＜180°，曲线 x2﹣y2cosθ＝1 表示（　　 ） A．焦点在 x 轴上的双曲线 B．焦点在 y 轴上的双曲线 C．焦点在 x 轴上的椭圆 D．焦点在 y 轴上的椭圆 【答案】D 【解析】求出 值的范围，把曲线化为标准形式 ，判断曲线的形 状． 【详解】 若 ，则 ， 曲线 即 ， ， 表示焦点坐标在 轴上的椭圆． 故选： 【点睛】 本题考查了椭圆的标准方程的特征，余弦函数的值域，属于容易题． 4．总体由编号为 00，01，02，…48，49 的 50 个个体组成．利用下面的随机数表选取 8 个个体，选取方法是从随机数表第 6 行的第 9 列和第 10 列数字开始由左到右依次选取 两个数字，则选出来的第 8 个个体的编号为（　 　） 附：第 6 行至第 9 行的随机数表： A．16 B．19 C．20 D．38 【答案】B 【解析】从随机数表第 6 行的第 9 列和第 10 列数字开始由左到右依次选取两个数字， 符合条件依次为：33，16，20，38，49，32，11，19，故可得结论. 【详解】 从随机数表第 6 行的第 9 列和第 10 列数字开始由左到右依次选取两个数字，符合条件 cosθ 2 2 11 cos yx θ + = − 90 180θ° < < ° 1 cos 0θ− < < 2 2 cos 1x y θ− = 2 2 11 cos yx θ + = − 1 1cosθ >− 2 2 11 cos yx θ ∴ + = − y D 依次为：33，16，20，38，49，32，11，19,故第 8 个数为 19． 故选： 【点睛】 本题主要考查了简单随机抽样，简单随机抽样的随机数表法，属于容易题． 5．为积极支持和配合安顺市申报全国文明城市，全市中小学校开展了《扣好人生第一 粒扣子》系列主题团课，某县文明办要从 2018 名学生中抽取 50 名开展相关问卷调 查．先用简单随机抽样从 2018 人中剔除 18 人，剩下的 2000 人再按系统抽样方法抽取 50 人，则在 2018 人中，每个人被抽取的可能性（　 　） A．不全相等 B．均不相等 C．都相等，且为 D．都相等，且为 【答案】C 【解析】根据抽样的定义直接进行计算即可． 【详解】 抽样中，每个个体被抽到的概率都是相同的，即 ， 故选： 【点睛】 本题主要考查了抽样的应用，结合抽样的定义是解决本题的关键．属于容易题． 6．如果执行图（如图）的程序框图，那么输出的 （ ） A．22 B．46 C．190 D．94 【答案】D 【解析】分析：现根据已知循环条件和循环体判定循环次数，然后根据运行的 的值找 出计算规律，从而得出所求的输出结果. B 25 1009 1 40 50 25 2018 1009 = C S = s 详解：根据题意可知该循环体运行 次， 第一次： ； 第二次： ； 第三次： ； 第四次： ； 第五次： ，此时终止循环，输出结果 ，故选 D. 点睛：解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结 构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执 行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的 条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错. 7．如图的折线图是某公司 2018 年 1 月至 12 月份的收入与支出数据，若从 6 月至 11 月 这 6 个月中任意选 2 个月的数据进行分析，则这 2 个月的利润（利润＝收入﹣支出）都 不高于 40 万的概率为（ 　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】从 7 月至 12 月这 6 个月中任意选 2 个月的数据进行分析，基本事件总数 ，由折线图得 6 月至 11 月这 6 个月中利润（利润 收入 支出）低于 40 万的有 6 月，9 月，10 月，由此即可得到所求． 【详解】 如图的折线图是某公司 2017 年 1 月至 12 月份的收入与支出数据， 从 6 月至 11 月这 6 个月中任意选 2 个月的数据进行分析， 基本事件总数 ， 由折线图得 6 月至 11 月这 6 个月中利润（利润 收入 支出）不高于 40 万的有 6 月， 8 月，9 月，10 月， 5 2, 4i s= = 3, 10i s= = 4, 22i s= = 5, 46i s= = 6, 94i s= = 94 1 5 2 5 3 5 4 5 2 6 15n C= = = − 2 6 15n C= = = − 这 2 个月的利润（利润 收入 支出）都不高于 40 万包含的基本事件个数 ， 这 2 个月的利润（利润 收入 支出）都低于 40 万的概率为 ， 故选： 【点睛】 本题主要考查了古典概型，考查了运算求解能力，属于中档题． 8．在正三棱柱 中，侧棱长为 ，底面三角形的边长为 1，则 与侧 面 所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，取AC 的中点 O，连结 ，求得 是 与侧面 所成的角，在 中，即可求解． 【详解】 由题意，取 AC 的中点 O，连结 , 因为正三棱柱 中，侧棱长为 ，底面三角形的边长为 1， 所以 ， 因为 ，所以 平面 ， 所以 是 与侧面 所成的角， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 与侧面 所成的角 ． ∴ = − 2 4 6m C= = ∴ = − 6 2 15 5 mP n = = = B 1 1 1ABC A B C− 2 1BC 1ACC A 30 45 60 90 1,BO C O 1BC O∠ 1BC 1 1ACC A 1BC O∆ 1,BO C O 1 1 1ABC A B C− 2 1,BO AC BO AA⊥ ⊥ 1AC AA A∩ = BO ⊥ 1 1ACC A 1BC O∠ 1BC 1 1ACC A 2 2 2 1 1 3 1 31 ( ) , ( 2) ( )2 2 2 2BO C O= − = = + = 1 1 3 32tan 3 3 2 BOBC O OC ∠ = = = 0 1 30BC O∠ = 1BC 1 1ACC A 030 【点睛】 本题主要考查了直线与平面所成的角的求解，其中解答中空间几何体的线面位置关系， 得到 是 与侧面 所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能 力，以及转化与化归思想，属于中档试题． 9．过点 M（﹣4，0）的直线 l 与椭圆 x2+4y2＝8 交于点 P1，P2 的两点，设线段 P1P2 的 中点为 P．若直线 l 的斜率为 k1（k1≠0），直线 OP 的斜率为 k2，则 k1k2 等于（　 　） A．﹣2 B．﹣4 C． D． 【答案】D 【解析】设直线 的方程与椭圆联立得到关于 的二次方程，得两根之和，再代入直线 求出横坐标，即写出中点坐标，进而求出斜率，求出两个斜率之积的值． 【详解】 由题意得直线 的斜率不为零，所以设直线 的方程： ，且 ， 设 ， ， 联立椭圆方程整理得： ， ， ， 所以中点 的坐标 ， ， 所以 ， 所以 ， 故选： 【点睛】 本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，中点的坐标公式，斜率公式，属于中档题． 1BC O∠ 1BC 1 1ACC A 1 2 − 1 4 − l y l l 4x my= − 1 1k m = 1( , )P x y 2 ( , )P x y′ ′ 2 2(4 ) 8 8 0m y my+ − + = 2 8 4 my y m ′∴ + = + 2 32( ) 8 4x x m y y m −′ ′+ = + − = + P 2 16(4 m − + 2 4 )4 m m+ 2 2 2 4 4 16 4 4 m mmk m += = −− + 1 2 1 1( )4 4 mk k m = − = − D 10．已知实数 a 满足 1＜a＜2，命题 p：函数 y＝loga（2﹣ax）在区间[0，1]上是减函数； 命题 q：|x+1|＜1 是 x＜a 的充分不必要条件．则（　　 ） A．“￢p 或￢q”为真命题 B．“p 且 q”为假命题 C．“￢p 且 q”为真命题 D．“p 或 q”为真命题 【答案】D 【解析】先利用已知 的范围，判断命题 ， 的真假性，再利用复合命题的真假性来 判断即可． 【详解】 当 时， 函数 的单调减区间为 ； ； 函数 在区间 ， 上是减函数成立，即命题 为真命题； ， ； 是 的充分不必要条件成立，即命题 为真命题； “ 或 ”为假命题，“ 且 ”为真命题，“ 且 ”为假命题，“ 或 ”为真命题； 故选： 【点睛】 本题主要考查了复合命题的真假性，考查了学生的分析能力，计算能力，属于中档 题． 11．已知 分别是双曲线 的左、右焦点，过点 与双曲 线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点 ，若点 在以线段 为 直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线方程为 y= （x+c），与 联立，可得交点坐标为 P ∵F1（-c，0），F2（c，0）， ,由题意可得 a p q 1 2a< <  log (2 )ay ax= − 2( , )a −∞  2 1a ∴ log (2 )ay ax= − [0 1] p | 1| 1x + < 2 0x∴− < < | 1| 1x∴ + < x a< q ∴ p¬ q¬ p q p¬ q p q D 1 2,F F ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 1F P P 1 2F F ( )1,2 ( )1, 3 ( )3,2 ( )2,+¥ b a by xa −= ,2 2 c bc a  −   1 2 3, , ,2 2 2 2 c bc c bcPF PFa a    ∴ = − − = −         即 化简可得 b2＜3a2，即 c2-a2＜3a2，故可得 c2＜4a2，c＜ 2a，可得 e= ∵e＞1，∴1＜e＜2 故选 A． 点睛：本题把点在圆内，转化为向量数量积小于 0，所以先计算出点的坐标，从而得出 向量坐标是关键. 12．已知 F1，F2 分别为椭圆的 y2＝1 的左，右焦点，点 A，B 在椭圆上，若 5 ，则点 A 的坐标可以是（　 　） A．（1， ） B．（ ，0） C．（0，﹣1） D．（ ， ） 【答案】C 【解析】由椭圆方程可知 ， ， ， ，设 ， ，根据 ， 可得 ，分别代入椭圆方程即可得出． 【详解】 由 y2＝1 知 ， ， ， ， ， 设 ， ， ， ， ， ， ． 解得 ， ． ． 故选： 【点睛】 本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题． 1 2 0PF PF⋅ <  2 2 2 2 3 04 4 b c c a − < 2c a < 2 3 x + 1F A = 2F B 6 3 3− 2 3 3 1( 2F − 0) 2 ( 2F 0) 1(B x 1)y 1 25F A F B=  1 25OA OF F B= +   2 3 x + 2 2 2 3 1 2c a b= − = − = 1( 2F∴ − 0) 2 ( 2F 0) 1(B x 1)y  1 25F A F B=  ∴ 1 2 15 (5 6 2OA OF F B x= + = −   15 )y ∴ 2 21 1 13 x y+ = 2 21 1 (5 6 2) (5 ) 13 x y − + = 1 6 2 5x = 1 1 5y = − (0, 1)A∴ − C 二、填空题 13．命题“∀x∈[ ， ]，tanx≤m”是真命题，则实数 m 的最小值为_____． 【答案】 ． 【解析】将条件“ ， ， ”转化为“ ， 时， ”，再 利用 在 ， 的单调性求出 的最大值即可． 【详解】 “ ， ， ”是真命题， ， 时， ， 在 ， 的单调递增， 时， 取得最大值为 ， ，即 的最小值为 ． 故答案为： 【点睛】 本题主要考查了转化思想，将恒成立问题转化为最值问题，再通过正切函数的单调性求 出函数的最值即可，属于中档题． 14．有下列四个命题： ①“若 a2+b2＝0，则 a，b 全为 0”的逆否命题是“若 a，b 全不为 0，则 a2+b2≠0” ②若事件 A 与事件 B 互斥，则 P（A∪B）＝P（A）+P（B）； ③在△ABC 中，“A＜B”是“sinA＜sinB”成立的充要条件； ④若 α、β 是两个相交平面，直线 m⊂α，则在平面 β 内，一定存在与直线 m 平行的直 线． 上述命题中，其中真命题的序号是_____． 【答案】②③． 【解析】写出原命题的逆否命题，可判断①；通过 与 互斥，判断 （A） （B）的正误；由三角形中的边角关系、正弦定理及充分必要条件判定方法判 断③；由直线 为两平面的交线时，结论成立，可判断④． 【详解】 对于①，“ ，则 ， 全为 0”的逆否命题是“若 ， 不全为 0，则 4 π 3 π 3 [ 4x π∀ ∈ ]3 π tan x m [ 4x π∈ ]3 π (tan )maxm x tany x= [ 4 π ]3 π tan x  [ 4x π∀ ∈ ]3 π tan x m [ 4x π∴ ∈ ]3 π (tan )maxm x tany x= [ 4 π ]3 π 3x π∴ = tan x 3 3m∴  m 3 3 A B ( )P A B P= P+ m 2 2 0a b+ = a b a b ”，故①错误； 对于②，满足互斥事件的概率求和的方法，所以②为真命题； 对于③，在 中， ， 命题“在 中， 是 成立的充要条件，故③正确； 对于④，若直线 ，当直线 为两平面的交线时，在平面 内，一定存在与直线 平行的直线，故④不正确； 故答案为：②③ 【点睛】 本题主要考查了命题的真假判断与应用，涉及互斥事件与对立事件，四种命题的逆否关 系，以及概率的性质．充分必要条件的判定方法，考查空间线线和线面、面面的位置关 系，属于中档题． 15．已知△ABC 的两边 AB＝4，AC＝7，D 点为边 BC 上一点，且 AD 平分∠BAC，现 随机将一粒豆子撒在△ABC 内，则豆子落在△ABD 内的概率是_____． 【答案】 ． 【解析】由角平分线性质得出线段的比，高相同，得出面积之比，进而得概率． 【详解】 ， ， 点为边 上一点，且 平分 ； 由内角平分线性质可得： ； ． 所以根据几何概型可知，豆子落在△ABD 内的概率 . 故答案为： 【点睛】 本题主要考查了几何概型，将基本事件“几何化”，实际问题转化为数学问题，属于中档 题． 16．如图，设椭圆 1 的左右焦点分别为 F1、F2，过焦点 F1 的直线交椭圆于 2 2 0a b+ ≠ ABC∆ sin sina b A B A B< ⇔ < ⇔ < ∴ ABC∆ A B< sin sinA B< m α⊂ m β m 4 11 4AB = 7AC = D BC AD BAC∠ AB BD AC DC = ⇒ 4 7 BD DC = ⇒ 4 11 BD BC = ∴ 4 11 ADB ABC S S ∆ ∆ = 4 11 ADB ABC S SP ∆ ∆ == 4 11 2 2 16 4 x y+ = A、B 两点，若△ABF2 的内切圆的面积为 4，设 A、B 两点的坐标分别为 A（x1，y1），B （x2，y2），则|y1﹣y2|值为_____． 【答案】 ． 【解析】根据椭圆方程求得 、 的值，从而得到椭圆的焦点坐标．利用椭圆的定义算 出 的周长为 16，由圆面积公式求得 的内切圆半径 ，从而算出 的面积．最后根据 的形状，算出其面积 ，由此建立关系式并解之，即可得出 的值． 【详解】 ∵椭圆中，a2＝16 且 b2＝4， ∴a＝4，b＝2，c 2 ， 可得椭圆的焦点分别为 F1（﹣2 ，0）、F2（2 ，0）， 设△ABF2 的内切圆半径为 r， ∵△ABF2 的内切圆面积为 S＝πr2＝4，∴r ， 根据椭圆的定义，得|AB|+|AF2|+|BF2|＝（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）＝4a＝16． 8 3 3 π π a c 2ABF∆ 2ABF∆ 2r π π= 2ABF∆ 2ABF∆ 1 2 1 2 2 12 3 | |AF F BF FS S S y y= + = −   2 1| |y y− 16 4= − = 3 3 3 2 π π= ∴△ABF2 的面积 S （|AB|+|AF2|+|BF2|）×r 16 ， 又∵△ABF2 的面积 S＝S△AF1F2+S△BF1F2 |y1|×|F1F2| |y2|×|F1F2| （|y1|+|y2|）×|F1F2|＝2 |y2﹣y1|（A、B 在 x 轴的两侧）， ∴2 |y2﹣y1| ，解之得|y2﹣y1| ． 【点睛】 本题主要考查了直线与椭圆的位置关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题． 三、解答题 17．（1）已知动点 P 与两定点 F1（﹣1，0）、F2（1，0）的连线的斜率之积为 ，求 动点 P 的轨迹方程． （2）已知双曲线的渐近线方程为 y＝± x，且与椭圆 1 有公共焦点，求此双 曲线的标准方程． 【答案】(1) （x≠±1）；(2) ． 【解析】（1）设 为所求轨迹上任意一点，由已知列式，化简得答案；（2）依题 意设所求切线方程为 ，由椭圆方程求得 ，再由渐近线方程可得 ，结合隐含条件求得 ， 的值，则双曲线的标准方程可求． 【详解】 （1）设 P（x，y）为所求轨迹上任意一点，依题意， 有 （x≠±1）， 即 （x≠±1）． ∴动点 P 的轨迹方程为 （x≠±1）； 1 2 = 1 2 = × 2 16π π π π× = 1 2 = × 1 2 + × 1 2 = × 3 3 16 π π= 8 3 3 π π= 5 9 − 1 2 2 2 8 3 x y+ = 2 2 15 9 yx + = 2 2 14 x y− = ( , )P x y 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > c b a a b 1 2 5 1 1 9PF PF y yk k x x ⋅ = ⋅ = −+ − 2 2 15 9 yx + = 2 2 15 9 yx + = （2）依题意设所求切线方程为 （a＞0，b＞0）． ∵椭圆 1 的焦点坐标为（ ，0）和（ ）， ∴双曲线的半焦距为 c ， 又由题意知， ，即 a2＝4b2， 由 a2+b2＝c2＝5，得 a2＝4，b2＝1． ∴所求双曲线的标准方程为 ． 【点睛】 本题主要考查了轨迹方程的求法，考查椭圆与双曲线的简单性质，属于中档题． 18．命题 p：函数 f（x）＝x2﹣kx+2 在（﹣∞，1]上是减函数；命题 q：不等式 kx2+kx+1 ＞0 的解集为 R；若命题 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，求实数 k 的取值范围． 【答案】0≤k＜2 或 k≥4． 【解析】先假设 ， 均为真命题求出其范围，在利用 为真， 为假分类讨论 即可求解． 【详解】 若命题 p 为真命题，则对称轴 ，即 k≥2； 若命题 q 为真命题，①当 k＝0 时，命题显然成立； ②当 k≠0 时，欲使不等式成立，则 ，即：0＜k＜4； ∴若命题 q 为真命题，则 0≤k＜4； ∵命题 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题， ∴①当 p 真 q 假，则 ，即 k≥4； ②当 p 假 q 真，则 ，即 0≤k＜2； 综上所述：0≤k＜2 或 k≥4． 【点睛】 本题主要考查了复合命题的真假，考查学生的分析能力，计算能力，属于中档题． 19．棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E，F 分别是 DD1，DB 的中点，G 在棱 CD 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 8 3 x y+ = 5− 5 0， 5= 1 2 b a = 2 2 14 x y− = p q p q∨ p q∧ 12 k ≥ 2 0 4 0 k k k   − ＞ ＜ 2 0 4 k k k ≥  ≥ ＜ 或 2 0 4 k k   ≤ ＜ ＜ 上，且 CG CD． （1）证明：EF⊥B1C； （2）求 cos ， ． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）可分别以 ， ， 为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，从而 得出 ，0， ， ，1， ， ，2， ， ，2， ， ，2， ，进而 可求出 的坐标，只需求出 即可； （2）根据 即可求出点 的坐标，从而得出向量 的坐标，根据 即可求出 的值． 【详解】 分别以三直线 DA，DC，DD1 为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则：E（0，0，1），F（1，1，0），B1（2，2，2），C（0，2，0），C1（0，2，2）， （1）证明：∵ ， ∴ ， 1 3 = EF＜ 1C G＞ 30 15 DA DC 1DD x y z (0E 1) (1F 0) 1(2B 2) (0C 0) 1(0C 2) 1,EF B C  1 0EF B C⋅ =  1 3CG CD= G 1C G 1 1 1 cos , | || | EF C GEF C G EF C G ⋅< >=      1cos ,EF C G< >  ( ) ( )111 1 2 0 2EF B C= − = − − ，， ， ，， 1 2 0 2 0EF B C⋅ = − + + =  ∴ ， ∴EF⊥B1C； （2）∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ． 【点睛】 本题主要考查了利用坐标解决向量问题和线线垂直问题的方法，向量夹角的余弦公式， 向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于中档题． 20．某校高二奥赛班 N 名学生的物理测评成绩分布直方图如下，已知分数在 100～110 的学生数有 21 人。 （Ⅰ）求总人数 N 和分数在 110～115 分的人数 n; （Ⅱ）现准备从分数在 110～115 分的 n 名学生（女生占 ）中任选 2 人，求其中恰好 含有一名女生的概率； （Ⅲ）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，对他前 7 次考试的数学成绩 x，物理成绩 y 进行分析，下面是该生 7 次考试的成绩。 数学 88 83 117 92 108 100 112 物理 94 91 108 96 104 101 106 1EF B C⊥  1 3CG CD= 40 03G    ，， 1 20 23C G  = − −    ， ， 1 2 40 23 3EF C G⋅ = − + =  1 2 103 3EF C G= = ， 1 1 1 4 303 152 103 3 EF C Gcos EF C G EF C G ⋅= = = ×     ＜ ， ＞ 1 3 已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的，若该生的数学成绩达到 130 分，请 你估计他的物理成绩大约是多少？ 附：对于一组数据 其回归线 的斜率和截距的最 小二乘估计分别为 ． 【答案】（Ⅰ）6;（Ⅱ） ;（Ⅲ）115 分 【解析】试题分析： (I)由题意结合频率分布直方图的结论可得 ； (II)利用题意写出所有的事件，结合古典概型公式可得所求的概率为 ; (III)结合所给数据，求得回归方程为 ，据此估计他的物 理成绩大约是 115 分. 试题解析： （Ⅰ）分数在 100～110 内的学生的频率为 所以该班总人数为 分数在 110～115 内的学生的频率为 分数在 110～115 内的学生的人数 （Ⅱ）由题意分数在 110～115 内有 6 名学生，其中女生有 2 名， 设男生为 女生为 从 6 名学生中选出 2 人的基本事件为 共 15 个 其中恰好含有一名女生的基本事件为 ( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , , , , ,n nu v u v u v v uα β= + ( )( ) ( ) 1 2 1 ˆ ˆˆ, n i ii n ii u u v v v u u u β α β= = − − = = − − ∑ ∑ 8 15P= 6n = 8 15P = 0.5 50ˆ ˆy x= + ( )1 0.04 0.03 5 0.35P = + × = 21 600.35N = = ( )2 1 0.01 0.04 0.05 0.04 0.03 0.01 5 0.1P = − + + + + + × = 6 00.1 6n = × = 1 2 3 4, , , ,A A A A 1 2, ,B B ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 3 1 4 1 1 1 2, , , , , , , , , ,A A A A A A A B A B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 4 2 1 2 2 3 4 3 1 3 2 4 1 4 2 1 2, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B 共 8 个 所以所求的概率为 （Ⅲ） 由于 x 与 y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到 所以线性回归方程为 当 时， 所以估计他的物理成绩大约是 115 分 21．如图，已知 平面 ACD， 平面 ACD， 为等边三角形， ，F 为 CD 的中点． 求证： 平面 BCE； 求二面角 的余弦值的大小． 【答案】（1）见解析 （2） ． 【解析】（1）设 ，以 ， 所在的直线分别作为 轴、 轴， 以过点 在平面 内和 垂直的直线作为 轴，建立如图所示的坐标系，利用向 量法证明 ，即证 平面 .(2)利用向量法求二面角 的余弦值的大小． 【详解】 设 ，以 ， 所在的直线分别作为 轴、 轴，以过点 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 1 2 2 3 1, , , , , , , , , ,A B A B A B A B A B ( ) ( ) ( )3 2 4 1 4 2, , , , , ,A B A B A B 8 15P = 12 17 17 8 8 0 12100 1007x − − + − + + += + = 6 9 8 4 4 1 6100 1007y − − + − + + += + = 497 0.5ˆ , 100 0.5 100 5099 ˆ 4b a= = = − × = 0.5 50ˆ ˆy x= + 130x = ˆ 115y = AB ⊥ DE ⊥ ACD AD DE 2AB= = ( )1 AF / / ( )2 C BE D− − 6 4 2 2AD DE AB a= = = AC AB x z A ACD AC y ( )1 2AF BE BC= +   AF  BCE C BE D− − 2 2AD DE AB a= = = AC AB x z A 在平面 内和 垂直的直线作为 轴，建立如图所示的坐标系， ， ， ， ， ． ∵ 为 的中点，∴ ． （1）证明 ， ， ， ∴ ， 平面 ， ∴ 平面 ． （2）设平面 的一个法向量 ， 则 ，即 ，不妨令 可得 ． 设平面 的一个法向量 ，则 ， 即 ，令 可得 ． 于是， ． 故二面角 的余弦值为 ． 【点睛】 （1）本题主要考查空间位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知 识的掌握水平和空间想象分析推理能力.（2）二面角的求法方法一：（几何法）找 作 （定义法、三垂线法、垂面法） 证（定义） 指 求（解三角形）.方法二：（向 量法）首先求出两个平面的法向量 ；再代入公式 （其中 分别 是两个平面的法向量， 是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选 择“ ”号） 22．设 F 是抛物线 y2＝4x 的焦点，M，P，Q 是抛物线上三个不同的动点，直线 PM 过 点 F，MQ∥OP，直线 QP 与 MO 交于点 N．记点 M，P，Q 的纵坐标分别为 y0，y1， y2． ACD AC y ( )0,0,0A ( )2 ,0,0C a ( )0,0,B a ( ), 3 ,0D a a ( ), 3 ,2E a a a F CD 3 3, ,02 aF a a       3 3, ,02 2AF a a  =      ( ), 3 ,BE a a a= ( )2 ,0,BC a a= − ( )1 2AF BE BC= +   AF ⊄ BCE AF  BCE BCE ( ), ,m x y z= 0 0 m BE m BC  ⋅ =  ⋅ =   3 0 2 0 x y z x z  + + = − = 1x = ( )1, 3,2m = − BDE ( ), ,n x y z= 0 0 n BE n BD  ⋅ =  ⋅ =   3 0 3 0 x y z x y z  + + = + − = 3x = ( )3, 1,0n = − 6cos , 4 m nm n m n ⋅= =× C BE D− − 6 4 → → → → ,m n  •cos m n m n α = ±     ,m n  α ± （1）证明：y0＝y1﹣y2； （2）证明：点 N 的横坐标为定值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 证明见解析 【解析】（1） 由两直线平行的条件：斜率相等，运用直线的斜率公式，结合点在抛物 线上，化简可得结论（2） 因为直线 过点 ，所以 ，求得直线 ， 的方程，设点 坐标为 ，又因为直线 ， 交于点 ，化简整理可得 ， 的方程，分解因式即可得到定值． 【详解】 证明：（1） 因为 MQ∥OP，所以 kMQ＝kOP， 所以 ，所以 y0＝y1﹣y2； （2） 因为直线 PM 过点 F， 可得 ， 所以 y1y0＝﹣4， 由（1）得 y0＝y1﹣y2，所以 y1 ，y2 y0， 因为 OM：y x， PQ：y﹣y1 （x ）， 即 4x﹣（y1+y2）y+y1y2＝0， 设点 N 坐标为（m，n），又因为直线 QP，MO 交于点 N， PM F 1 0 4y y = − OM PQ N ( , )m n QP MO N m n 2 01 2 22 1 02 4 4 4 y yy y yy −= − 1 0 0 2 22 0 01 14 4 4 y y y y yy − = − − 0 4 y = − 0 4 y = − − 0 4 y = 1 2 4 y y = + 2 1 4 y− 所以 n m，4m﹣（y1+y2）n+y1y2＝0， 可得 y0 ，4m﹣（ y0）n+（ ）（ y0）＝0， 消去 y0 得 2mn2+n2+8m3+4m2＝0， 所以（2m+1）n2+4m2（2m+1）＝0， 所以（2m+1）（n2+4m2）＝0， 因为 n2+4m2≠0， 所以 2m+1＝0，即 m ， 所以点 N 的横坐标为定值 ． 【点睛】 本题主要考查了抛物线的方程的运用，以及直线方程的运用，考查化简整理的运算能力 和推理能力，属于中档题． 0 4 y = 4m n = 0 0 4 4 y y − − − 0 4 y − 0 4 y − − 1 2 = − 1 2 −