河南省2020届高三6月大联考数学试卷理科8001C 16页

‎ ‎ 绝密★启用前 高三数学试卷（理科）‎ ‎（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知复数，，若，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.“”是“”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.今年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个5G基站，4月份增加5G用户700多万人，5G通信将成为社会发展的关键动力，下图是某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图，阅读下图 ‎ ‎ 关于下列说法：‎ ‎①2022年我国5G用户规模年增长率最高；‎ ‎②2022年我国5G用户规模年增长户数最多；‎ ‎③从2020年到2026年，我国的5G用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降；‎ ‎④这十年我国的5G用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差.‎ 其中正确的个数为（ ）‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎5已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为360，则框图中空格处应填入（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.函数的部分图象大致为 A .B. C. D.‎ ‎8.在锐角中角，，所对的边分别为，，，，则角的大小为 ‎ ‎ ‎（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.函数的图象的一条对称轴方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.饕餮（tāo tiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上.有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点从点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过4次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.在正方体中，，分别为棱，的中点，过点，，作该正方体的截面，截面将正方体分成两部分，则较小部分与较大部分的体积的比值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知双曲线的左右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，点是线段上一点，且，，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B.2 C. D.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13.在中，已知，，，则_______.‎ ‎14.对任意的函数的图象恒过定点，则曲线在点处的切线的斜率为_______.‎ ‎ ‎ ‎15.已知抛物线：，倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于、两点，为坐标原点，，则的面积为________.‎ ‎16.如图，在矩形中，，为的中点，将沿翻折成（平面），为线段的中点，则在翻折过程中给出以下四个结论：‎ ‎①与平面垂直的直线必与直线垂直；‎ ‎②线段的长为；‎ ‎③异面直线与所成角的正切值为；‎ ‎④当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积是.‎ 其中正确结论的序号是_______.（请写出所有正确结论的序号）‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.（12分）‎ 已知等差数列满足，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎18.（12分）‎ 新冠肺炎疫情期间，各地均响应“停课不停学，停课不停教”的号召，开展了网课学习.为了检查网课学习的效果，某机构对2000名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时有家长在旁督促，而有些没有.将这2000名学生网课学习后通过考试分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类，对应的人数如下表所示：‎ ‎ ‎ 成绩上升 成绩没有上升 合计 有家长督促的学生 ‎500‎ ‎300‎ ‎800‎ 没有家长督促的学生 ‎700‎ ‎500‎ ‎1200‎ 合计 ‎1200‎ ‎800‎ ‎2000‎ ‎（1）是否有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联？‎ ‎（2）从有家长督促的800名学生中按成绩是否上升，采用分层抽样的方法抽出8人，再从这8人中随机抽取3人做进一步调查，记抽到一名成绩上升的学生得1分，抽到一名成绩没有上升的学生得分，抽取3名学生的总得分用表示，求的分布列和数学期望.‎ 附：，其中.‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19.（12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，为的中点，，，.‎ ‎（1）证明：平面平面.‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎20.（12分）‎ 已知函数，.‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）对于任意的，，恒成立，求的取值范围.‎ ‎21.（12分）‎ ‎ ‎ 已知圆：过点，且右焦点为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设过定点的直线（与轴不重合）与椭圆交于不同的两点，，且点关于原点的对称点为，，试求的最大值.‎ ‎（二）选考题共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设点在曲线：上，点在曲线：上，且为正三角形.‎ ‎（1）分别求出点，的极坐标（其中，）；‎ ‎（2）若点为曲线上的动点，为线段的中点求的最大值.‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]（10分 设函数，‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）对于实数，，若，，证明：.‎ 高三数学试卷参考答案（理科）‎ ‎1.C【解析】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力.‎ 因为，，所以.‎ ‎2.D【解析】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力.‎ 因为，所以，，从而.‎ ‎3.A【解析】本题考查常用逻辑用语，考查推理论证能力.‎ 若，则，当且仅当时取等号；若，则.‎ ‎4.B【解析】本题考查学生对柱形图和折线图的理解，考查数据处理能力.‎ 由图可以看出：2022年增长率最高，①正确；2022年比2021年增加用户20498.1万人，而2023年比2022‎ ‎ ‎ 年增加用户37499.9万人，②错误；从2023年起年增长率逐年下降，③正确；这十年我国的5G用户数规模，后5年的平均数大于前5年的平均数，但是方差小，④错误.‎ ‎5.D【解析】本题主要考查函数的单调性及不等式的解法，考查化归与转化的数学思想.‎ 函数在上为减函数，因此，不等式等价于，解得.‎ ‎6.B【解析】本题考查程序框图的知识，考查运算求解能力.‎ ‎，；，；，；，；，；，.所以填入“”，输出的结果为360.‎ ‎7.B【解析】本题考查函数的奇偶性，考查识图能力与推理论证能力.‎ 因为的定义域为，且为偶函数，排除A，C.又当时，，排除选项D，故选B.‎ ‎8.A【解析】本题考查解三角形的知识，考查运算求解能力.‎ 因为，所以，所以，即.又为锐角三角形，所以.‎ ‎9.C【解析】本题考查三角恒等变换，三角函数的对称性，考查运算求解能力.‎ 因为，所以其图象的对称轴方程为解得，当时，.‎ ‎10.A【解析】本题考查数学文化与古典概型，考查数据处理能力.‎ 点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，共有16种不同的跳法（线路），符合题意的只有先向右跳两次，再向下跳两次这一种，所以4次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为.‎ ‎11.D【解析】本题考查 立体几何的截面及体积问题，考查空间想象能力.‎ 如图，可以作出截面，设正方体的棱长为6，则其体积为216，延长交的延长线于点，连接，延长交的延长线于点，连接.因为，分别为棱，的中点，，分别为两棱的三等分点，所以，，‎ ‎ ‎ ‎，，所以正方体被截面分成两部分，其中一部分的体积为，另外一部分的体积为，所以体积比值为.‎ ‎12.B【解析】本题考查双曲线的性质，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力.‎ 设，，则.由余弦定理得，‎ 即，‎ 所以，从而.‎ 因为，且，所以，代入，整理得，解得或（舍去），所以.‎ ‎13.4【解析】本题考查向量的数量积，考查运算求解能力.‎ 因为，，所以.‎ ‎14.【解析】本题考查导数的计算及其几何意义，考查运算求解能力.‎ 令，得，所以.又，所以.‎ ‎15.【解析】本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力.‎ 根据题意知设直线的方程为，代入抛物线得，所以，解得，所以直线的方程为.又原点到直线的距离为，所以.‎ ‎ ‎ ‎16.①②④【解析】本题考查折叠问题以及点、线、面的位置关系，考查空间想象能力.‎ 如图，取的中点为，的中点为，连接，，，，则四边形为平行四边形，直线平面，所以①正确；‎ ‎，所以②正确；‎ 因为，异面直线与的所成角为，，所以③错误；‎ 当三棱锥的体积最大时，平面与底面垂直，可计算出，，，所以，同理，所以三棱锥外接球的球心为，半径为1，外接球的表面积是，④正确.‎ ‎17.解：（1）设数列的公差为，因为 所以……………………………………………………………………………………2分 解得………………………………………………………………………………………………………4分 所以.…………………………………………………………………………………………………6分 ‎（2）由（1）知，…………………………………………………………………………7分 因为，…………………………………………………………………………………9分 ‎ ‎ 所以，…………………………………………………11分 即. ………………………………………………………………………………12分 评分细则：‎ ‎（1）第一问中，只要列出得2分，求出累计得4分，正确写出通项公式累计得6分；‎ ‎（2）第二问中，写到这一步累计得9分，写出累计得1分，最后结果写成不扣分；‎ ‎（3）其他情况根据评分标准酌情给分.‎ ‎18.解：（1），3分 因为，‎ 所以有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联.5分 ‎（2）由题意知，从有家长督促的800名学生中按分层抽样法抽出8人，其中成绩上升的有5人，成绩没有上升的有3人，再从这8人中随机抽取3人，随机变量所有可能取的值为，，1，3，…………6分则，7分 ‎，8分 ‎，‎ ‎.10分.‎ 所以的分布列为 ‎1‎ ‎3‎ ‎ ‎ ‎11分 所以.12分 评分细则：‎ ‎（1第一问中写成或3.4不扣分，计算正确，结论写错扣分；‎ ‎（2）第二问中，写出的所有可能取值为，，1，3得1分，每计算出一个概率得1分，写出分布列得1分，写出期望得1分；‎ ‎（3）其他情况根据评分标准酌情给分.‎ ‎19.（1）证明：因为是矩形，所以.‎ 因为平面平面，平面平面，平面，‎ 所以平面.…………………………………………………………………………………………1分 又二平面，所以.……………………………………………………………………2分 因为，所以，又为的中点，所以.…………………………3分 又，所以平面.…………………………………………………………………4分 由于平面，所以平面平面.……………………………………………………5分 ‎（2）解：如图，在平面内作的垂线，建立空间直角坐标系，‎ 因为，，所以.‎ 所以，，，，…………………………………………………6分 所以，.………………………………………………………………………7分 ‎ ‎ 设平面的法向量为 所以即令，得，，所以.……9分 因为平面，所以平面的一个法向量为，………………………10分 所以，‎ 故二面角的余弦值为.…………………………………………………………………12分 评分细则：‎ ‎（1）第一问中，也可以先建立空间直角坐标系，用向量方法证明，不管用哪种方法，证出得5分；‎ ‎（2）第二问中，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，得1分，计算出相关向量坐标，得1分，计算出平面的法向量得2分，算出二面角的余弦值得2分；‎ ‎（3）若用传统做法，作出二面角的平面角得1分，简单证明得2分，整个题完全正确得满分.‎ ‎20.解：（1）当时，，，………………………………………2分 令，得；令，得，……………………………………………………………3分 所以在上单调递减，在上单调递增. …………………………………………………4分 ‎（2）对于任意的，，恒成立，‎ 所以.…………………………………………………………………………………………5分 ‎.……………………………………………………………6分 ‎①当时，令，得.‎ 当时，即时，，在上单调递增，‎ 所以.‎ 因为，，‎ 所以恒成立. ……………………………………………………………………………………8分 当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎ ‎ 所以，‎ 此时不恒成立. ………………………………………………………………………………10分 ‎②当时，函数在上单调递减，‎ 所以，‎ 进而可知不恒成立. …………………………………………………………………………11分 综上所述，的取值范围是.…………………………………………………………………………12分 评分细则：‎ ‎（1）在第一问中，如果求导正确得2分，求出和的解集得1分，正确写出单调区间累计得4分；‎ ‎（2）第二问中只要得到得1分，①中两步分类讨论各得2分，②中讨论得1分，只要是正确讨论就得这1分，正确解完本题得满分；‎ ‎（3）采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分.‎ ‎21.解：（1）因为椭圆：过点，且右焦点为，‎ 所以解得……………………………………………………………………………3分 所以椭圆的方程为.………………………………………………………………………………4分 ‎（2）设直线：，，，则.‎ 联立方程组得，……………………………………………………6分 此时，，由，得.…………………7分 因为，即所以，故.……………………………8分 ‎ ‎ 因为，所以，‎ 令，则，由对勾函数得.得.………………9分 可得.…………………10分 令，则，，‎ 所以，…………………………………………11分 故当时，取得最大值.……………………………………………………………………12分 评分细则：‎ ‎（1）第一问中，正确联立方程组，求出，得3分，正确求出标准方程共得4分；‎ ‎（2）第二问中，做到这一步累计得6分，写出韦达定理和判别式累计得7分，写出的表达式累计得10分，全部正确做完得满分；‎ ‎（3）第二问中，若用其他方法，参照上述步骤给分.‎ ‎22.解：（1）因为点在曲线：上，即点在直线上，………………………………2分 又点在曲线：上，且为正三角形，‎ 所以在极坐标系中，，.…………………………………………………………………4分 ‎（2）由（1）知点的直角坐标为，………………………………………………………………5分 设点的直角坐标为，所以点.…………………………………………………6分 ‎ ‎ 因为曲线的参数方程为即为圆，…………………………………………7分 所以，即点在上，………………………………8分 又点的直角坐标为，所以的最大值为.………………………………10分 评分细则：‎ ‎（1）第一问中，写出曲线的直角坐标方程得2分，正确写出，在指定范围内的极坐标方程累计得4分；‎ ‎（2）第二问中，求出点的直角坐标为，得1分，写出点，得1分，求出的标准方程，得1分，全部正确解完本题得满分；‎ ‎（3）采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分.‎ ‎23.（1）解：设，则，…………………………………………2分 因为，‎ 所以或或………………………………………………………………3分 解得或或，即，………………………………………………………4分 所以不等式的解集为.…………………………………………………………………5分 ‎（2）证明：因为，，所以，.………………………………………6分 又，……………………………………………8分 所以.……………………………………………10分 评分细则：‎ ‎（1）第一问中，写出的解析式得2分，正确求出三个不等式组的解集累计得4分，写出不等式的解集为累计得5分；‎ ‎（2）第二问中，写出，累计得6分，会利用绝对值的性质求出 ‎ ‎ 累计得8分，最后证出累计得10分.‎