2005年湖北省高考数学试卷（文科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 7页

‎2005年湖北省高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1. 设P、Q为两个非空实数集，定义集合P+Q={a+b|a∈P, b∈Q}‎．若P={0, 2, 5}‎，Q={1, 2, 6}‎，则P+Q中元素的个数是（ ）‎ A.‎6‎ B.‎7‎ C.‎8‎ D.‎‎9‎ ‎2. 对任意实数a，b，c，给出下列命题：‎ ‎①“a=b”是“ac=bc”的充要条件；‎ ‎②“a+5‎是无理数”是“a是无理数”的充要条件；‎ ‎③“a>b”是“a‎2‎‎>‎b‎2‎”的充分条件；‎ ‎④“a<5‎”是“a<3‎”的必要条件．‎ 其中真命题的个数是（ ）‎ A.‎1‎ B.‎2‎ C.‎3‎ D.‎‎4‎ ‎3. 已知向量a‎→‎‎=(-2, 2)‎，b‎→‎‎=(5, k)‎．若‎|a‎→‎+b‎→‎|‎不超过‎5‎，则k的取值范围是（ ）‎ A.‎[-4, 6]‎ B.‎[-6, 4]‎ C.‎[-6, 2]‎ D.‎‎[-2, 6]‎ ‎4. 函数y=e‎|lnx|‎-|x-1|‎的图象大致是‎(‎        ‎‎)‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 木星的体积约是地球体积的‎240‎‎30‎倍，则它的表面积约是地球表面积的（ ）‎ A.‎60‎倍 B.‎60‎‎30‎倍 C.‎120‎倍 D.‎120‎‎30‎倍 ‎6. 双曲线x‎2‎m‎-y‎2‎n=1(mn≠0)‎的离心率为‎2‎，有一个焦点与抛物线y‎2‎‎=4x的焦点重合，则mn的值为‎(‎        ‎‎)‎ A.‎3‎‎16‎ B.‎3‎‎8‎ C.‎16‎‎3‎ D.‎‎8‎‎3‎ ‎7. 在y=‎‎2‎x，y=log‎2‎x，y=‎x‎2‎这三个函数中，当‎0‎f(x‎1‎+x‎2‎)‎‎2‎恒成立的函数的个数是（ ）‎ A.‎0‎个 B.‎1‎个 C.‎2‎个 D.‎3‎个 ‎8. 已知a、b、c是直线，β是平面，给出下列命题：‎ ‎①若a⊥b，b⊥c，则a // c；‎ ‎②若a // b，b⊥c，则a⊥c；‎ ‎③若a // β，b⊂β，则a // b；‎ ‎④若a与b异面，且a // β，则b与β相交；‎ ‎⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直．其中真命题的个数是（ ）‎ A.‎1‎ B.‎2‎ C.‎3‎ D.‎‎4‎ ‎9. 把一同排‎6‎张座位编号为‎1‎，‎2‎，‎3‎，‎4‎，‎5‎，‎6‎的电影票全部分给‎4‎个人，每人至少分‎1‎张，至多分‎2‎张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（ ）‎ A.‎168‎ B.‎96‎ C.‎72‎ D.‎‎144‎ ‎10. 若sinα+cosα=tanα(0<α<π‎2‎)‎，则α所在的区间（ ）‎ A.‎(0, π‎6‎)‎ B.‎(π‎6‎, π‎4‎)‎ C.‎(π‎4‎, π‎3‎)‎ D.‎‎(π‎3‎, π‎2‎)‎ ‎11. 在函数y＝x‎3‎‎-8x的图象上，其切线的倾斜角小于π‎4‎的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）‎ A.‎3‎ B.‎2‎ C.‎1‎ D.‎‎0‎ ‎12. 某初级中学有学生‎270‎人，其中一年级‎108‎人，二、三年级各‎81‎人，现要利用抽样方法抽取‎10‎人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为‎1‎，‎2‎，…，‎270‎；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为‎1‎，‎2‎，‎⋯‎，‎270‎，并将整个编号依次分为‎10‎段，如果抽得号码有下列四种情况：‎ ‎①‎7‎，‎34‎，‎61‎，‎88‎，‎115‎，‎142‎，‎169‎，‎196‎，‎223‎，‎250‎；‎ ‎②‎5‎，‎9‎，‎100‎，‎107‎，‎111‎，‎121‎，‎180‎，‎195‎，‎200‎，‎265‎；‎ ‎③‎11‎，‎38‎，‎65‎，‎92‎，‎119‎，‎146‎，‎173‎，‎200‎，‎227‎，‎254‎；‎ ‎ 7 / 7‎ ‎④‎30‎，‎57‎，‎84‎，‎111‎，‎138‎，‎165‎，‎192‎，‎219‎，‎246‎，‎270‎．‎ 关于上述样本的下列结论中，正确的是（        ）‎ A.②，③都不能为系统抽样 B.②，④都不能为分层抽样 C.①，④都可能为系统抽样 D.①，③都可能为分层抽样 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13. 函数f(x)=x-2‎x-3‎lg‎4-x的定义域是________．‎ ‎14. ‎(x‎3‎-‎2‎x‎)‎‎4‎+(x+‎‎1‎x‎)‎‎8‎的展开式中整理后的常数项等于________．‎ ‎15. 函数y=|sinx|cosx-1‎的最小正周期与最大值的和为________．‎ ‎16. 为了了解噪声污染的情况，某市环保局抽样调查了‎80‎个测量点的噪声声级（单位：分贝），并进行整理后分成五组，绘制出频率分布直方图，如图所示．已知从左至右前四组的频率分别是‎0.15‎，‎0.25‎，‎0.3‎，‎0.2‎，且噪声声级高于‎69.5‎分贝就会影响工作和生活，那么影响到工作和生活而需对附近区域进行治理的测量点有________个．‎ 三、解答题（共6小题，17~21题每题12分，22题14分，满分74分）‎ ‎17. 已知向量a‎→‎‎=(x‎2‎, x+1)‎，b‎→‎‎=(1-x, t)‎，若函数f(x)=a‎→‎⋅‎b‎→‎在区间‎(-1, 1)‎上是增函数，求t的取值范围．‎ ‎18. 在‎△ABC中，已知tanB=‎‎3‎，cosC=‎‎1‎‎3‎，AC=3‎‎6‎，求‎△ABC的面积．‎ ‎19. 设数列‎{an}‎的前n项和为Sn＝‎2‎n‎2‎，‎{bn}‎为等比数列，且a‎1‎＝b‎1‎，b‎2‎‎(a‎2‎-a‎1‎)‎＝b‎1‎．‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎求数列‎{an}‎和‎{bn}‎的通项公式；‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎设cn‎=‎anbn，求数列‎{cn}‎的前n项和Tn．‎ ‎20. 如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC‎1‎F所截面而得到的，其中AB=4‎，BC=2‎，CC‎1‎=3‎，BE=1‎．‎ ‎（1）求BF的长；‎ ‎（2）求点C到平面AEC‎1‎F的距离．‎ ‎ 7 / 7‎ ‎21. 某会议室用‎5‎盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为‎1‎年以上的概率为p‎1‎，寿命为‎2‎年以上的概率为p‎2‎．从使用之日起每满‎1‎年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换．‎ ‎（1）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换‎2‎只灯泡的概率；‎ ‎（2）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；‎ ‎（3）当p‎1‎‎=0.8‎，p‎2‎‎=0.3‎时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换‎4‎只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）．‎ ‎22. 设A、B是椭圆‎3x‎2‎+‎y‎2‎＝λ上的两点，点N(1, 3)‎是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎确定λ的取值范围，并求直线AB的方程；‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎试判断是否存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由．‎ ‎ 7 / 7‎ 参考答案与试题解析 ‎2005年湖北省高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1.C ‎2.B ‎3.C ‎4.D ‎5.C ‎6.A ‎7.B ‎8.A ‎9.D ‎10.C ‎11.D ‎12.D 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13.‎‎[2, 3)∪(3, 4)‎ ‎14.‎‎38‎ ‎15.‎‎2π-‎‎1‎‎2‎ ‎16.‎‎8‎ 三、解答题（共6小题，17~21题每题12分，22题14分，满分74分）‎ ‎17.依定义f(x)‎＝x‎2‎‎(1-x)+t(x+1)‎＝‎-x‎3‎+x‎2‎+tx+t，则f'(x)‎＝‎-3x‎2‎+2x+t．‎ 若f(x)‎在‎(-1, 1)‎上是增函数，则在‎(-1, 1)‎上f‎'‎‎(x)≥0‎恒成立．‎ ‎∴ f'(x)≥0⇔t≥3x‎2‎-2x，在区间‎(-1, 1)‎上恒成立，‎ 考虑函数g(x)‎＝‎3x‎2‎-2x，由于g(x)‎的图象是对称轴为x=‎‎1‎‎3‎，开口向上的抛物线，‎ 故要使t≥3x‎2‎-2x在区间‎(-1, 1)‎上恒成立‎⇔t≥g(-1)‎，即t≥5‎．‎ 而当t≥5‎时，f'(x)‎在‎(-1, 1)‎上满足f'(x)>0‎，即f(x)‎在‎(-1, 1)‎上是增函数；‎ 故t的取值范围是t≥5‎．‎ ‎18.解：设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，tanB=‎‎3‎，得B=‎‎60‎‎∘‎，sinB=‎‎3‎‎2‎，cosB=‎‎1‎‎2‎．‎ 又sinC=‎1-cos‎2‎C=‎‎2‎‎2‎‎3‎，应用正弦定理得c=bsinCsinB=‎3‎6‎×2‎‎2‎‎3‎‎2‎=8‎．‎ ‎∴ sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=‎3‎‎2‎×‎1‎‎3‎+‎1‎‎2‎×‎2‎‎2‎‎3‎=‎‎3‎‎+2‎‎2‎‎6‎．‎ 故所求面积S‎△ABC‎=‎1‎‎2‎bcsinA=‎1‎‎2‎×3‎6‎×8×‎3‎‎+2‎‎2‎‎6‎=6‎2‎+8‎‎3‎．‎ ‎19.（1）：当n＝‎1‎时，a‎1‎＝S‎1‎＝‎2‎；当n≥2‎时，an＝Sn‎-‎Sn-1‎＝‎2n‎2‎-2(n-1‎‎)‎‎2‎＝‎4n-2‎，‎ 故‎{an}‎的通项公式为an＝‎4n-2‎，即‎{an}‎是a‎1‎＝‎2‎，公差d＝‎4‎的等差数列．‎ 设‎{bn}‎的公比为q，则b‎1‎qd＝b‎1‎，d＝‎4‎，∴ q=‎‎1‎‎4‎．‎ 故bn＝b‎1‎qn-1‎＝‎2×‎‎1‎‎4‎n-1‎，即‎{bn}‎的通项公式为bn‎=‎‎2‎‎4‎n-1‎．‎ ‎(II)‎‎∵ cn‎=anbn=‎4n-2‎‎2‎‎4‎n-1‎=(2n-1)‎‎4‎n-1‎，‎ Tn‎＝‎c‎1‎‎+c‎2‎+...+‎cn Tn‎＝‎‎1+3×‎4‎‎1‎+5×‎4‎‎2‎+...+(2n-1)‎‎4‎n-1‎ ‎4‎Tn‎＝‎‎1×4+3×‎4‎‎2‎+5×‎4‎‎3‎+...+(2n-3)‎4‎n-1‎+(2n-1)‎‎4‎n 两式相减得，‎3‎Tn＝‎‎-1-2(‎4‎‎1‎+‎4‎‎2‎+‎4‎‎3‎+...+‎4‎n-1‎)+(2n-1)‎4‎n=‎1‎‎3‎[(6n-5)‎4‎n+5]‎ ‎∴ ‎Tn‎=‎1‎‎9‎[(6n-5)‎4‎n+5]‎ ‎20.解法‎1‎：（1）过E作EH // BC交CC‎1‎于H，则CH=BE=1‎，EH // AD，且EH=AD．‎ 又∵ AF // EC‎1‎，∴ ‎∠FAD=∠C‎1‎EH．‎ ‎ 7 / 7‎ ‎∴ Rt△ADF≅Rt△EHC‎1‎．∴ DF=C‎1‎H=2‎．∴ BF=BD‎2‎+DF‎2‎=2‎‎6‎．‎ ‎（2）延长C‎1‎E与CB交于G，连AG，‎ 则平面AEC‎1‎F与平面ABCD相交于AG．‎ 过C作CM⊥AG，垂足为M，连C‎1‎M，‎ 由三垂线定理可知AG⊥C‎1‎M．由于AG⊥‎面C‎1‎MC，且 AG⊂‎面AEC‎1‎F，所以平面AEC‎1‎F⊥‎面C‎1‎MC．在Rt△C‎1‎CM中，作CQ⊥MC‎1‎，垂足为Q，则CQ的长即为C到平面AEC‎1‎F的距离．‎ 由EBCC‎1‎‎=‎BGCG可得，BG=1‎，从而AG=AB‎2‎+BG‎2‎=‎‎17‎．‎ 由‎∠GAB=∠MCG知，CM=3cosMCG=3cosGAB=3×‎4‎‎17‎=‎‎12‎‎17‎，∴ ‎CQ=CM×CC‎1‎MC‎1‎=‎3×‎‎12‎‎17‎‎3‎‎2‎‎+‎‎12‎‎2‎‎17‎=‎‎4‎‎33‎‎11‎ 解法‎2‎：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0, 0, 0)‎，B(2, 4, 0)‎，A(2, 0, 0)‎，C(0, 4, 0)‎，E(2, 4, 1)‎，C‎1‎‎(0, 4, 3)‎．设F(0, 0, z)‎．‎ ‎∵ AEC‎1‎F为平行四边形，∴ 由AEC‎1‎F为平行四边形，∴ 由AF‎→‎‎=‎EC‎1‎‎→‎得，‎(-2, 0, z)‎‎=(-2, 0, 2)‎，∴ z=2‎．∴ F(0, 0, 2)‎．∴ BF‎→‎‎=(-2, -4, 2)‎．于是‎|BF‎→‎|=2‎‎6‎，即BF的长为‎2‎‎6‎．‎ ‎（2）设n‎1‎‎→‎为平面AEC‎1‎F的法向量，显然n‎1‎‎→‎不垂直于平面ADF，故可设n‎1‎‎→‎‎=(x, y, 1)‎．‎ n‎1‎‎→‎‎⋅AF‎→‎=0‎‎˙‎‎⇒‎‎0×x+4×y+1=0‎‎-2×x+0×y+2=0‎即‎4y+1=0‎‎-2x+2=0‎∴ ‎x=1‎y=-‎1‎‎4‎.‎ 又CC‎1‎‎→‎‎=(0, 0, 3)‎，设CC‎1‎‎→‎与n‎→‎的夹角为a，则cosα=‎|CC‎1‎‎→‎|⋅|n‎1‎‎→‎|‎‎˙‎‎3‎‎3×‎‎1+‎1‎‎16‎+1‎=‎‎4‎‎33‎‎33‎．‎ ‎∴ C到平面AEC‎1‎F的距离为d=|CC‎1‎‎→‎|cosα=3×‎4‎‎33‎‎33‎=‎‎4‎‎33‎‎11‎．‎ ‎21.解：因为该型号的灯泡寿命为‎1‎年以上的概率为p‎1‎，寿命为‎2‎年以上的概率为p‎2‎．‎ 所以寿命为‎1∼2‎年的概率应为p‎1‎‎-‎p‎2‎．其分布列为：‎ 寿命 ‎0∼1‎ ‎1∼2‎ ‎2∼‎ P ‎1-‎P‎1‎ P‎1‎‎-‎P‎2‎ P‎2‎ ‎（1）一只灯泡需要不需要换，可以看做一个独立重复试验，根据公式得到 在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为p‎1‎‎5‎，需要更换‎2‎只灯泡的概率为C‎5‎‎2‎p‎1‎‎3‎‎(1-‎p‎1‎‎)‎‎2‎；‎ ‎（2）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡是两个独立事件的和事件：‎ ‎①在第‎1‎、‎2‎次都更换了灯泡的概率为‎(1-‎p‎1‎‎)‎‎2‎；‎ ‎②在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p‎1‎‎(1-p‎2‎)‎．‎ 故所求的概率为p=(1-p‎1‎‎)‎‎2‎+p‎1‎(1-p‎2‎)‎．‎ ‎（3）由（2）当p‎1‎‎=0.8‎，p‎2‎‎=0.3‎时，在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡的概率p=(1-p‎1‎‎)‎‎2‎+p‎1‎(p‎1‎-p‎2‎)=‎0.2‎‎2‎+0.8×0.7=0.6‎．‎ 在第二次灯泡更换工作，至少换‎4‎只灯泡包括换‎5‎只和换‎4‎只两种情况：‎ ‎①换‎5‎只的概率为p‎5‎‎=‎‎0.6‎‎5‎；‎ ‎②换‎4‎只的概率为C‎5‎‎1‎p‎4‎‎(1-p)=5×‎0.6‎‎4‎(1-0.6)‎，‎ 故至少换‎4‎只灯泡的概率为：p‎3‎‎=‎0.6‎‎5‎+5×‎0.6‎‎4‎×0.4=0.34‎．‎ 即满两年至少需要换‎4‎只灯泡的概率为‎0.34‎．‎ ‎ 7 / 7‎ ‎22.（1）解法一：依题意，可设直线AB的方程为y＝k(x-1)+3‎，‎ 代入‎3x‎2‎+‎y‎2‎＝λ，整理得：‎(k‎2‎+3)x‎2‎-2k(k-3)x+(k-3‎)‎‎2‎-λ＝‎0‎①‎ 设A(x‎1‎, y‎1‎)‎，B(x‎2‎, y‎2‎)‎，则x‎1‎，x‎2‎是方程①的两个不同的根，‎ ‎∴ ‎△‎＝‎4[λ(k‎2‎+3)-3(k-3‎)‎‎2‎]>0‎，②‎ 且x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎2k(k-3)‎k‎2‎‎+3‎．由N(1, 3)‎是线段AB的中点，得x‎1‎‎+‎x‎2‎＝‎2‎，‎ ‎∴ k(k-3)‎＝k‎2‎‎+3‎解得k＝‎-1‎，代入②得λ>12‎，‎ 即λ的取值范围是‎(12, +∞)‎．‎ 于是直线AB的方程为y-3‎＝‎-(x-1)‎，即x+y-4‎＝‎0‎．‎ 解法二：设A(x‎1‎, y‎1‎)‎，B(x‎2‎, y‎2‎)‎，则有‎3x‎1‎‎2‎+y‎1‎‎2‎=λ‎3x‎2‎‎2‎+y‎2‎‎2‎=λ.‎‎ ⇒3 (x‎1‎-x‎2‎) (x‎1‎+x‎2‎)+(y‎1‎-y‎2‎)‎＝‎0‎．‎ 依题意，x‎1‎‎≠‎x‎2‎，∴ kAB‎=-‎‎3(x‎1‎+x‎2‎)‎y‎1‎‎+‎y‎2‎．‎ ‎∵ N(1, 3)‎是AB的中点，∴ x‎1‎‎+‎x‎2‎＝‎2‎，y‎1‎‎+‎y‎2‎＝‎6‎，从而kAB＝‎-1‎．‎ 又由N(1, 3)‎在椭圆内，∴ λ>3×‎1‎‎2‎+‎‎3‎‎2‎＝‎12‎，‎ ‎∴ λ的取值范围是‎(12, +∞)‎．‎ 直线AB的方程为y-3‎＝‎-(x-1)‎，即x+y-4‎＝‎0‎．‎ ‎（2）解法一：∵ CD垂直平分AB，‎ ‎∴ 直线CD的方程为y-3‎＝x-1‎，即x-y+2‎＝‎0‎代入椭圆方程，整理得‎4x‎2‎+4x+4-λ＝‎0‎．③‎ 又设C(x‎3‎, y‎3‎)‎，D(x‎4‎, y‎4‎)‎，CD的中点为M(x‎0‎, y‎0‎)‎，‎ 则x‎3‎，x‎4‎是方程③的两根，‎ ‎∴ x‎3‎‎+‎x‎4‎＝‎-1‎，且x‎0‎‎=x‎3‎‎+‎x‎4‎‎2‎=-‎‎1‎‎2‎，y‎0‎＝x‎0‎‎+2=‎‎3‎‎2‎，即M(-‎1‎‎2‎, ‎3‎‎2‎)‎ 于是由弦长公式可得‎|CD|=‎=+‎‎(-‎1‎k)‎‎2‎⋅|x‎3‎-x‎4‎|=‎‎2(λ-3)‎．④‎ 将直线AB的方程x+y-4‎＝‎0‎代入椭圆方程得‎4x‎2‎-8x+16-λ＝‎0‎．⑤‎ 同理可得‎|AB|=‎1+‎k‎2‎⋅|x‎1‎-x‎2‎|=‎‎2(λ-12)‎．⑥‎ ‎∵ 当λ>12‎时，‎2(λ-3)‎‎>‎‎2(λ-12)‎，‎ ‎∴ ‎|AB|<|CD|‎．‎ 假设存在λ>12‎，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心．‎ 点M到直线AB的距离为d=‎|x‎0‎+y‎0‎-4|‎‎2‎=‎|-‎1‎‎2‎+‎3‎‎2‎-4|‎‎2‎=‎‎3‎‎2‎‎2‎．⑦‎ 于是，由④⑥⑦式及勾股定理可得‎|MA‎|‎‎2‎＝‎|MB‎|‎‎2‎＝d‎2‎‎+|AB‎2‎‎|‎‎2‎=‎9‎‎2‎+λ-12‎‎2‎=λ-3‎‎2‎=|‎CD‎2‎‎|‎‎2‎．‎ 故当λ>12‎时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，‎|CD‎2‎|‎为半径的圆上．‎ ‎（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：‎ A‎、B、C、D共圆‎⇔ACD为直角三角形，A为直角‎⇔|AN‎|‎‎2‎＝‎|CN|⋅|DN|‎，‎ 即‎(‎|AB|‎‎2‎)‎‎2‎‎=(|CD‎2‎|+d)(|CD‎2‎|-d)‎．⑧‎ 由⑥式知，⑧式左边‎=‎λ-12‎‎2‎，‎ 由④⑦知，⑧式右边＝‎(‎2(λ-3)‎‎2‎+‎3‎‎2‎‎2‎)(‎2(λ-3)‎‎2‎-‎3‎‎2‎‎2‎)=λ-3‎‎2‎-‎9‎‎2‎=‎λ-12‎‎2‎．‎ ‎∴ ⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆．）‎ 解法二：由‎(‎Ⅱ‎)‎解法一知λ>12‎，‎ ‎∵ CD垂直平分AB，‎ ‎∴ 直线CD的方程为y-3‎＝x-1‎，代入椭圆方程，整理得‎4x‎2‎+4x+4-λ＝‎0‎．③‎ 将直线AB的方程x+y-4‎＝‎0‎代入椭圆方程整理得‎4x‎2‎-8x+16-λ＝‎0‎．⑤‎ 解③和⑤式可得x‎1,2‎‎=‎‎2±‎λ-12‎‎2‎，x‎3,4‎‎=‎‎-1±‎λ-3‎‎2‎，‎ 不妨设A(1+‎1‎‎2‎λ-12‎, 3-‎1‎‎2‎λ-12‎)‎，‎ C(‎-1-‎λ-3‎‎2‎, ‎3-‎λ-3‎‎2‎)‎‎，D(‎-1+‎λ-3‎‎2‎, ‎3+‎λ-3‎‎2‎)‎．‎ ‎∴ CA‎→‎‎=(‎3+λ-12‎+‎λ-3‎‎2‎, ‎3-λ-12‎+‎λ-3‎‎2‎)‎，‎ DA‎→‎‎=(‎3+λ-12‎-‎λ-3‎‎2‎, ‎3-λ-12‎-‎λ-3‎‎2‎)‎‎，‎ 计算可得CA‎→‎‎⋅DA‎→‎=0‎，‎ ‎ 7 / 7‎ ‎∴ A在以CD为直径的圆上．‎ 又B为A关于CD的对称点，‎ ‎∴ A、B、C、D四点共圆．‎ ‎ 7 / 7‎