高中数学必修5第1章1_2_1同步训练及解析 5页

人教A高中数学必修5同步训练 ‎1．某次测量中，若A在B的南偏东40°，则B在A的(　　)‎ A．北偏西40°　　　　　　　　 B．北偏东50°‎ C．北偏西50° D．南偏西50°‎ 答案：A ‎2．已知A、B两地间的距离为‎10 km，B、C两地间的距离为‎20 km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地间的距离为(　　)‎ A．‎10 km B．‎10 km C．‎10 km D．‎10 km 解析：选D.由余弦定理可知：‎ AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC.‎ 又∵AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，‎ ‎∴AC2＝102＋202－2×10×20×cos 120°＝700.‎ ‎∴AC＝10.‎ ‎3．在一座‎20 m高的观测台测得对面一水塔塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为45°，观测台底部与塔底在同一地平面，那么这座水塔的高度是________m.‎ 解析：h＝20＋20tan 60°＝20(1＋) m.‎ 答案：20(1＋)‎ ‎4．如图，一船以每小时‎15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°.求此时船与灯塔间的距离．‎ 解：＝，‎ 且∠BAC＝30°，AC＝60，‎ ‎∠ABC＝180°－30°－105°＝45°.‎ ‎∴BC＝30.‎ 即船与灯塔间的距离为‎30 km.‎ 一、选择题 ‎1．在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于(　　)‎ A．10° B．50°‎ C．120° D．130°‎ 解析：选D.如图，∠BAC等于A观察B点的仰角与观察C点的俯角和，即60°＋70°＝130°.‎ ‎2．一艘船以‎4 km/h的速度沿着与水流方向成120°夹角的方向航行，已知河水流速为‎2 km/h，则经过 h，该船的实际航程为(　　)‎ A．‎2 km B．‎‎6 km C．‎2 km D．‎‎8 km 解析：选B.v实＝‎ ＝2.‎ ‎∴实际航程＝2×＝6(km)．故选B.‎ ‎3.‎ 如图所示，D，C，B在同一地平面的同一直线上，DC＝‎10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高度AB等于(　　)‎ A．‎10 m B．‎5 m C．5(－1) m D．5(＋1) m 解析：选D.在△ADC中，‎ AD＝＝10(＋1)(m)．‎ 在Rt△ABD中，AB＝AD·sin 30°＝5(＋1)(m)．‎ ‎4．我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且AB距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为(　　)‎ A．28海里/小时 B．14海里/小时 C．14 海里/小时 D．20海里/小时 解析：选B.如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，则在△ABC中，AC＝10×2＝20(海里)，AB＝‎12海里，∠BAC＝120°，‎ ‎∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°＝784，‎ ‎∴BC＝‎28海里，‎ ‎∴v＝‎14海里/小时．‎ ‎5．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区内的持续时间为(　　)‎ A．0.5小时 B．1小时 C．1.5小时 D．2小时 解析：选B.设t小时后，B市处于危险区内，‎ 则由余弦定理得：‎ ‎(20t)2＋402－2×20t×40cos 45°≤302.‎ 化简得：4t2－8t＋7≤0，‎ ‎∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.‎ 从而|t1－t2|＝＝1.‎ ‎6．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°、30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距‎500米，则电视塔在这次测量中的高度是(　　)‎ A．‎100‎米 B．‎‎400米 C．‎200‎米 D．‎‎500米 解析：选D.由题意画出示意图，设高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，在Rt△ABD中，由已知BD＝h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，‎ 解之得h＝500(米)，故选D.‎ 二、填空题 ‎7．一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角，树干底部与树尖着地处相距‎5米，则树干原来的高度为________米．‎ 答案：10＋5 ‎8.‎ 如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的__________．‎ 解析：由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，从而所求为北偏西10°.‎ 答案：北偏西10°‎ ‎9．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站10 海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过________分钟，海盗船即可到达商船．‎ 解析：如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A、B、C处，20分钟后，海盗船到达D处，在△ADC中，AC＝10，AD＝20，CD＝30，由余弦定理得 cos∠ADC＝ ‎＝＝.‎ ‎∴∠ACD＝60°，在△ABD中由已知得∠ABD＝30°.‎ ‎∠BAD＝60°－30°＝30°，‎ ‎∴BD＝AD＝20，×60＝(分钟)．‎ 答案： 三、解答题 ‎10．如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，在河岸边选定两点C、D，测得CD＝‎1000米，∠ACB＝30°，∠BCD＝30°，∠BDA＝30°，∠ADC＝60°，求AB的长．‎ 解：由题意知△ACD为正三角形，‎ 所以AC＝CD＝‎1000米．‎ 在△BCD中，∠BDC＝90°，‎ 所以BC＝＝＝米．‎ 在△ACB中，AB2＝AC2＋BC2－‎2AC·BC·cos 30°‎ ‎＝10002＋－2×1000×× ‎＝10002×，‎ 所以AB＝米．‎ ‎11．如图，地面上有一旗杆OP，为了测得它的高度，在地面上选一基线AB，测得AB＝‎20 m，在A处测得点P的仰角为30°，在B处测得点P的仰角为45°，同时可测得∠AOB＝60°，求旗杆的高度(结果保留1位小数)．‎ 解：设旗杆的高度为h，‎ 由题意，知∠OAP＝30°，∠OBP＝45°.‎ 在Rt△AOP中，OA＝＝h.‎ 在Rt△BOP中，OB＝＝h.‎ 在△AOB中，由余弦定理，‎ 得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos 60°，‎ 即202＝(h)2＋h2－2h×h×.‎ 解得h2＝≈176.4.‎ ‎∴h≈13(m)．‎ ‎∴旗杆的高度约为‎13 m.‎ ‎12．一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号．正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后，即测出该商船在方位角为45°距离10海里的C处，并沿方位角为105°的方向，以9海里/时的速度航行．“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救．求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程．‎ 解：如图所示，若“黄山”舰以最少时间在B处追上商船，则A，B，C构成一个三角形．‎ 设所需时间为t小时，‎ 则AB＝21t，BC＝9t.‎ 又已知AC＝10，依题意知，∠ACB＝120°，‎ 根据余弦定理，AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BCcos∠ACB.‎ ‎∴(21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9tcos 120°，‎ ‎∴(21t)2＝100＋81t2＋90t，‎ 即360t2－90t－100＝0.‎ ‎∴t＝或t＝－(舍)．‎ ‎∴AB＝21×＝14(海里)．‎ 即“黄山”舰需要用小时靠近商船，共航行‎14海里． ‎