2012年高考数学真题分类汇编J　计数原理 （理科） 6页

J　计数原理 J1　基本计数原理 ‎10．J1、J2[2012·安徽卷] 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为(　　)‎ A．1或3 B．1或4‎ C．2或3 D．2或4‎ ‎10．D　[解析] 本题考查组合数等计数原理．‎ 任意两个同学之间交换纪念品共要交换C＝15次，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是得到5份纪念品，现在6个同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次如果不涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有4人；如果涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有2人，答案为D.‎ ‎6．J1、J2[2012·北京卷] 从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　)‎ A．24 B．‎18 C．12 D．6‎ ‎6．B　[解析] 本题考查排列组合计数的基础知识，考查分析问题和解决问题的能力．‎ 法一：(直接法)本题可以理解为选出三个数，放在三个位置，要求末尾必须放奇数，如果选到了0这个数，这个数不能放在首位，所以n＝CCA＋CC＝12＋6＝18；‎ 法二：(间接法)奇数的个数为n＝CCCA－CC＝18.‎ ‎7．K2、J1[2012·广东卷] 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎7．D　[解析] 本题考查利用古典概型求解概率以及两个基本计数原理，解决本题的突破口是首先确定符合条件的两位数的所有个数，再找到个位是0的个数，利用公式求解，‎ 设个位数与十位数分别为y，x，则如果两位数之和是奇数，则x，y分别为一奇数一偶数：‎ 第一类x为奇数，y为偶数共有：C×C＝25；‎ 另一类x为偶数，y为奇数共有：C×C＝20.‎ 两类共计45个，其中个位数是0，十位数是奇数的两位数有10,30,50,70,90这5个数，所以个位数是0的概率为：P(A)＝＝.‎ ‎6．J1、J2[2012·浙江卷] 若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　)‎ A．60种 B．63种 C．65种 D．66种 ‎6．D　[解析] 本题考查计数原理与组合等基础知识，考查灵活运用知识与分析、解决问题的能力．要使所取出的4个数的和为偶数，则对其中取出的数字奇数和偶数的个数有要求，所以按照取出的数字奇偶数的个数分类.1,2,3，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有三类：‎ ‎①4个都是偶数：1种；‎ ‎②2个偶数，2个奇数：CC＝60种；‎ ‎③4个都是奇数：C＝5种．∴不同的取法共有66种．‎ ‎[点评] 对于计数问题，有时正确的分类是解决问题的切入点．同时注意分类的全面与到位，不要出现遗漏现象．‎ J2　排列、组合 ‎11．J2[2012·山东卷] 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为(　　)‎ A．232 B．252‎ C．472 D．484‎ ‎11．C　[解析] 本题考查排列、组合，考查运算求解能力，应用意识，中档题．‎ 法一：(排除法)先从16张卡片选3张，然后排除所取三张同色与红色的为2张的情况，‎ C－‎4C－CC＝560－88＝472.‎ 法二：有红色卡片的取法有CCCC＋CCC，不含红色卡片的取法有CCC＋CCC，总共不同取法有CCCC＋CCC＋CCC＋CCC＝472.‎ ‎8．J2[2012·陕西卷] 两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有(　　)‎ A．10种 B．15种 C．20种 D．30种 ‎8．C　[解析] 本小题主要考查排列、组合的知识，解题的突破口为找出甲或乙赢的情况进行分析计算．依甲赢计算：打三局结束甲全胜只有1种；打四局结束甲前三局赢两局，第四局必胜有C种；打五局结束甲前四局赢两局，第五局必胜有C×1＝6种；故甲胜共有10种，同样乙胜也有10种，所以共有20种，故选C.‎ ‎5．J2[2012·辽宁卷] 一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(　　)‎ A．3×3! B．3×(3！)3‎ C．(3！)4 D．9!‎ ‎5．C　[解析] 本小题主要考查排列组合知识．解题的突破口为分清是分类还是分步，是排列还是组合问题．‎ 由已知，该问题是排列中捆绑法的应用，即先把三个家庭看作三个不同元素进行全排列，而后每个家庭内部进行全排列，即不同坐法种数为A·A·A·A＝(3！)4.‎ ‎2．J2[2012·课标全国卷] 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有(　　)‎ A．12种 B．10种 C．9种 D．8种 ‎2．A　[解析] 分别从2名教师中选1名，4名学生中选2名安排到甲地参加社会实践活动即可，则乙地就安排剩下的教师与学生，故不同的安排方法共有CC＝12种．故选A.‎ ‎11．J2[2012·全国卷] 将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(　　)‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎11．A　[解析] ‎ 本小题主要考查排列组合的应用，解题的突破口为正确理解题意并进行合理分步．‎ 第一步排第一列，一定是一个a、一个b和一个c，共有A＝6种不同的排法，第二步排第二列，要求每行每列字母均不同共有2种不同的排法，则总共有‎2A＝12种不同的排法，故选A.‎ ‎6．J1、J2[2012·北京卷] 从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　)‎ A．24 B．‎18 C．12 D．6‎ ‎6．B　[解析] 本题考查排列组合计数的基础知识，考查分析问题和解决问题的能力．‎ 法一：(直接法)本题可以理解为选出三个数，放在三个位置，要求末尾必须放奇数，如果选到了0这个数，这个数不能放在首位，所以n＝CCA＋CC＝12＋6＝18；‎ 法二：(间接法)奇数的个数为n＝CCCA－CC＝18.‎ ‎10．J1、J2[2012·安徽卷] 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为(　　)‎ A．1或3 B．1或4‎ C．2或3 D．2或4‎ ‎10．D　[解析] 本题考查组合数等计数原理．‎ 任意两个同学之间交换纪念品共要交换C＝15次，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是得到5份纪念品，现在6个同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次如果不涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有4人；如果涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有2人，答案为D.‎ ‎11．J2[2012·四川卷] 方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有(　　)‎ A．60条 B．62条 ‎ C．71条 D．80条 ‎11．B　[解析] 由于要表示抛物线，首先a、b均不能为0.‎ 又b要进行平方，且只需考虑不同情况，故b2在1,4,9中考虑．‎ ‎①c＝0时，若a取1，则b2可取4或9，得到2条不同的抛物线；‎ 若a取2,3，－2，－3任意一个，b2都有1,4,9三种可能，可得到4×3＝12条抛物线；‎ 以上共计14条不同的抛物线；‎ ‎②c≠0时，在{－3，－2,1,2,3}中任取3个作为a，b，c的值，有A＝60种情况，其中a，c取定，b取互为相反数的两个值时，所得抛物线相同，这样的情形有‎4A＝24种，其中重复一半，故不同的抛物线共有60－12＝48(条)，‎ 以上两种情况合计14＋48＝62(条)．‎ ‎6．J1、J2[2012·浙江卷] 若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　)‎ A．60种 B．63种 C．65种 D．66种 ‎6．D　[解析] 本题考查计数原理与组合等基础知识，考查灵活运用知识与分析、解决问题的能力．要使所取出的4个数的和为偶数，则对其中取出的数字奇数和偶数的个数有要求，所以按照取出的数字奇偶数的个数分类.1,2,3，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有三类：‎ ‎①4个都是偶数：1种；‎ ‎②2个偶数，2个奇数：CC＝60种；‎ ‎③4个都是奇数：C＝5种．∴不同的取法共有66种．‎ ‎[点评] 对于计数问题，有时正确的分类是解决问题的切入点．同时注意分类的全面与到位，不要出现遗漏现象．‎ J3　二项式定理 ‎1．J3[2012·四川卷] (1＋x)7的展开式中x2的系数是(　　)‎ A．42 B．‎35 C．28 D．21‎ ‎1．D　[解析] 根据二项展开式的通项公式Tr＋1＝Cxr，取r＝2得x2的系数为C＝＝21.‎ ‎5．J3[2012·上海卷] 在6的二项展开式中，常数项等于________．‎ ‎5．－160　[解析] 考查二项式定理，主要是二项式的通项公式的运用．‎ 由通项公式得Tr＋1＝Cx6－rr＝(－2)rCx6－2r，令6－2r＝0，解得r＝3，所以是第4项为常数项，T4＝(－2)‎3C＝－160.‎ ‎12．J3[2012·陕西卷] (a＋x)5展开式中x2的系数为10，则实数a的值为________．‎ ‎12．1　[解析] 本小题主要考查了二项式定理，解题的关键是写出二项展开式的通项公式．其展开式的通项公式为：Tr＋1＝Ca5－rxr，令r＝2，所以x2的系数为Ca3，即有Ca3＝10，a＝1，故填1.‎ ‎13．J3[2012·湖南卷] 6的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答)‎ ‎13．－160　[解析] 由二项式的通项公式得Tr＋1＝C(2)6－rr＝(－1)r26－rCx3－r，‎ 令3－r＝0，∴r＝3，所以常数项为T4＝(－1)326－‎3C＝－160.‎ ‎5．J3[2012·湖北卷] 设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝(　　)‎ A．0 B．1‎ C．11 D．12‎ ‎5．D　[解析] 512 012＋a＝a＋(13×4－1)2 012＝(1－13×14)2012＝a＋1－C13×4＋C(13×4)2＋…＋C(13×4)2 012，‎ 显然当a＋1＝13k，k∈Z，即a＝－1＋13k，k∈Z时，512 012＋a＝13×4[－C＋C(13×4)1＋…＋C(13×4)2 011]，能被13整除．因为a∈Z，且0≤a<13, 所以a＝12.故选D.‎ ‎10．J3[2012·广东卷] 6的展开式中x3的系数为________．(用数字作答)‎ ‎10．20　[解析] 本题考查二项展开式特定项的系数问题，解题关键是正确写出展开式的通项，Tr＋1＝Cx2(6－r)r＝Cx2(6－r)x－r＝Cx12－3r，令12－3r＝3，解得r＝3，所以x3的系数为：‎ C＝20.‎ ‎11．J3[2012·福建卷] (a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________.‎ ‎11．2　[解析] 本题考查二项展开式特定项的系数问题，解题关键是正确写出展开式的通项，该二项式的通项是Tr＋1＝Ca4－rxr, x3的系数为8，即令r＝3，所以Ca1＝8，所以‎4a＝8，所以a＝2.‎ ‎15．J3[2012·全国卷] 若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为________．‎ ‎15．56　[解析] 本小题主要考查二项式定理中通项公式的应用，解题的突破口为先利用二项式系数相等求出n，再结合通项公式即可．‎ 由题有C＝C，∴n＝8，Tr＋1＝Cx8－rr＝C2r－8，令2r－8＝2⇒r＝5，∴的系数为C＝56，故填56.‎ ‎7．J3[2012·安徽卷] (x2＋2)5的展开式的常数项是(　　)‎ A．－3 B．－2‎ C．2 D．3‎ ‎7．D　[解析] 本题考查二项式定理的简单应用．‎ 因为5＝x25＋25，又25展开式中的常数项为‎2C05＝－2，x25展开式中的常数项为x‎2C14＝5，故二项式5展开式中的常数项为－2＋5＝3.‎ ‎5．J3[2012·天津卷] 在5的二项展开式中，x的系数为(　　)‎ A．10 B．－‎10 C．40 D．－40‎ ‎5．D　[解析] 本题考查二项式定理，考查运算求解能力，容易题．‎ Tk＋1＝C(2x2)5－kk＝(－1)kC25－kx10－3k，令10－3k＝1，即k＝3，‎ 此时x的系数为(－1)‎3C22＝－40.‎ ‎14．J3、B12[2012·浙江卷] 若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.‎ ‎14．10　[解析] 本题主要考查函数的解析式以及二项式定理．‎ 法一：由于f(x)＝x5＝5那么a3＝C(－1)2＝10，故应填10.‎ 法二：对等式f(x)＝x5＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5两边连续对x求导三次得：60x2＝‎6a3＋‎24a4(1＋x)＋‎60a5(1＋x)2，再运用赋值法，令x＝－1得：60＝‎6a3，即a3＝10.‎ 法三：由等式两边对应项系数相等．‎ 即⇒a3＝10.‎ ‎[点评] 正确地把函数与二项展开式加以对比，再结合二项式定理加以分析与应用．注意等式的拆分与组合．‎ ‎4．J3[2012·重庆卷] 8的展开式中常数项为(　　)‎ A. B. C. D．105‎ ‎4．B　[解析] 展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C·()8－k·k＝kCx4－k.令4－k＝0，则k＝4，所以展开式中常数项为‎4C＝.‎ J4 单元综合