高中数学二轮专题复习学案-专题 函数与方程思想 14页

专题 函数与方程思想 【思想方法诠释】 函数与方程都是中学数学中最为重要的内容。而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎 渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点。 1．函数的思想 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运 用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识， 用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。经常利用的性质是单调性、奇偶 性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。 2．方程的思想 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方 程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的教学是对方程概念的本质 认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中 的等量关系。 3．函数思想与方程思想的联系 函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以 转化为函数问题加以解决，如解方程 f(x)=0，就是求函数 y=f(x)的零点，解不等式 f(x)>0(或 f(x)<0)，就是 求函数 y=f(x)的正负区间，再如方程 f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数 y=f(x)-g(x)与 x 轴交点问题， 方程 f(x)=a 有解，当且公当 a 属于函数 f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。 4．函数与方程思想解决的相关问题 （1）函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面： ①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题； ②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到 化难为易，化繁为简的目的。 （2）方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面： ①解方程或解不等式； ②带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间 上恒成立等知识应用； ③需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系； ④构造方程或不等式求解问题。 【核心要点突破】 要点考向 1：运用函数与方程的思想解决字母或式子的求值或取值范围问题 例 1：若 a、b 是正数，且满足 ab=a+b+3，求 ab 的取值范围。 思路精析：用 a 表示 b→根据 b＞0，求 a 的范围→把 ab 看作 a 的函数→求此函数的值域。 解析：方法一：（看成函数的值域） 即 a＞1 或 a＜-3.又 a＞0,∴a＞1,故 a-1＞0。 当且仅当 a-1= 4 1a  ，即 a=3 时取等号.又 a＞3 时, a-1+ +5 是关于 a 的单调增函数, ∴ab 的取值范围是[9,+∞). 方法二(看成不等式的解集)∵a,b 为正数, ∴a+b≥2 ab ,又 ab= a+b+3, ∴ab≥2 +3. 即 解得 方法三:若设 ab=t,则 a+b=t-3, ∴a,b 可看成方程 的两个正根. 从而有 ,即 解得 t≥9,即 ab≥9. 注(1)求字母(或式子)的值问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程 (组),然后由 方程 (组)求得. (2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等知识中的重要问题。解决这类问题 一般有两条途径，其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式（组）求解；其 二，充分应用题设是的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域. (3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信号，构造方程后再利用方程知 识可使问题巧妙解决. (4)当问题中出现多个变量时,往往要利用等量关系去减少变量的个数,如最后能把其中一个变量表示 成关于另一个变量的表达式,那么就可用研究函数的方法将问题解决. 要点考向 2：运用函数与方程思想解决方程问题 例 2 ： 已 知 函 数 2 11( ) 2cos cos cos2 ,2 2 2 xf x x x   2( ) cos (1 cos ) cos 3.g x x a x     或 ()y f x 与 ()y g x 的图象在(0, ) 内至少有一个公共点，试求 a 的取值范围。 思路精析：化简 ()fx的解析式→令 = ()gx→分离 →求函数的值域→确定 的范围 解析： 22 2 1 1 1 1( ) 2cos cos cos 2 cos (cos 1) (2cos 1)2 2 2 2 2 2cos cos 1. xf x x x x x x xx            与 的图象在 内至少有一个公共点，即 () () y f x y g x    有解，即令 = ， 当且仅当 ，即 cosx=0 时“=”成立。 ∴当 a≥2 时， ()y f x 与 ()y g x 所组成的方程组在(0, ) 内有解，即 与 的图 象至少有一个公共点。 注：（1）本例中把两函数图象至少有一个公共点问题转化为方程有解问题．即把函数问题用方程的思 想去解决． （2）与本例相反的一类问题是已知方程的解的情问题，求参数的取值范围．研究此类含参数的三角、 指数、对数等复杂方程解的问题的，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求 函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程；进而利用二次方程解的分布情况构建不 等式（组）或构造函数加以解决． 要点考向 3：运用函数与方程思想解决不等式问题 例 3：（1）已知 且 那么（） （2）设不等式 对满足 m∈[-2，2]的一切实数m 都成立，求 x 的取值范围． 思路精析：（1）先把它变成等价形式 再构造辅助函数 利用函 数单调性比较． （2）此问题常因为思维定势，易把它看成关于 x 的不等式讨论，若变换一个角度，以 m 为变量，使 f(m)= ，则问题转化为求一次函数（或常函数）f(m)的值在[-2，2]内恒负时，参数 x 应满足的条件． 解析：（1）选 B．设 因为 均为 R 上的增函数，所以 是 R 上的增函数．又由 ，即 ，即 x+y＞0． (2)设 f(m)= ，则不等式 2x-1＞m 恒成立 恒成立．∴ 在 时， 即 解得 ，∴ 故 x 的取值范围是 ． 注：1．在解决值的大小比较问题时，通过构造适当的函数，利用函数的单调性或图象解决是一种重 要思想方法； 2．在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数利用函数的图象和性质 解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系， 使问题更明朗化，一般地，已知存在范围的量为变量而待求范围的量为参数． 要点考向 3：运用函数与方程思想解决最优化问题 例 4：图 1 是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图 2 是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其 中四边形 ABCD 是矩形，弧 CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为 4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比， 比例系数为 3 ,设 AB=2x,BC=y. （Ⅰ）写出 y 关于 x 函数表达式，并指出 x 的取值范围； （Ⅱ）求当 x 取何值时，凹槽的强度最大. 解析：（Ⅰ）易知半圆 CmD 的半径为 x，故半圆 CmD 的弧长为 x .所以 4 2 2x y x   ， 得 4 (2 ) 2 xy  ----------------------4 分 依题意知： 0 xy 得 40 4x  所以， 4 (2 ) 2 xy  （ 40 4x  ）. ----------------------6 分 （Ⅱ）依题意，设凹槽的强度为 T，横截面的面积为 S，则有 2 3 3(2 )2 xT S xy    ----------------------8 分 24 (2 )3(2 )22 xxx    233[4 (2 ) ]2xx   23(4 3 ) 4 8 3()2 4 3 4 3x      . ------------11 分 因为 440 4 3 4 ,所以，当 4 43x   时，凹槽的强度最大. 答: 当 4 43x   时，凹槽的强度最大. --------------13 分 注：解析几何、立体几何及实际应用问题中的最优化问题，一般是利用函数的思想解决，思路是先选 择恰当的变量建立目标函数，然后再利用有关知识，求函数的最值。 【跟踪模拟训练】 一、选择题（每小题 6 分，共 36 分） 1.已知正数 x,y 满足 xy=x+9y+7，则 xy 的最小值为( ) (A)32 (B)43 (C)49 (D)60 2．方程 有解，则 m 的最大值为（ ） (A)1 (B)0 (C)-1 (D)-2 3.一个高为 h0，满缸水量为 V0 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部有一个小洞， 满缸水从洞中流出，当鱼缸口高出水面的高度为 h 时，鱼缸内剩余水的体积 为 V,则函数 V=f(h)的大致图象可能是（ ） 4.对任意 a∈［-1,1］，函数 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 的值总大于零，则 x 的取值范围是( ) (A)13 (C)12 5.若正实数 a,b 满足 ab=ba，且 a<1,则有( ) (A)a>b (B)a0,且 g(-3)=0, 则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是______. 三、解答题(10、11 题每题 15 分，12 题 16 分，共 46 分) 10.已知二次函数 f(x)=ax2+bx(a,b 为常数，且 a≠0)满足条件:f(x-1)=f(3-x)且方程 f(x)=2x 有相等实根. (1)求函数 f( x)的解析式; (2)是否存在实数 m,n(m0 得 a(x-2)+x2-4x+4>0， 令 g(a)=a(x-2)+x2-4x+4，由不等式 f(x)>0 恒成立,即 g(a)>0 在［-1,1］上恒成立. 5． 6． 7． 8． 9．【解析】令 F(x)=f(x)g(x)，由 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，得 F(x)是奇函数. 又当 x<0 时，F′(x)=f′（x）g(x)+f(x)g′(x)>0，∴x<0 时，F(x)为增函数. 又 F(x)为奇函数，故 F(x)在［0，+∞）也是增函数. ∵F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3)， ∴F(x)<0 的解集是(-∞,-3)∪(0,3)， 如图.答案：（-∞,-3）∪（0，3） 10．【解析】(1)∵方程 ax2+bx-2x=0 有相等实根, ∴Δ =(b-2)2=0,得 b=2,由 f(x-1)=f(3-x)知此函数图象的对称轴 方程为 x= =1,得 a=-1.故 f(x)=-x2+2x. 11．【解析】以点 O 为原点，OA 所在的直线为 x 轴，建立直角坐标系，设抛物线的方程为 x2=2py， 由 C(2,4)代入得:p= ，所以曲线段 OC 的方程为:y=x2(x∈［0,2］). A(-2,0)，B(-2,4),设 P(x,x2)(x∈［0,2］)，过 P 作 PQ⊥AB 于 Q，PN⊥BC 于 N,故 PQ=2+x,PN=4-x2， 则矩形商业楼区的面积 S=(2+x)(4-x2)(x∈［0,2］).S=-x3-2x2+4x+8， 12． 【备课资源】 1.已知抛物线 y2=4x 上一点 A(x0,y0)，F 是其焦点，若 y0∈［1,2］，则|AF|的范围是( ) (A)［ ,1］ (B)［ ,2］ (C)［1,2］ (D)［2，3］ 【解析】选 B.抛物线准线方程为 x=-1,则|AF|=x0+1, 4.已知命题 p：“对 x∈R， m∈R，使 4x+2xm+1=0”，若命题 p 是假命题，则实数 m 的取值范围是( ) (A)-2≤m≤2 (B)m≥2 (C)m≤-2 (D)m≤-2 或 m≥2 【解析】选 C.由已知：命题 p 为真命题,即方程 4x+2xm+1=0 有解,∴-m=2x+2-x≥2，即 m≤-2. 6.已知函数 f(x)=ln(2x)和 g(x)=2ln(2x+m-2)，m∈R 的图象在 x=2 处的切线互相平行. (1)求 m 的值； (2)设 F(x)=g(x)-f(x).当 x∈［1,4］时,F(x)≥2tln4 恒成立,求 t 的取值范围. 所以当 1≤x<2 时，G′(x)<0，当 20.[ 故 G(x)在［1,2)是单调减函数,在(2,4］是单调增函数.所以 G(x)min=G(2)=16，G(x)max=G(1)=G(4)=18. 因为当 x∈［1,4］时，F(x)≥2tln4 恒成立,所以 F(x)min≥2tln4.即 ln16≥2tln4，解得 t≤1. 综上所述,满足条件的 t 的取值范围是(-∞,1］. 7.国际上钻石的重量计量单位为克拉.已知某种钻石的价值 v（美元）与其重量ω （克拉）的平方成正比， 且一颗重为 3 克拉的该种钻石的价值为 54 000 美元. （1）写出 v 关于ω 的函数关系式； （2）若把一颗钻石切割成重量比为 1∶3 的两颗钻石，求价值损失的百分率； （3）试用你所学的数学知识证明：把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为 1∶1 切割，价值损失的百 分率最大. 【解析】（1）依题意设 v=kω 2,又当ω =3 时，v=54 000，∴k=6 000.故 v=6 000ω 2.