上海市理工大附中2015-2016学年高二（上）第二次月考数学试卷（解析版） 14页

‎2015-2016学年上海市理工大附中高二（上）第二次月考数学试卷 ‎　‎ 一、填空题：（共16小题，每题4分）‎ ‎1．化简： =　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎2．计算=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎3．方程组的增广矩阵为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎4．已知等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎5．计算： =　　　　　　；‎ ‎　‎ ‎6．若向量，满足且与的夹角为，则=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎7．若行列式中，元素1的代数余子式的值大于0，则x的取值范围是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎8．已知，，且，的夹角为锐角，则x的取值范围是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎9．若，且设，则实数λ=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎10．若，则=　　　　　　．‎ ‎　‎ 第14页（共14页）‎ ‎11．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎12．若，则正整数x=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎13．五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎14．小李打算从10位朋友中邀请4位去旅游，这10位朋友中有一对是双胞胎，对于这对双胞胎，要么都邀请，要么都不邀请，则不同的邀请方法有　　　　　　种．‎ ‎　‎ ‎15．（2x3﹣）7的展开式中常数项是　　　　　　．（用数字作答）‎ ‎　‎ ‎16．若（3x+1）n（n∈N*）的展开式中各项系数的和是256，则展开式中x2项的系数是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎17．如图所示的程序框图中，最后输出的W=　　　　　　；‎ ‎　‎ ‎　‎ 二、解答题：‎ 第14页（共14页）‎ ‎18．用行列式解关于x、y的方程组：（a∈R），并对解的情况进行讨论．‎ ‎　‎ ‎19．已知，，‎ ‎（1）若，求与的夹角；‎ ‎（2）若与的夹角为60°，试确定实数k，使与垂直．‎ ‎　‎ ‎20．数列an中，a1=﹣3，an=2an﹣1+2n+3（n≥2且n∈N*）．‎ ‎（1）求a2，a3的值；‎ ‎（2）设，证明{bn }是等差数列；‎ ‎（3）求数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎　‎ ‎　‎ 第14页（共14页）‎ ‎2015-2016学年上海市理工大附中高二（上）第二次月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题：（共16小题，每题4分）‎ ‎1．化简： =　　．‎ ‎【考点】向量加减混合运算及其几何意义．‎ ‎【专题】计算题；规律型；平面向量及应用．‎ ‎【分析】直接利用向量的加法运算法则求解即可．‎ ‎【解答】解： =．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查向量的加法运算法则的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎2．计算=　　．‎ ‎【考点】二阶矩阵．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】本题直接根据二阶矩阵的乘法的运算法则进行运算即可求出所求．‎ ‎【解答】解： =‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了二阶矩阵乘法的性质，同时考查了矩阵乘法法则，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．方程组的增广矩阵为　　．‎ ‎【考点】几种特殊的矩阵变换．‎ ‎【专题】规律型．‎ ‎【分析】理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵．‎ ‎【解答】解：由题意，方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵 第14页（共14页）‎ 故方程组的增广矩阵是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．‎ ‎　‎ ‎4．已知等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是　15　．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，再由a4=1=a1+3d，解方程求得a1和公差d的值，从而求得a12的值．‎ ‎【解答】解：设公差等于d，由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，即 a1+7d=8．‎ 再由a4=1=a1+3d，可得 a1=﹣，d=．‎ 故 a12 =a1+11d=﹣+=15，‎ 故答案为 15．‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列的等差数列的通项公式的应用，求出首项和公差d的值，是解题的关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．计算： =　　；‎ ‎【考点】极限及其运算．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】=，由此能够导出：．‎ ‎【解答】解：．‎ 答案：．‎ ‎【点评】本题考查组合和极限的基本性质，解题时要认真审题，仔细解除，注意公式的灵活运用．‎ 第14页（共14页）‎ ‎　‎ ‎6．若向量，满足且与的夹角为，则=　　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据可得答案．‎ ‎【解答】解：∵且与的夹角为 ‎∴=7‎ ‎∴则=‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题主要考查向量的数量积运算，属基础题．‎ ‎　‎ ‎7．若行列式中，元素1的代数余子式的值大于0，则x的取值范围是　　．‎ ‎【考点】三阶矩阵．‎ ‎【专题】选作题；矩阵和变换．‎ ‎【分析】行列式中，元素1的代数余子式大于0，可得﹣＞0，可得x满足的条件．‎ ‎【解答】解：∵行列式中，元素1的代数余子式大于0，‎ ‎∴﹣＞0‎ ‎∴﹣45+8x＞0‎ ‎∴x＞‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查行列式，考查代数余子式的概念，考查解不等式，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎8．已知，，且，的夹角为锐角，则x的取值范围是　（﹣4，1）∪（1，+∞）　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【专题】计算题；规律型；方程思想；平面向量及应用．‎ 第14页（共14页）‎ ‎【分析】直接利用向量的数量积化简求解即可．‎ ‎【解答】解：，，且，的夹角为锐角，‎ 可得：2x+8＞0，解得x＞﹣4．当x=1时，且，的夹角为0°，‎ x的取值范围是：（﹣4，1）∪（1，+∞）．‎ 故答案为：（﹣4，1）∪（1，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查向量的数量积的应用，是基础题．‎ ‎　‎ ‎9．若，且设，则实数λ=　　．‎ ‎【考点】线段的定比分点．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】设|P1P|=2，则|PP2|=3，由 λ==﹣运算求得结果．‎ ‎【解答】解：如图所示：由于，设|P1P|=2，则|PP2|=3．‎ 由可得 λ==﹣=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查线段的定比分点的定义，把向量之比用线段的长度之比来表示，是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．若，则=　2　．‎ ‎【考点】极限及其运算；数列的求和．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由=，利用等比数列的求和公式可求 ‎【解答】解：∵‎ ‎=‎ 第14页（共14页）‎ ‎=‎ ‎=‎ 则=‎ 故答案为：2‎ ‎【点评】本题主要考查了分组求和及等比数列的求和公式的应用，数列极限的求解，属于公式的综合应用．‎ ‎　‎ ‎11．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200=　100　．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和；数列递推式；三点共线．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】因为，且A、B、C共线，所以a1+a200=1，所以=100．‎ ‎【解答】解：A、B、C三点共线的充要条件是：对平面内任意一点O，‎ 都有．‎ 因为，且A、B、C共线，‎ 所以a1+a200=1，‎ 所以=100．‎ 故答案为：100．‎ ‎【点评】本题考查等差数列前n项和的求法，解题时要认真审题，解题的关键是A、B、C三点共线的充要条件是：对平面内任意一点O，都有．‎ ‎　‎ ‎12．若，则正整数x=　7或9　．‎ ‎【考点】组合及组合数公式．‎ 第14页（共14页）‎ ‎【专题】方程思想；转化法；排列组合．‎ ‎【分析】根据组合数公式，列出方程，即可求出x的值．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴2x﹣7=x或2x﹣7+x=20，‎ 解得x=7或x=9．‎ 故答案为：7或9．‎ ‎【点评】本题考查了组合数公式的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎13．五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有　96　．‎ ‎【考点】计数原理的应用．‎ ‎【专题】应用题；排列组合．‎ ‎【分析】依题意，优先分析甲甲工程队，除1号子项目外有4种方法，其他4个工程队分别对应4个子项目，由排列公式可得其情况数目，根据乘法原理，分析可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，甲工程队不能承建1号子项目，则有4种方法，‎ 其他4个工程队分别对应4个子项目，有A44种情况，‎ 根据乘法原理，分析可得有C41A44=96种情况；‎ 故答案为：96．‎ ‎【点评】本题考查排列、组合的应用，注意优先分析受到限制的元素．‎ ‎　‎ ‎14．小李打算从10位朋友中邀请4位去旅游，这10位朋友中有一对是双胞胎，对于这对双胞胎，要么都邀请，要么都不邀请，则不同的邀请方法有　98　种．‎ ‎【考点】排列、组合的实际应用．‎ ‎【专题】计算题；分类讨论；定义法；排列组合．‎ ‎【分析】分两类，第一类，这对双胞胎都邀请，第二类，这对双胞胎都不邀请，根据分类计数原理可得．‎ ‎【解答】解：第一类，这对双胞胎都邀请，有C82=28种，‎ 第二类，这对双胞胎都不邀请，有C84=70种，‎ 根据分类计数原理知共有28+70=98，‎ 故答案为：98．‎ 第14页（共14页）‎ ‎【点评】本题考查分类计数原理，这是经常出现的一个问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几类，每一类包含几种方法，把几个步骤中数字相加得到结果．‎ ‎　‎ ‎15．（2x3﹣）7的展开式中常数项是　14　．（用数字作答）‎ ‎【考点】二项式定理．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．‎ ‎【解答】解：展开式的通项为=‎ 令得r=6‎ ‎∴展开式中常数项是T7=2C76=14‎ 故答案为14‎ ‎【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．‎ ‎　‎ ‎16．若（3x+1）n（n∈N*）的展开式中各项系数的和是256，则展开式中x2项的系数是　54　．‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【专题】二项式定理．‎ ‎【分析】根据展开式中各项系数的和求出n的值，再由通项公式Tr+1求出展开式中x2项的系数．‎ ‎【解答】解：根据题意，展开式中各项系数的和是 ‎（3+1）n=256，‎ ‎∴n=4；‎ 该二项式的通项公式是 Tr+1=•（3x）r•14﹣r，‎ 令r=2，得：‎ ‎•（3x）2=•9•x2=54x2；‎ ‎∴展开式中x2项的系数是54．‎ 故答案为：54．‎ 第14页（共14页）‎ ‎【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，解题时应弄清二项式系数、展开式中各项的系数是什么，是基础题．‎ ‎　‎ ‎17．如图所示的程序框图中，最后输出的W=　22　；‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【专题】操作型；算法和程序框图．‎ ‎【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量W的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：第一次执行循环体后：S=1，不满足退出循环的条件，故T=3；‎ 第二次执行循环体后：S=8，不满足退出循环的条件，故T=5；‎ 第三次执行循环体后：S=17，满足退出循环的条件，‎ 故W=S+T=17+5=22，‎ 故输出的结果为22，‎ 故答案为：22‎ ‎【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．‎ ‎　‎ 二、解答题：‎ ‎18．用行列式解关于x、y的方程组：（a∈R），并对解的情况进行讨论．‎ ‎【考点】二阶矩阵．‎ 第14页（共14页）‎ ‎【专题】矩阵和变换．‎ ‎【分析】本题先求出相关行列式D、Dx、Dy的值，再讨论分式的分母是否为0，用公式法写出方程组的解，得到本题结论．‎ ‎【解答】解：∵关于x、y的方程组：（a∈R），‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎（1）当a≠±1时，D≠0，方程组有唯一解，，‎ ‎（2）当a=﹣1时，D=0，Dx≠0，方程组无解；‎ ‎（3）当a=1时，D=Dx=Dy=0，方程组有无穷多解，．‎ ‎【点评】本题考查了用行列式法求方程组的解，本题难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎19．已知，，‎ ‎（1）若，求与的夹角；‎ ‎（2）若与的夹角为60°，试确定实数k，使与垂直．‎ ‎【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；综合法；平面向量及应用．‎ ‎【分析】（1）由=2+3﹣2=﹣20，能求出与的夹角．‎ ‎（2）由==0，能求出k．‎ ‎【解答】解：（1）∵，，，‎ ‎∴=2+3﹣2‎ ‎=2×9﹣2×16+3×3×4×cos＜＞=﹣20，‎ ‎∴cos＜＞=﹣，‎ 第14页（共14页）‎ ‎∴＜＞=arccos（﹣）=．‎ ‎∴与的夹角为．‎ ‎（2）∵，，与的夹角为60°，与垂直，‎ ‎∴==0，‎ ‎∴9k+（1﹣k）×3×4×cos60°﹣16=0，‎ 解得k=．‎ ‎【点评】本题考查向量的夹角的求法，考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量数量积公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎20．数列an中，a1=﹣3，an=2an﹣1+2n+3（n≥2且n∈N*）．‎ ‎（1）求a2，a3的值；‎ ‎（2）设，证明{bn }是等差数列；‎ ‎（3）求数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列的求和；等差关系的确定．‎ ‎【专题】计算题；转化思想．‎ ‎【分析】（1）由数列的递推公式求指定项，令n=2，3代入即可；‎ ‎（2）由an=2an﹣1+2n+3及，只要验证bn﹣bn﹣1是个常数即可；‎ ‎（3）根据（2）证明可以求得bn，进而求得an，从而求得sn．‎ ‎【解答】解：（1）a2=2a1+2+3=1，a3=2a22+23+3=13‎ ‎（2）．‎ ‎∴数列{bn }是公差为1的等差数列．‎ ‎（3）由（2）得，∴an=（n﹣1）•2n﹣3（n∈N*）‎ ‎∴sn=0×21+1×22+…+（n﹣1）2n﹣3n 令Tn=0×21+1×22+…+（n﹣1）2n 第14页（共14页）‎ 则2Tn=0×22+1×23+…+（n﹣2）2n+（n﹣1）2n+1‎ 两式相减得：﹣Tn=22+23+…+2n﹣（n﹣1）•2n+1‎ ‎==（2﹣n）•2n+1﹣4‎ ‎∴Tn=（n﹣2）•2n+1+4‎ ‎∴sn=（n﹣2）2n+1﹣3n+4．‎ ‎【点评】考查数列的基本运算，和等差数列的证明方法，错位相减法求和问题，很好，属中档题．‎ ‎　‎ 第14页（共14页）‎