2017学年高二上学期期中考试数学(理)试卷3 14页

‎2017学年度高二第一学期期中考试理科数学试题－‎ 理科数学 ‎(必修1～5，选修2－1第1、2章)‎ 时量：120分钟　满分：100 分(必考试卷Ⅰ)，50分(必考试卷Ⅱ)‎ 得分：____________‎ 必考试卷Ⅰ(满分100分)‎ 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．某学校为了了解高二年级学生对教师教学的意见，打算从高二年级883名学生中抽取80名进行座谈，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从883人中剔除3人，剩下880人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率是 A. B. C. D. 无法确定 ‎2．下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩(成绩为整数，满分为100)，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为 A. B. C. D. ‎3．已知向量α＝(1，－3)，β＝(4，－2)，若实数λ使得λα＋β与α垂直，则λ＝‎ A．－1 B．1 C．－2 D．2‎ ‎4. 平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足||＋||为常数”是“M的轨迹是椭圆”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5. 函数f(x)＝sin＋cos的最大值为 A. B. C．2 D．3‎ ‎6. 下列命题中正确的有 ‎①命题x∈R，使sin x＋cos x＝的否定是“对x∈R，恒有sin x＋cos x≠”；‎ ‎② “a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的充要条件；‎ ‎③若曲线C上的所有点的坐标都满足方程f(x，y)＝0，则称方程f(x，y)＝0是曲线C的方程；‎ ‎④十进制数66化为二进制数是1 000 010(2)．‎ A．①②③④ B．①④‎ C．②③ D．③④‎ ‎7. 设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是 A．已知c⊥α，若c⊥β，则α∥β B．已知bβ，c是a在β内的射影，若b⊥c，则b⊥a C．已知bβ，若b⊥α，则β⊥α D．已知bα，cα，若c∥α，则b∥c ‎8. 双曲线x2－＝1位于第一象限内的点P到该双曲线的右焦点的距离为2，则由双曲线的两焦点及点P构成的三角形面积S＝‎ A. B．4 C．2 D．5‎ ‎9．程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 A．－ B．－ C．－ D. － ‎10．已知x，y∈[－2，2]，任取x、y，则使得(x2＋y2－4)≤0的概率是 A. B. C. D. 答题卡 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．‎ ‎11．双曲线－＝1的离心率e＝，其两条渐近线方程是________．‎ ‎12．一个多面体内接于一个旋转体，其正视图、左视图及俯视图都是一个圆的正中央含一个正方形，如图，若正方形的边长是1，则该旋转体的表面积是________．‎ ‎13．若椭圆＋＝1(a>b>0)上的任意一点P到右焦点F的距离均满足－2a＋c2≤0，则该椭圆的离心率e的取值范围为________．‎ 三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎14．(本小题满分11分)‎ 从一批土鸡蛋中，随机抽取n个得到一个样本，其重量(单位：克)的频数分布表如下：‎ 分组(重量)‎ ‎[80，85)‎ ‎[85，90)‎ ‎[90，95)‎ ‎[95，100]‎ 频数(个)‎ ‎10‎ ‎50‎ m ‎15‎ 已知从n个土鸡蛋中随机抽取一个，抽到重量在的土鸡蛋的概率为.‎ ‎(1)求出n，m的值及该样本的众数的近似值；‎ ‎(2)用分层抽样的方法从重量在和的土鸡蛋中共抽取5个，再从这5个土鸡蛋中任取2个，其重量分别是g1 、g2，求|g1－g2|>10的概率．‎ ‎15.(本小题满分12分)‎ 已知命题p：方程＋＝1表示双曲线，命题q：x∈(0，＋∞)，x2－mx＋4≥0恒成立，若p∨q是真命题，且綈(p∧q)也是真命题，求m的取值范围．‎ ‎16.(本小题满分12分)‎ 已知焦点在x正半轴上，顶点为坐标系原点的抛物线过点A(1，－2)．‎ ‎(1)求抛物线的标准方程；‎ ‎(2)过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于两点M、N，且△MNO(O为原点)的面积为2，求直线l的方程．‎ 必考试卷Ⅱ(满分50分)‎ 一、选择题：本大题共2个小题，每小题5分，满分10分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．点P在以F为焦点的抛物线y2＝4x上运动，点Q在直线x－y＋5＝0上运动，则＋的最小值为(　　)‎ A．4 B．2 C．3 D．6‎ ‎2．f(x)是定义在R的以3为周期的奇函数，且f(2)＝0，则函数f(x)在区间[－3，3]内的零点个数的最小值是(　　)‎ A．4 B. 5 C. 7 D．9‎ 二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．‎ ‎3．已知实数x，y使得x2＋4y2－2x＋8y＋1＝0，则x＋2y的最小值等于________．‎ 三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎4．(本小题满分10分)‎ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csin A＝acos C.‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)求sin A－cos的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．‎ ‎5.(本小题满分12分)‎ 已知等差数列满足：a2＝3，a5－2a3＋1＝0.‎ ‎(1)求的通项公式；‎ ‎(2)若数列满足：bn＝(－1)nan＋n(n∈N*)，求的前n项和Sn.‎ ‎6.(本小题满分13分)‎ 如图，已知焦点在x轴上的椭圆＋＝1(b>0)有一个内含圆x2＋y2＝，该圆的垂直于x轴的切线(左侧)交椭圆于点M，N，且⊥(O为原点)．‎ ‎(1)求b的值；‎ ‎(2)设内含圆的任意切线l交椭圆于点A、B，求证：⊥，并求||的取值范围．‎ 理科数学参考答案 必考试卷Ⅰ 一、选择题．‎ 题　号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答　案 B D A B C B C A C D ‎1.B ‎2．D　【解析】记其中被污损的数字为x.依题意得甲的5 次综合测评的平均成绩为90，乙的5 次综合测评的平均成绩为(442＋x)，令(442＋x)≥90，由此解得x≥8，即x的可能取值为8和9，由此乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为＝ ，选D.‎ ‎3．A　【解析】λα＋β＝(λ＋4，－3λ－2)，代入(λα＋β)·α＝0，解得λ＝－1.‎ ‎4．B ‎5．C　【解析】f(x)＝sin＋cos＝sin x＋cos x，知其最大值为2.‎ ‎6．B ‎7．C ‎8．A　【解析】由双曲线定义知，三角形三边分别为4，4，2，其面积值为S＝.‎ ‎9．C　【解析】据程序框图， 可看做是：‎ 已知a1＝＝－2，an＋1＝，求a2 016，‎ 由已知有＝－1，求出通项an＝－(或由前几项归纳)，故a2 016＝－.‎ ‎10．D　【解析】(x2＋y2－4)≤0等价于满足：‎ ‎　，即如图中的的阴影部分，故所求概率为阴影部分占正方形的面积比．‎ 二、填空题．‎ ‎11．y＝±x ‎12．3π　【解析】原几何体是一个棱长为1的正方体内接于一个球，则球的直径是，故球的表面积是4π＝3π.‎ ‎13.　【解析】－2a＋c2≤0－2a＋a2－b2≤0即a－b≤≤a＋b，‎ 而椭圆中，a－c≤≤a＋c，故c≤bc2≤a2－c2e∈.‎ 三、解答题．‎ ‎14．【解析】(1)依题意可得，，从而得m＝20，n＝95.(4分)‎ 据表知该样本的众数的近似值是87.5.(5分)‎ ‎(2)若采用分层抽样的方法从重量在[80 , 85)和[95 , 100]的土鸡蛋中共抽取5个，则重量在[80 , 85)的个数为×5＝2；记为x，y，(6分)‎ 在[95 , 100]的个数为×5＝3；记为a，b，c，(7分)‎ 从抽出的5个土鸡蛋中，任取2个共有(x , a)，(x , b)，(x , c)，(a , b)，(a , c)，(b , c) ，(y , a)，(y , b)，(y , c)，(x , y) 10种情况．(9分)‎ 要|g1－g2|>10，则必须是“重量在[80 , 85)和[95 , 100]中各有一个”，这样的情况共有(x , a)，(x , b)，(x , c)，(y , a)，(y , b)，(y , c) 6种．‎ 设事件A 表示“抽出的5个土鸡蛋中，任取2个，重量满足|g1－g2|>10”，则P(A)＝＝.‎ 答：从抽出的5个土鸡蛋中，任取2个，重量满足|g1－g2|>10的概率为.(11分)‎ ‎15．【解析】p真时有：(m－2)(m－5)<0即20)．将点A(1，－2)的坐标代入方程，得p＝2，‎ 故所求抛物线的标准方程为y2＝4x.(3分)‎ ‎(2)若直线l⊥x轴，则M(1，2)，N(1，－2)，此时△MNO的面积为2，不合题设；(4分)‎ 若直线l与x轴不垂直，令M(x1，y1)，N(x2，y2)，l：y＝k(x－1) (k≠0)，将其代入抛物线方程y2＝4x，并整理得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，‎ 则.(7分)‎ 于是，＝＝，‎ ‎(或|MN|＝x1＋x2＋p＝＋2＝)‎ 又原点到直线l的距离为d＝，(9分)‎ 则2＝·d＝··，‎ 解得，k＝－1或1.‎ 综上，所求直线l的方程为y＝－x＋1或y＝x－1.(12分)‎ ‎(或设直线方程是x＝my＋1解之)‎ 必考试卷Ⅱ 一、选择题．‎ ‎1．C　【解析】＋的最小值为点F(1，0)到直线x－y＋5＝0的距离d＝3.‎ ‎2．D　【解析】f(2)＝0f(－2)＝0f(1)＝0f(－1)＝0，‎ f(0)＝0f(3)＝0f(－3)＝0，‎ f＝f＝f，又f＝－f，则f＝f＝0，故至少可得9个零点．‎ 二、填空题．‎ ‎3．－2－1　【解析】x2＋4y2－2x＋8y＋1＝0(x－1)2＋4(y＋1)2＝4，令，则x＋2y＝2cos θ＋2sin θ－1≥－2－1.‎ 三、解答题．‎ ‎4．【解析】(1)由正弦定理得sin Csin A＝sin Acos C.‎ 因为00sin C＝cos C，‎ 又cos C≠0tan C＝1C＝.(4分)‎ ‎(2)由(1)知B＝－A.于是sin A－cos＝sin A－cos(π－A)‎ ‎＝sin A＋cos A＝2sin.(6分)‎ 由00，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，(7分)‎ x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝＝0，即⊥.‎ 即椭圆的内含圆x2＋y2＝的任意切线l交椭圆于点A、B时总有⊥.(9分)‎ 当l⊥x轴时，易知|AB|＝2＝.(10分)‎ 当l不与x轴垂直时，|AB|＝ ‎＝＝，‎ 设t＝1＋2k2∈[1，＋∞)，∈(0，1]，‎ 则|AB|＝＝.‎ 所以＝即k＝±时，|AB|取最大值2，＝1即k＝0时|AB|取最小值，综上|AB|∈.(13分)‎