高考数学复习专题练习第2讲 圆与圆的方程 6页

第2讲 圆与圆的方程 一、选择题 ‎1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是(　　)‎ A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1[来XK]‎ C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1‎ 解析 设圆的圆心C(0，b)，则＝1，‎ ‎∴b＝2.∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.‎ 答案 A ‎2．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为 (　　)．‎ A．－1 B．‎1 ‎ C．3 D．－3‎ 解析　化圆为标准形式(x＋1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(－1,2)．∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1.‎ 答案　B ‎3．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若00，所以原点在圆外．‎ 答案　B ‎4． 若圆x2＋y2－2x＋6y＋‎5a＝0，关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，4)　　　　　　 B．(－∞，0)‎ C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)‎ 解析 将圆的方程变形为(x－1)2＋(y＋3)2＝10－‎5a，可知，圆心为(1，－3)，且10－‎5a＞0，∴a＜2，由于圆关于直线y＝x＋2b对称，∴圆心在直线y＝x＋2b上，即－3＝1＋2b，∴b＝－2，‎ ‎∴a－b＜4.‎ 答案 A ‎5． 已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是(　　)‎ A．(x－)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5‎ C．(x＋)2＋y2＝5 D．x2＋(y＋)2＝5‎ 解析 设圆心为(a,0)(a＜0)，则＝，‎ ‎∴a＝－，∴圆O的方程为(x＋)2＋y2＝5，故选C.‎ 答案 C ‎6．圆心为C的圆与直线l：x＋2y－3＝0交于P、Q两点，O为坐标原点，且满足·＝0，则圆C的方程为(　　)‎ A.2＋(y－3)2＝ B.2＋(y＋3)2＝ C.2＋(y－3)2＝ D.2＋(y＋3)2＝ 解析 ∵圆心为C，‎ ‎∴设圆的方程为2＋(y－3)2＝r2，‎ 在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的．‎ 即2＋(y－3)2＝，故选C.‎ 答案 C 二、填空题 ‎7．以A(1,3)和B(3,5)为直径两端点的圆的标准方程为________．‎ 解析　由中点坐标公式得AB的中点即圆的圆心坐标为(2,4)，再由两点间的距离公式得圆的半径为＝，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝2.‎ 答案　(x－2)2＋(y－4)2＝2‎ ‎8． 已知x，y满足x2＋y2＝1，则的最小值为________．‎ 解析 表示圆上的点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率，所以，的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ的方程为y－2＝k(x－1)即kx－y＋2－k＝0，由＝1得k＝，结合图形可知，≥，∴最小值为.[‎ 答案 ‎9．圆心在原点且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程为________．‎ 解析 如图，因为圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB＝120°.而圆心到直线3x＋4y＋15＝0的距离d＝＝3，在△AOB中，可求得OA＝6.所以所求圆的方程为x2＋y2＝36.‎ 答案 x2＋y2＝36‎ ‎10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1,0)，B(1,0)，点P是圆上的动点，则d＝|PA|2＋|PB|2的最大值为________，最小值为________．‎ 解析　设点P(x0，y0)，则d＝(x0＋1)2＋y＋(x0－1)2＋y＝2(x＋y)＋2，欲求d的最值，只需求u＝x＋y的最值，即求圆C上的点到原点的距离平方的最值．圆C上的点到原点的距离的最大值为6，最小值为4，故d的最大值为74，最小值为34.‎ 答案　74　34‎ 三、解答题 ‎11．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.‎ ‎(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；‎ ‎(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．‎ 解 (1)设点P的坐标为(x，y)，‎ 则＝2.‎ 化简可得(x－5)2＋y2＝16，此即为所求．‎ ‎(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图，由直线l2‎ 是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝＝，‎ 当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，‎ ‎|CQ|＝＝4，‎ 此时|QM|的最小值为＝4.‎ ‎12．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.‎ ‎(1)求直线CD的方程；‎ ‎(2)求圆P的方程．‎ 解　(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)，‎ ‎∴直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.‎ ‎(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0. ①‎ 又直径|CD|＝4，∴|PA|＝2，‎ ‎∴(a＋1)2＋b2＝40， ②‎ 由①②解得或 ‎∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)，‎ ‎∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.‎ ‎13．已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．‎ ‎(1)求圆M的方程；‎ ‎(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．‎ 解　(1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，‎ 根据题意得： 解得a＝b＝1，r＝2，‎ 故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.‎ ‎(2)因为四边形PAMB的面积 S＝S△PAM＋S△PBM＝|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|，‎ 又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，‎ 而|PA|＝＝，‎ 即S＝2.‎ 因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，‎ 即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，‎ 所以|PM|min＝＝3，‎ 所以四边形PAMB面积的最小值为 S＝2＝2＝2.‎ ‎14．已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)关于直线x＋y＋2＝0对称．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值．‎ 解　(1)设圆心C(a，b)，则解得 则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，‎ 故圆C的方程为x2＋y2＝2.‎ ‎(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，且·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，‎ 令x＝cos θ，y＝sin θ，‎ ‎∴·＝x＋y－2＝(sin θ＋cos θ)－2‎ ‎＝2sin－2，‎ 所以·的最小值为－4. ‎