2018高考数学（理）复习-2013-2017高考分类汇编-第1章 集合与常用逻辑用语 20页

第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合 题型1 集合的基本概念 题型2 集合间的基本关系 ‎1.（2013江苏4）集合共有 个子集.‎ ‎2.(2013山东理7) 给定两个命题，，若是的必要而不充分条件，则是的（ ）. ‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎3.（2015重庆理1）已知集合，，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.解析 集合的元素，但是集合的元素，所以是的真子集.‎ 故选D.‎ ‎4.（2015湖南理2）设，是两个集合，则“”是“”的（ ）.‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.解析 由题意得，；反之，，故为充要条件.‎ 故选C.‎ 题型3 集合的运算 ‎1. (2013全国新课标卷理1）已知集合，则 （ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.（2013辽宁理2）已知集合，，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. (2013重庆理1）已知全集，集合，则 ‎（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. (2013天津理1）已知集合，，则（ ）.‎ ‎5. （2013四川理1）设集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6. (2013陕西理1）设全集为，函数的定义域为，则为（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7．（2013广东理1）设集合，，则 （ ）.‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8.（2013湖北理2）已知全集为，集合，，则 （ ）.‎ ‎ A． B．‎ C．或 D．或 ‎9.(2013山东理2) 已知集合，则集合中元素的个数是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. (2013重庆理22）对正整数，记，.‎ ‎（1）求集合中元素的个数；‎ ‎（2）若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“稀疏集”.求的最大值，使能分成两人上不相交的稀疏集的并.‎ ‎11.（2014 陕西理1） 已知集合，，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 解析 因为，所以，故选B.‎ ‎12.（2014 重庆理11）设全集，则______.‎ ‎12. 解析 因为，，所以，‎ 又因为，所以.‎ ‎13.（2014 江苏理 1） 已知集合，，则 ．‎ ‎13. 解析 由集合的交集定义知.‎ ‎14．（2014 浙江理1）设全集，集合，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎14. 解析 因为，所以，故选B.‎ ‎15.（2014 新课标2理1）设集合，，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎15.解析 由已知得，因为，所以，故选D.‎ ‎16.（2014 新课标1理1）已知集合，，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎16. 解析 由不等式解得或，因此集合或 ‎，又集合，所以，故选A.‎ ‎17.（2014 四川理1）已知集合，集合为整数集，则（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎17. 解析 ，故集合中整数为，0，1，2.‎ 所以.‎ ‎18.（2014 山东理2）设集合，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎18. 解析 ，，‎ 所以.‎ 评注 本题考查绝对值不等式的解法，指数函数的性质以及集合的运算.本题的易错点是绝对值不等式的求解.‎ ‎19.（2014 辽宁理1）已知全集，，，则集合（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎19. 解析 或，因此.故选D.‎ ‎20.（2014 广东理 1）已知集合则（ ）.‎ A． 　B. 　C. 　D. ‎ ‎20. 解析 由集合的并集运算可得，，故选C.‎ ‎21.（2014 北京理 8）有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若同学每科成绩不低于同学，且至少有一科成绩比高，则称“同学比同学成绩好”.现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有学生（ ）.‎ ‎ A.人 B.人 C.人 D.人 ‎21解析 设学生人数为，因为成绩评定只有“优秀”“合格”“不合格”三种情况，所以当时，语文成绩至少有两人相同，若此两人数学成绩也相同，与“任意两人成绩不全相同”矛盾；若此两人数学成绩不同，则此两人有一人比另一人成绩好，也不满足条件，因此：，即.当时，评定结果分别为“优秀，不合格”“合格，合格”“不合格，优秀”，符合题意，故，选B.‎ ‎22.（2014 大纲理 2）设集合，，则（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎22. 解析 ，则.故选B.‎ ‎23.（2014 北京理 1）已知集合，则( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎23.解析 ，，所以.故选C.‎ ‎24.（2015广东理1）若集合，，‎ 则（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎24.解析 因为，，‎ 所以．故选D．‎ ‎25.（2015全国II理1）已知集合，，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎25.解析 对于集合，由已知得，，用数轴可得.故选A.‎ ‎26.(2015山东理1)已知集合，，则 ‎（ ）．‎ A. B. C. D.‎ ‎26.解析 由题意，而，所以．‎ 故选C．‎ ‎27.（2015陕西理1）设集合，，则（ ）．‎ A． B. C. D.‎ ‎27.解析 依题意，，所以.故选A．‎ ‎28. (2015四川理1)设集合，集合，则 ‎（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎28.解析 由题意可得，，则.故选A.‎ ‎29.（2015天津理1）已知全集 ，集合 ，‎ 集合 ，则集合（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎29.解析 ，所以.故选A.‎ ‎30.（2015浙江理1）已知集合，则 （ ）．‎ A. B. C. D.‎ ‎30.解析 依题意，，所以．故选C．‎ ‎31.（2015江苏1）已知集合，，则集合中元素的个数为 ．‎ ‎31.解析 由并集的运算知识知，故集合中元素的个数为．‎ ‎32.(2016北京理1) 已知集合，，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎32. C 解析 由已知集合，，所以.故选C.‎ ‎33.（2016全国丙理1）设集合，，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎33. D 解析 由，得 故选D.‎ ‎34.（2016全国甲理2）已知集合，，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎35. C 解析 因为，‎ 所以，所以.故选C. ‎ ‎36.（2016山东理2）设集合，，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎36. C 解析 由题意，，所以.故选C.‎ ‎37.（2016四川理1）设集合，为整数集，则中元素的个数是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎37.解析 由题意，.故其中的元素个数为.故选C.‎ ‎38.（2016天津理1）已知集合，，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎38.D 解析 由题意可得，则.故选D.‎ ‎39.（2016全国乙理1）设集合，，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎39.D 解析 由题意可得，，所以.故选D.‎ ‎40.（2016浙江理1）已知集合，，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎40.B 解析 因为，所以，所以.故选B.‎ ‎41.（2016江苏1）已知集合，，则 .‎ ‎41. 解析 由交集的运算法则可得.‎ ‎42.（2016上海理1）设，则不等式的解集为 .‎ ‎42. 解析 由题意，即，则解集为.‎ ‎43.（2017江苏01）已知集合，，若，则实数的值为 ．‎ ‎43.解析 由题意，故由，得．故填．‎ ‎44.（2017天津理1）设集合，，，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎44.解析 因为，所以，‎ 从而.故选B．‎ ‎45.(2017北京理1)若集合，，则（ ）.‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎45.解析 画出数轴图如图所示，则.故选A.‎ ‎46.（2017全国1理1）已知集合，，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ 解析 ，，所以，.‎ 故选A.‎ ‎47.（2017全国2理2）设集合，.若，则（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎47.解析 由题意知是方程的解，代入解得，所以的解为或，从而.故选C.‎ ‎48.（2017全国3理1）已知集合A=，，则中元素的个数为（ ）.‎ A．3 B．‎2 ‎ C．1 D．0‎ ‎48.解析 集合表示圆上所有点的集合，表示直线上所有点的集合，如图所示，所以表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即元素的个数为2.故选B.‎ ‎49.（2017山东理1）设函数的定义域，函数的定义域为，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎49.解析 由，解得，所以.由，解得，所以.从而.故选D.‎ ‎50.(2017浙江理1)已知集合，，那么（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎50.解析 是取集合的所有元素，即.故选A．‎ 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 题型4 四种命题及真假关系 ‎1. (2013重庆理2）命题“对任意，都有”的否定为（ ）.‎ A. 对任意，都有 B. 不存在，都有 ‎ C. 存在，都有 D. 存在，使得 ‎2. (2013天津理4）已知下列三个命题：‎ ‎ ①若一个球的半径缩小到原来的， 则其体积缩小到原来的； ‎ ‎ ②若两组数据的平均数相等， 则它们的标准差也相等；‎ ‎③直线与圆相切．‎ 其中真命题的序号是（ ）.‎ ‎ A．①②③ B．①② C．①③ D．②③‎ ‎3．（2013四川理4）设，集合是奇数集，集合是偶数集．若命题，则（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎4. (2013陕西理3）设为向量，则 “” 是 “” 的（ ）.‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎5.（2013湖北理3）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题是“甲降落在指定范围”，是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）.‎ A． B． C． D.‎ ‎6. (2013安徽理4）“”是“函数在区间内单调递增”的（ ）.‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎7.(2013山东理7) 给定两个命题，，若是的必要而不充分条件，则是的（ ）. ‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎8. (2013福建理2) 已知集合，，则是的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 ‎ C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎ ‎9.（2014 重庆理 6）已知命题 对，总有；“”是“”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.解析 为真命题，为假命题，故为假命题，为真命题.从而为假，为假，为假，为真.故选D.‎ ‎10.（2014 浙江理 2）已知是虚数单位， ，则“”是“”的（ ）.‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎ ‎10.解析 当时，有，即充分性成立.当时，有，得解得或，即必要性不成立，故选A.‎ 评注 本题考查复数的运算，复数相等的概念，充分条件与必要条件的判定，属于容易题.‎ ‎11.（2014 新课标1理9）不等式组的解集记为.有下面四个命题：‎ ‎：，；：，；‎ ‎：，； ：，.‎ 其中真命题是（ ）.‎ A. ， B. ， C. ， D. ， ‎ ‎11.解析 不等式组表示的平面区域如图阴影区域所示.设，作出基本直线：，经平移可知直线：经过点时取得最小值，无最大值.对于命题：由于的最小值为，所以，恒成立，故恒成立，因此命题为真命题；由于，故，，因此命题为真命题；由于的最小值为，无最大值，故命题和错误，故选B. ‎ ‎12.（2014 天津理7）设，则|“”是“”的（ 　　）.‎ A.充要不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件　　 D.既不充要也不必要条件 ‎12.解析 先证“” “”.若，则，即；若，则；若，则，即，从而.‎ 再证“” “”.若，，则由，得，故；‎ 若，，则由，得，即，故；若，，则.而，时，不成立.‎ 综上，“”是“”的充要条件.‎ ‎13.（2014 陕西理8）原命题为若互为共轭复数，则“”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）.‎ A. 真，假，真 B. 假，假，真 C. 真，真，假 D. 假，假，假 ‎13.解析 先证原命题为真；当，互为共轭复数时，设，则，则，所以原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假：取，，满足，但是，不是互为共轭复数，所以其逆命题为假，故其否命题也为假. 故选B.‎ ‎14.（2014 山东理4）用反证法证明命题“设，则方程至少有一个实根”时要做的假设是（ ）.‎ A.方程没有实根 B.方程至多有一个实根 C.方程至多有两个实根 D.方程恰好有两个实根 ‎14.解析 因为“方程至少有一个实根”等价于“方程的实根的个数大于或等于”，因此，要做的假设是方程没有实根. ‎ ‎15.（2014 辽宁理5）设是非零向量，已知命题：若，，则；命题：若，，则，则下列命题中真命题是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎15.解析 由题意知命题为假命题，命题为真命题，所以为真命题. 故选A.‎ ‎16.（2014 湖南理 5）已知命题若，则；命题若，则.在命题①；②；③；④中，真命题是（ ）.‎ A.①③ B.①④ C.②③ D. ②④‎ ‎16.解析 由不等式性质知：命题为真命题，命题为假命题，从而为假命题，为真命题.故为假命题，为真命题，为真命题，为假命题.‎ 故选C.‎ 评注 本题考查命题及简单逻辑联结词、不等式的性质，简单命题和复合命题真假的判断，考查逻辑推理能力.‎ ‎17.（2017山东理3）已知命题，；命题若a＞b，则，下列命题为真命题的是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎17.解析 由，所以恒成立，故为真命题；‎ 令，，验证可知，命题为假.故选B.‎ 题型5 充分条件、必要条件、充要条件的判断 ‎1.（2014 湖北理 3） 设为全集，是集合，则“存在集合使得是“”的（ ）.‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎ ‎1.解析 由韦恩图易知充分性成立.反之，时，不妨取，此时.必要性成立. 故选C.‎ ‎2.（2014 福建理 6）直线与圆相交于两点，则“”是“的面积为”的（ ）.‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎2.解析 当时，，由题意不妨令，，‎ 则，所以充分性成立；当时，，也有，所以必要性不成立.‎ ‎3.（2014 安徽理 2）“”是“”的（ ）.‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.（2015陕西）“”是“”的（ ）．‎ A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要 ‎ ‎4.解析 当时，‎ ‎，‎ 即；‎ 当时，所以或.即不能推出 ‎.故选A.‎ ‎5.（2015重庆理4）“”是“”的（ ）.‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎5.解析 因为，所以．故选B．‎ ‎6.（2015天津理4）设 ，则“ ”是“”的（ ）.‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6.解析 ，或，‎ 所以“” 是“”的充分不必要条件.故选A.‎ ‎7.（2015安徽理3）设，，则是成立的（ ）.‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎7.解析 由得，所以，但，所以是的充分不必要条件．故选A．‎ ‎8.（2015陕西理6）“”是“”的（ ）．‎ A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要 ‎8.解析 当时，‎ ‎，‎ 即；‎ 当时，有，所以或 ‎.即不能推出.故选A.‎ ‎9.（2015北京理4）设，是两个不同的平面，是直线且，“”是“”的（ ）.‎ A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎9.解析 根据面面平行的性质，若两个面平行，则一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行；根据面面平行的判定，若一个平面的两条相交直线分别平行另一个平面.才能推出面面平行，所以“”是“”的必要不充分条件.故选B.‎ ‎10.（2015福建理7）若 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“”的（ ）.‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎10.解析 若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“”是“”的必要不充分条件．故选B．‎ ‎11.（2015湖北理5）设，. 若p：成等比数列；‎ q：，则（ ）．‎ A. 是的充分条件，但不是的必要条件 ‎ B．是的必要条件，但不是的充分条件 C．是的充分必要条件 ‎ D．既不是的充分条件，也不是的必要条件 ‎11.解析 由柯西不等式知，‎ 当且仅当存在常数使得时取等号，若成等比数列存在常数 ‎（为公比）使得，即，时，‎ 此时不成等比数列，即不能推出.故选A. ‎ ‎12.（2016山东理6）已知直线，分别在两个不同的平面，内，则“直线和直线相交”是“平面和平面相交”的（ ）.‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎12.A 解析 由直线和直线相交，可知平面有公共点，所以平面和平面相交.反过来，如果平面和平面相交，直线和直线不一定相交，可能与两平面的交线都平行.故选A.‎ ‎13.（2016上海理15）设，则“”是“”的（ ）.‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎13.A 解析 由题意或，因此，.‎ 故选A.‎ ‎14.（2016四川理7）设：实数，满足；：实数，满足，则是的（ ）.‎ A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎14.A 解析 画出可行域（如图所示），可知命题中不等式组表示的平面区域在命题中不等式表示的圆盘内所以.故选A.‎ ‎15.（2017天津理4）设，则“”是“”的（ ）.‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎15.解析 .但，，不满足，所以“”是“”的充分不必要条件.故选A.‎ ‎16.(2017北京理6)设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（ ）.‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎16.解析 若，使，即两向量方向相反，夹角为，则.若，也可能夹角为，方向并不一定相反，故不一定存在.故选A.‎ ‎17.(2017浙江理6)已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（ ）.‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎17.解析 ，.‎ ‎ 当时，有，当时，有．故选C． ‎ 题型6 充分条件、必要条件中的含参问题 ‎1.（2014 四川理 15）以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间.例如，当，时，，.现有如下命题：‎ ‎①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”；‎ ‎②函数的充要条件是有最大值和最小值；‎ ‎③若函数，的定义域相同，且，，则；‎ ‎④若函数有最大值，则.‎ 其中的真命题有 .（写出所有真命题的序号）‎ ‎1. 解析 依题意可直接判定①正确；令，显然存在正数2，使得的值域，但无最小值，②错误；假设，则存在正数，使得当在其公共定义域内取值时，有，‎ 则，又因为，则存在正数，使，‎ 所以，即，所以，与矛盾，③‎ 正确；当时，，即，当时，因为的值域为，而，此时无最大值，故，④正确.‎ 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 题型7 判断含逻辑联结词的命题的真假 ‎1.（2015浙江理6）设是有限集，定义，其中 表示有限集中的元素个数，‎ 命题①：对任意有限集，“”是“ ”的充分必要条件；‎ 命题②：对任意有限集，．‎ 下列判断正确的是（ ）．‎ A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 ‎ C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立 ‎ ‎1.解析 实际表示的是只在中或只在中的元素个数.‎ 对命题①，当时，至少有1个元素只在中或只在中，所以；‎ 对命题②，如图所示，记图中的各个区域内的元素个数是且，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以 ‎，所以命题②也成立.‎ 综上所述，故选A. ‎ 题型8 全（特）称命题 ‎1.（2015全国I理3）设命题，，则为（ ）.‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎1.解析 存在的否定是任意，大于的否定是小于等于，所以，．‎ 故选C．‎ ‎2.（2015浙江理4）命题“ 且的否定形式是（ ）．‎ A. 且 B. 或 C. 且 D. 或 ‎ ‎2.解析 命题的否定，要将“”改为“”，所以原命题的否定形式为 或.故选D．‎ ‎3.（2016浙江理4）命题“，使得”的否定形式是（ ）.‎ A.，使得 B.，使得 ‎ C.，使得　 D.，使得 ‎3.D 解析 命题的否定，先否定量词，在否定结论.的否定是，的否定是，的否定是.故原命题的否定形式为，使得.故选D.‎ 题型9 根据命题真假求参数的范围——暂无