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- 2021-06-23 发布
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对应学生用书[练案42理][练案41文]
第四讲 基本不等式
A组基础巩固
一、选择题
1．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是( C )
A．a＋b≥2 B．＋≥2
C．|＋|≥2 D．a2＋b2>2ab
[解析] 因为和同号，所以|＋|＝||＋||≥2.
2．下列命题中正确的是( D )
A．函数y＝sinx＋(00)的最小值为2－4
D．函数y＝2－3x－(x>0)的最大值为2－4
[解析] A．sinx＝取到最小值4，则sin2x＝4，显然不成立．因为≥，所以取不到“＝”，故B项不正确；因为x>0时，3x＋≥2·＝4，当且仅当3x＝，即x＝时取“＝”，所以y＝2－(3x＋)有最大值2－4，故C项不正确，D项正确．
3．若3x＋2y＝2，则8x＋4y的最小值为( A )
A．4 B．4
C．2 D．2
[解析] ∵3x＋2y＝2，∴8x＋4y＝23x＋22y≥2＝2＝4，当且仅当3x＋2y＝2且3x＝2y，即x＝，y＝时等号成立，∴8x＋4y的最小值为4，故选A．
4．(2020·辽宁铁岭六校联考协作体联考)若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg()，则( B )
A．Rb>1，则lg a>lg b>0，
由基本不等式可得
P＝<(lg a＋lg b)
＝lg (ab)＝lg 0，b>0，
所以(2a＋b)＝2ab≤()2，
因为2a＋b>0，所以2a＋b≥，当且仅当2a＝b，
即a＝，b＝时取等号，故4a＋2b的最小值为.
6．(2019·安徽黄山质检)已知f(x)＝(x>0)，则f(x)的最小值是( D )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] 由题意知，
f(x)＝＝＝x＋1＋＋1，
因为x>0，所以x＋1>0，
则x＋1＋＋1≥2＋1＝5，
(当且仅当x＋1＝，即x＝1时取“＝”)
故f(x)的最小值是5.
7．(2020·山西大同联考)已知正实数m，n满足＋＝4，则m＋n的最小值是( D )
A．4 B．2
C．9 D．
[解析] 由题意知m＋n＝(＋)(m＋n)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝，
(当且仅当m＝，n＝时取等号)
∴m＋n的最小值为，故选D．
8．(2020·辽宁葫芦岛协作校联考)“∀x，y>0，(x＋y)(＋)≥a”是“a≤8”的( B )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] ∵x，y>0，
∴(x＋y)(＋)＝1＋4＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝，即y＝2x>0时，等号成立．
∴a≤9.∴“∀x，y>0，(x＋y)(＋)≥a”是“a≤8”的必要不充分条件，故选B．
9．(2019·陕西绥德中学阶段测试)已知：x>1，y<0，且3y(1－x)＝x＋8，则x－3y的最小值是( A )
A．8 B．6
C． D．
[解析] 由题意3y＝且x－1>0，
∴x－3y＝x＋＝x－1＋＋2
≥2＋2＝8，
(当且仅当x－1＝即x＝4时取等号)
∴x－3y的最小值为8，故选A．
10．(2019·广东期中)已知a>1，b>0，a＋b＝2，则＋的最小值为( A )
A．＋ B．＋
C．3＋2 D．＋
[解析] 由题意知a>1，b>0，a＋b＝2，
可得：(a－1)＋b＝1，a－1>0，
则＋＝[(a－1)＋b](＋)＝1＋＋＋≥＋2＝＋，
当且仅当＝且a＋b＝2时，
即a＝3－，b＝－1时等号成立，
则＋的最小值为＋.故选A．
11．(2019·四川眉山一中办学共同体期中)圆x2＋y2＋4x－2y－1＝0上存在两点关于直线ax－2by＋1＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值为( D )
A．3＋2 B．9
C．16 D．18
[解析] 由圆的对称性可得，直线ax－2by＋1＝0必过圆心(－2,1)，所以a＋b＝.
所以＋＝2(＋)(a＋b)＝2(5＋＋)≥18，
当且仅当＝且a＋b＝时，
即a＝，b＝时取等号，故选D．
12．(2020·四川成都新都区诊断)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则n的最大值为( C )
A．9 B．12
C．16 D．20
[解析] 由题意知n≤(3a＋b)(＋)＝10＋＋
∵10＋＋≥10＋2＝16，
(当且仅当a＝b时取等号)
∴10＋＋的最小值为16，
故n的最大值为16.选C．
二、填空题
13．(2020·广东惠州调研)已知x>，则函数y＝4x＋的最小值为7 .
[解析] ∵x>，∴4x－5>0，
∴y＝4x－5＋＋5≥2＋5＝7，
当且仅当4x－5＝即x＝时取等号，
∴y的最小值为7.
14．(2020·湖南模拟)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产品80 件．
[解析] 由题意知平均每件产品的生产准备费用是元，则＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时“＝”成立，所以每批应生产产品80件．
15．(2019·湖北部分重点中学联考)已知x>0，y>0，若＋>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(－4,2) .
[解析] ∵x>0，y>0，
∴＋≥2＝8
(当且仅当y＝2x时取等号)
∴＋的最小值为8，
由题意可知m2＋2m－8<0，解得－40
∴f(x)＝[(1－x)＋x](＋)
＝＋＋≥＋2＝
(当且仅当2x＝1－x，即x＝时取等号)
∴f(x)的最小值为，故选C．
2．(文)(2019·山东新泰一中质检)已知△ABC的面积是9，角A，B，C成等差数列，其对应边分别是a，b，c，则a＋c的最小值是( A )
A．12 B．12
C．10 D．10
(理)(2019·山东夏津一中月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin B＋2sin Acos C＝0，则当cos B取最小值时，＝( C )
A． B．
C． D．
[解析] (文)由题意知B＝，∴acsin B＝9，
∴ac＝36，∴a＋c≥2＝12，
(当且仅当a＝c＝6时取等号)
∴a＋c的最小值为12，故选A．
(理)由题意知
b＋2acos c＝b＋a·＝＝0，
即2b2＝c2－a2，
又cos B＝＝≥＝，
当且仅当a＝c即＝时取等号，
∴cos B取最小值时＝，故选C．
3．(2020·山东济宁期末)已知函数f(x)＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋4＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为( B )
A． B．
C．2 D．4
[解析] 由题意知A(－2，－1)，∴2m＋n＝4，
∴2(m＋1)＋n＝6，
∴＋＝[2(m＋1)＋n](＋)
＝(4＋＋)
≥(4＋2)＝，
当且仅当n＝2(m＋1)，即m＝，n＝3时取等号，
∴＋的最小值为，故选B．
4．(文)(2019·安徽宣城第二次调研)已知双曲线－＝1(m>0，n>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，则＋的最小值为( B )
A．2 B．3
C．4 D．5
(理)(2020·河南郑州一中期中)若x>0，y>0，则的最小值为( C )
A． B．1
C． D．
[解析] (文)由题意知m＋n＝5－2＝3，∵m>0，n>0，
∴＋＝(m＋n)·(＋)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝3，
当且仅当＝，即m＝2n＝2时，等号成立，
∴＋的最小值为3.故选B．
(理)由x>0，y>0知x＋y≥2，
即0<≤1(当且仅当x＝y时取等号)，
又()2＝＝≥，
∴≥(当且仅当x＝y时取等号)
即的最小值为，故选C．
5．(文)(2019·安徽江南十校第二次大联考)已知实数x满足logx>1，则函数y＝8x＋的最大值为( D )
A．－4 B．8
C．4 D．0
(理)(2019·河北)已知m>0，xy>0，当x＋y＝2时，不等式＋≥4恒成立，则m的取值范围是( B )
A．[，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(0，] D．(0,2]
[解析] (文)由logx>1，得00，x>0，y>0，
∵＋＝(x＋y)(＋)
＝(2＋m＋＋)
≥(2＋m＋2)
＝(2＋m＋2)
(当且仅当y＝x时取等号)
∴(2＋m＋2)≥4(m>0)，解得m≥2，故选B．
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