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- 2021-06-23 发布
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2019~2020学年(上)高二期中学业质量监测
数学试题
本试卷共4页,22小题,满分150分,考试用时120分钟。
注意事项:
I. 答卷前,考生务必将自己的姓名、 考试号、 考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 作答选择题 时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信
息点涂黑:如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区
域内相应位置上:如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案:不准使用铅
笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
一、-选择题:本题共10小题, 每小题5分, 共 50分。在每小题给出的四个选项中, 只有
一项是符合题目要求的。
1. 在等比数列{a,,}中,若a1 =1,公比 q=J"i.,则a1 =
A. 4 B. 8 c. 2J"i.
2. 若实数α,b满足αb>O,.则立+駦的最小值为2α b
A. 2 B. ±2
3. 双曲线一丘=1的渐近线方程为4 3
A. y = 中 B. y=±J3x
c. 4
c . y = 土手 x
( ... )
D. 64
( ... )
D. 8
( ... )
D. y = 土2x
4. 设等差数列{an}的前n项和为乱,己知a4 +a14 = 2,则s11 = < .a. )
A.34 B. 旦2 c. 14 D. 17
5. 若椭圆短轴的两个端点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率为 ( ... )
A. J2 J2B. T c. .!.2
6. 若x εR, 则 “ x2 < 1 ” 是 “ l>l ” 成立的x
高二数学试卷A 第 l 页(共 4 页)
/?,D. T
( ... )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
c. 充要条件 D.既非充分也非必要条件
7. 己知椭圆的两个焦点坐标为F;(-Ji' 0 ),乓(Ji,的,点P在椭圆上, /::,. pj飞F2 的最大
面积为2,则此椭圆的方程为 ( . )
A 寻+ y2 =1 B. ⺌+⼚= 14 2 -
,、 2
C 兮+ 2y2 =1 D. L+⺌ =14 2
8. 己知数列{α,}的Jfil项公式是a = ' 1 ,则该数列前20项的和为 ( • )’nι +3n+2
A. 立
20 B. l旦
21 c. 二11
D. 1122
9. 拟设计 一 幅宣传画, 要求画面(小矩形)面积为 4840cm2 ,
它的两边都留有宽为Scm的空白,顶部和底部都留有
宽为8cm的空白.当宣传画所用的纸张(大矩形)面积
最小时,画面的高是( .& ) cm.
8
5 5
A. 48 B. 60
c. 78 D. 88 8
(第9题)
眈设椭圆和双曲线有公共焦点乓,乓,两曲线的 一 个公共点 为p ,且矶 P 乓= ? -
i己 e1 , e2 分别为椭圆和双曲线的离心率,则e/+旷的最小值为 ( • )
JjA. τ B. 1 千 c. 2
5-2 D
二、填空题:本题共6小题,每小题5分,共30分.
11.若 “ 3x E R , x
2 + 2x + a <。 ” 是假命题, 则实数 。的取值范围是 一生一
{ Ji 12. 己知椭圆C 经过Aj- 2 ,一一 J, B(O,一 1),则椭圆 C的标准方程为�一- 2 I
13.若双曲线2kx 2 一 句 ? =1 的 一 个焦点是 F(O, 4 ),则实数k的值为�-
高二数学试卷第2页(共4页)
14.己知等差数列{αn}中的前三项和为12,且 2a1 ’吨,α3 +1依次成等比数列,则数列
{a.}的公差所有可能的值为一生一-
x2 +3 15.函数 v=x+ 一一? C x > 1)的最小值为 .Ax-1
16.己知集合A ={xix=仙一1.nEN丁,B = {:X I x = 2" ' 11 εN•}.将AUE的所有元素
从小到大依次排列构成一个数列{α.}.记且为数列{a.}的前n项和,若Sm =3014,
则正整数 11l 值为 .A
三、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分10分)
设命题p z方程」=---+ 一主一 =1表示焦点在x轴上的椭圆.命题q:实数m满足m+6 2m-8
m2 - 3am - 4a2 < 0 ( a > 0 ) .
(1〕若p真,q假,求实数m的取值范围:
(2)若q是p成立的必要不充分条件,求α的取值范围.
18. (本小题满分12分)
己知数列{a㌌}的前n项和为S,, .
(1)若酬。”}是等比数列,若内 + 2a7 = 0 ,求去的值:
(2)若数列(。”}是等差数列,且轧 = m, Sm =n ( m 白i),求 s㌌峭 的值.
19. (本小题满分12分)
己知x,y均为正实数,且x+3y=4.
(1)求l+主的最小值:x y
ω 求川y2 一乡的最大值
高二数学试卷 第 3页(共4页)
20. (本小题满分12分〉
在平面直角坐标系 xOy 中,己知双曲线C的中心在原点,焦点在y轴上,经过点 (-Ji ,1),
且一个焦点到一条渐近线的距离为1.
Cl)求双曲线C的方程:
(2)若过点(1, 0)的直线l与双曲线C交于 A,B 两点,且以 AB 为直径的圆过原点,
求直线 l 的 方程 .
21. (本小题满分12分)
设数列{a,J
(1)证明:数列饵,}是等比数列:
(2)若数列{ι}满足bn ::: 2 + log2 a,, ’求数列{αn ·b,,}的前n项和为乙:
(3)若数列{c..}满足Cn +cn+I ::: 2 log2 气,且对任意11二泣,nEN•,都有
c� +c,1 注3(cn +c,,+1 )成立,求首项c1的取值范围.
22. (本小题满分12分〉
在平面直角坐标系均中,己知椭圆C:牛牛1(α>b>O)的离心率为手,a b
短轴长为2.
(1)求椭圆C的方程:
(2)椭圆上一动点M与 A(-2,。), B(2, 0)的连线分别交椭圆于 P,Q 两点,
若AM=λAP, BM=µBQ .
①若λ=2,求直线 AM的方程:
②判断λ+μ是否为定值,并说明理由.
高二数学试卷第4页(共4页)
高二数学试卷 第 1 页(共 5 页)
2019~2020 学年(上)高二期中学业质量监测
数学参考答案及评分建议
一、选择题:本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。
1. B 2.C 3.C 4.D 5.B 6.B 7.B 8.C 9.D 10.B
二、填空题:本题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
11. 1 +, 12.
2 2 18
x y 13. 3
32
14.3 或4 15.3 4 2+ 16.37
三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。
17. (本小题满分 10 分)
【解】若 p 是真命题,则 6 2 8 0m m ,
解得 4 14m . …… 2 分
由 2 23 4 0m am a ( 0a ),解得 4a m a . …… 4 分
(1)当 2a ,命题 q : 2 8m ,
因为 p 是真命题,同时 q 是假命题,
所以8 14m ≤ . …… 6 分
(2)因为 q 是 p 成立的必要不充分条件,
所以 4 14
4
a
a
,
≤ ,
≥ 解得 7
2a≥ ,
综上,实数 a 的取值范围是 7
2a≥ . ……10 分
18. (本小题满分 12 分)
【解】(1)设等比数列 na 的公比为 q ,
因为 4 72 0a a ,解得 3 1
2q , …… 2 分
所以
9
1
9
9
6 6
6 1
1 3= 2
1
a q
S q q
S a q q
q
(1- )
1-
(1- ) 1- . …… 5 分
高二数学试卷 第 2 页(共 5 页)
(2)设等差数列 na 的公比为 d ,
又 n mS m S n , ,所以
1
1
( 1)
2
( 1)
2
n
m
n nS na d m
m mS ma d n
,
,
所以 1 1
( 1) ( 1)
2 2n m
n n m mS S na d ma d m n
, …… 7 分
即 1
( 1) ( 1)
2
n n m mn m a d m n ,
又因为 m n ,所以 1
+ 1 12
n ma d , …… 9 分
所以 +n mS = 1 1
( )( 1) 1) ) )2 2
m n m n m nm n a d m n a d m n
( ( ( .
…… 12 分
19. (本小题满分 12 分)
【解】(1) 3 2 6 71 2 1 1 2 1 2= 3 74 4 4
y xx yx y x y x y
≥ , …… 3 分
当且仅当 3 2y x
x y ,且 3 4x y 时,取“=”,
解得 2(3 3)3 3x y -1, .
所以 1 2
x y 的最小值为 2 6 7
4
. …… 5 分
(2)因为 x y, 均为正实数,且 3 4x y ,
所以 3 2 3x y x y ≥ ,解得 4
3xy ≤ ,即 40 3xy ≤ . …… 7 分
又 22 2 6 69 3 6x y x y xyxy xy
116 6 4xy xy
≤ . …… 10 分
当且仅当 1xy 且 3 4x y 时,取“=”,
解得 1 1x y , 或 13 3x y , .
所以 2 2 69x y xy 的最大值为 4. …… 12 分
高二数学试卷 第 3 页(共 5 页)
20.(本小题满分 12 分)
【解】(1)因为双曲线 C 的中心在原点,焦点在 y 轴上,
设双曲线 C 的方程为
2 2
2 2: 1( 0 0)y xC a ba b , ,
所以渐近线方程为 by xa ,焦点为(c,0). …… 2 分
又一个焦点到一条渐近线的距离为 1,
解的 1b . …… 4 分
所以双曲线 C:
2
2
2 1y xa 经过点( 2 1) , ,
解得 2 1
3a ,
所以双曲线 C 的方程为 2 23 1y x . …… 6 分
(2)设经过点(1 0), 的直线l 的方程为 1x ty ,
由
2 23 1
1
y x
x ty
,
,
消x 得 2 23 2 2 0t y ty ,
所以 1 2 1 22 2
2 2
3 3
ty y y yt t
, . …… 9 分
又以 AB 为直径的圆过原点,所以 1 2 1 2 0x x y y ,
代入解得 1t ,
所以直线l 的方程为 1y x 或 1y x . …… 12 分
21.(本小题满分 12 分)
【解】(1)因为 1 ( 1)2n na S ,所以 +1 +1
1 ( 1)2n na S ,
即 +1 +1
1
2n n na a a ,
所以 +1 2n
n
a
a ,
所以数列{ }na 是首项为 1,公比为 2 的等比数列. …… 3 分
(2)由(1)知, 12n
na ,所以 22 log = 1n nb a n .
所以 1=( 1) 2n
n na b n ,
0 1 1=2 2 +3 2 + +( 1)2n
nT n ……①,
高二数学试卷 第 4 页(共 5 页)
1 22 =2 2 +3 2 + +( 1)2n
nT n ……②,
两式相减,得 0 1 2 1=2 2 + 2 +2 + +2 ( 1)2 = 2n n n
nT n n ,
所以 = 2n
nT n . …… 7 分
(3)由 1 2+ 2log =2 2n n nc c a n ,
当 1n 时, 1 2 0c c ,
又 +1 2+ 2n nc c n ,所以 2 2n nc c ,
即 1 3 5c c c , , , 成等差数列, 2 4 6c c c , , , 成等差数列,
当 n 为奇数时, 1 1
12 2 12n
nc c n c ,
当 n 为偶数时, 2 12 1 2 22n
nc c n c . …… 8 分
又 2 2
1 13( )=6 6n n n nc c c c n + ≥ ,
当 n 为奇数时, 22
1 11 +1 2 6 6n c n c n + ≥ ,
即 2 2
1 12 +6 4c c n n ≥ 对任意的 n 为奇数恒成立,
当 1n 时, 2( ) +6 4f n n n 取得最大值为 1,
所以 2
1 12 1c c ≥ ,解得 1 2 1c ≥ 或 1 2 1c ≤ . …… 10 分
当 n 为偶数时, 22
1 12 +1 + +1 6 6n c n c n + ≥ ,
即 2 2
1 14 +3 7c c n n ≥ 对任意的 n 为偶数恒成立,
当 2n 时, 2( ) +3 7f n n n 取得最大值为 5 ,
所以 2
1 14 5c c ≥ 恒成立,
所以 1c 取值范围是 2 1 2 1 , , . …… 12 分
22.(本小题满分 12 分)
【解】(1)因为椭圆的离心率为 2
2 ,短轴长为 2,
所以 2 2 22 2 22
c b a b ca , , ,
解得 21 2b a , ,
所以椭圆的方程为
2 2 12
x y . …… 3 分
高二数学试卷 第 5 页(共 5 页)
(2)① 当 =2 , 2AM AP
,所以 0
1
0
1
2
2
2
xx
yy
,
,
又因为点 M,P 在椭圆上, 2
20
0 12
x y 且
2 2
0 0( 2) 18 4
x y ,
解得
0
1= 2x ,
0
14= 4y . …… 5 分
所以直线 AM 的斜率为 14
6 ,
所以直线 AM 的方程为 14 14
6 3y x 或 14 14
6 3y x . …… 7 分
② 设 0 0( , )M x y , 1 1( , )P x y , 2 2( , )Q x y ,
则 2
21
1 12
x y , 2
20
0 12
x y .
由 AM AP
,得
0 1
0 1
2 ( 2)x x
y y
,所以 0
1
0
1
2(1 )xx
yy
,…… 9 分
所以
2 2
0 0
2 2
[ 2(1 )] 12
x y
,
即
2 2
20
0 02 2 2
1 4(1 ) 4(1 )( ) 12 2 2
x y x
,
所以
2
02 2 2
1 2(1 ) 2(1 ) 12 x
,
解得 03 2x . …… 11 分
同理可得 03 2x ,所以 6 为定值. …… 12 分