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- 2021-06-23 发布
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数系的扩充与复数的引入
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一、选择题
1.已知复数z1=6-8i,z2=-i,则等于( )
A.-8-6i B.-8+6i
C.8+6i D.8-6i
C [∵z1=6-8i,z2=-i,
∴===8+6i.]
2.设(1-i)x=1+yi,其中x,y是实数,则x+yi在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
D [因为x,y是实数,所以(1-i)x=x-xi=1+yi,所以解得所以x+yi在复平面内所对应的点为(1,-1),位于第四象限.故选D.]
3.(2019·福州模拟)若复数z=+1为纯虚数,则实数a=( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
A [因为复数z=+1=+1=-i,∵z为纯虚数,∴∴a=-2.]
4.已知=1+i(i为虚数单位),则复数z等于( )
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
D [由题意,得z===-1-i,故选D.]
5.(2019·石家庄模拟)若复数z满足=i,其中i为虚数单位,则共轭复数=( )
A.1+i B.1-i
C.-1-i D.-1+i
B [由题意,得z=i(1-i)=1+i,所以=1-i,故选B.]
6.已知2=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),则a+b=( )
A.-7 B.7
C.-4 D.4
A [因为2=1++=-3-4i,
所以-3-4i=a+bi,则a=-3,b=-4,
所以a+b=-7,故选A.]
7.设复数z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称,z1=2+i,则=( )
A.1+i B.+i
C.1+i D.1+i
B [因为复数z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称,z1=2+i,所以z2=2-i,所以===+i,故选B.]
二、填空题
8.设复数z满足=|1-i|+i(i为虚数单位),则复数z= .
-i [复数z满足=|1-i|+i=+i,则复数z=-i.]
9.设z=+i(i为虚数单位),则|z|= .
[因为z=+i=+i=+i=+i,所以|z|==.]
10.已知复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x-2y+m=0上,则m= .
-5 [z====1-2i,复数z在复平面内对应的点的坐标为(1,-2),将其代入x-2y+m=0,得m=-5.]
1.若(1-mi)(m+i)<0,其中i为虚数单位,则m的值为( )
A.-1 B.-2
C.-3 D.-4
A [因为(1-mi)(m+i)=2m+(1-m2)i<0,所以解得m=-1,故选A.]
2.若虚数(x-2)+yi(x,y∈R)的模为,则的最大值是( )
A. B.
C. D.
D [因为(x-2)+yi是虚数,所以y≠0,
又因为|(x-2)+yi|=,
所以(x-2)2+y2=3.
因为是复数x+yi对应点与原点连线的斜率,
所以max=tan∠AOB=,
所以的最大值为.]
3.-3+2i是方程2x2+px+q=0的一个根,且p,q∈R,则p+q= .
38 [由题意得2(-3+2i)2+p(-3+2i)+q=0,
即2(5-12i)-3p+2pi+q=0,
即(10-3p+q)+(-24+2p)i=0,
所以所以p=12,q=26,所以p+q=38.]
4.已知复数z=,则复数z在复平面内对应点的坐标为 .
(0,1) [因为i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4=i+i2+i3+i4=0,而2 018=4×504+2,
所以z===
===i,对应的点为(0,1).]
1.设有下列四个命题:
p1:若复数z满足∈R,则z∈R;
p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;
p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=2;
p4:若复数z∈R,则∈R.
其中的真命题为( )
A.p1,p3 B.p1,p4
C.p2,p3 D.p2,p4
B [设z=a+bi(a,b∈R),z1=a1+b1i(a1,b1∈R),z2=a2+b2i(a2,b2∈R).
对于p1,若∈R,即=∈R,则b=0,
故z=a+bi=a∈R,所以p1为真命题;
对于p2,若z2∈R,即(a+bi)2=a2+2abi-b2∈R,则ab=0.当a=0,b≠0时,z=a+bi=bi∉R,所以p2为假命题;
对于p3,若z1z2∈R,即(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i∈R,则a1b2+a2b1=0.而z1=2,即a1+b1i=a2-b2i⇔a1=a2,b1=-b2.因为a1b2+a2b1
=0⇒/ a1=a2,b1=-b2,所以p3为假命题;
对于p4,若z∈R,即a+bi∈R,则b=0,
故=a-bi=a∈R,所以p4为真命题.故选B.]
2.若虚数z同时满足下列两个条件:
①z+是实数;
②z+3的实部与虚部互为相反数.
则z= ,|z|= .
-1-2i或-2-i [设z=a+bi(a,b∈R且b≠0),
z+=a+bi+
=a+bi+
=+i.
因为z+是实数,所以b-=0.
又因为b≠0,所以a2+b2=5.①
又z+3=(a+3)+bi的实部与虚部互为相反数,
所以a+3+b=0.②
由①②得
解得或
故存在虚数z,z=-1-2i或z=-2-i.]