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成都市高三二轮复习文科数学(六) 三角函数的图象与性质

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第 1 页 共 17 页 成都市高三二轮复习文科数学(六) 三角函数的图象与性质 [全国卷 考情分析] 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ 2019 三角函数的诱导公式及三 角函数的性质·T15 三角函数的图象与性质,函数的极值点·T8 三角函数的零点·T5 2018 三角恒等变换及三角函数 的周期与最值·T8 三角函数单调性的应用·T10 正切函数的周期·T6 2017 三角函数的周期·T3 三角函数的最值·T6 三角函数的最值·T13 (1)高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质,主要考查图象的变换,函数的单调 性、奇偶性、周期性、对称性及最值,并常与三角恒等变换交汇命题. (2)主要以选择题、填空题的形式考查,难度为中等偏下,大多出现在第 3~11 或 14~15 题位置上. 考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系 [例 1] (1)(2019·安徽省考试试题)角θ的顶点为坐标原点,始边为 x 轴正半轴,终边经过点 P(4,y),且 sin θ =-3 5 ,则 tan θ=( ) A.-4 3 B.4 3 C.-3 4 D.3 4 (2)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π)=f(x)+sin x.当 0≤x<π时,f(x)=0,则 f 23π 6 =( ) A.1 2 B. 3 2 C.0 D.-1 2 [解析] (1)因为角θ的终边经过点 P(4,y),sin θ=-3 5 <0,所以角θ为第四象限角,所以 cos θ= 1-sin2θ =4 5 ,所以 tan θ=sin θ cos θ =-3 4 ,故选 C. (2)由已知,得 f 23π 6 =f 17π 6 +sin17π 6 =f 11π 6 +sin11π 6 +sin17π 6 =f 5π 6 +sin5π 6 +sin11π 6 +sin17π 6 =f 5π 6 +sinπ 6 +sin -π 6 +sinπ 6 =0+1 2 + -1 2 +1 2 =1 2. [答案] (1)C (2)A [解题方略] 1.同角三角函数基本关系式的应用技巧 第 2 页 共 17 页 知弦求弦 利用诱导公式及平方关系 sin2α+cos2α=1 求解 知弦求切 常通过平方关系、对称式 sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α 建立联系,注意 tan α=sin α cos α 的灵活应用 知切求弦 通常先利用商数关系转化为 sin α=tan α·cos α的形式,然后用平 方关系求解 和积转换法 如利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化 巧用“1” 的变换 1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=sin2θ 1+ 1 tan2θ 2.利用诱导公式进行化简求值的步骤 利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负—脱周—化锐.特别注意函数名称和符号的确 定. [注意] “奇变偶不变,符号看象限”. 1.(2019·福建适应性练习)已知α∈(0,π),sin π 2 -α =-1 3 ,则 tan(α+π)=( ) A. 2 4 B.- 2 4 C.2 2 D.-2 2 解析:选 D 由 sin π 2 -α =-1 3 ,得 cos α=-1 3 ,又由α∈(0,π),得 sin α=2 2 3 ,tan α=-2 2,所 以 tan(α+π)=tan α=-2 2.故选 D. 2.已知直线 2x-y-1=0 的倾斜角为α,则 sin 2α-2cos2α=( ) A.2 5 B.-6 5 C.-4 5 D.-12 5 解析:选 A 法一:(直接法)由已知得 tan α=2,即 sin α=2cos α. 又 sin2α+cos2α=1,所以 sin2α=4 5 ,cos2α=1 5. 而 sin 2α-2cos2α=2sin αcos α-2cos2α=2×2cos αcos α-2cos2α=2cos2α=2 5.故选 A. 法二:(转化法)由已知得 tan α=2,所以 sin 2α-2cos2α=2sin αcos α-2cos2α sin2α+cos2α =2tan α-2 tan2α+1 =2×2-2 22+1 =2 5. 考点二 三角函数的图象与解析式 第 3 页 共 17 页 题型一 由“图”定“式” [例 2] (1)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其部分图象如图所示,则函数 f(x)的解析式 为( ) A.f(x)=2sin 1 2x+π 4 B.f(x)=2sin 1 2x+3π 4 C.f(x)=2sin 1 4x+3π 4 D.f(x)=2sin 2x+π 4 (2)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象与 x 轴的一个交点 -π 12 ,0 到其相邻的一条对 称轴的距离为π 4 ,若 f π 12 =3 2 ,则函数 f(x)在 0,π 2 上的最小值为( ) A.1 2 B.- 3 C.- 3 2 D.-1 2 [解析] (1)由题图可知,函数图象上两个相邻的最值点分别为最高点 -π 2 ,2 ,最低点 3π 2 ,-2 , 所以函数的最大值为 2,即 A=2. 由图象可得,x=-π 2 ,x=3π 2 为相邻的两条对称轴, 所以函数的周期 T=2× 3π 2 - -π 2 =4π,故2π ω =4π,解得ω=1 2.所以 f(x)=2sin 1 2x+φ . 把点 -π 2 ,2 代入可得 2sin 1 2 × -π 2 +φ =2,即 sin φ-π 4 =1,所以φ-π 4 =2kπ+π 2 (k∈Z), 解得φ=2kπ+3π 4 (k∈Z).又 0<φ<π,所以φ=3π 4 .所以 f(x)=2sin 1 2x+3π 4 ,故选 B. (2)由题意得,函数 f(x)的最小正周期 T=4×π 4 =π=2π ω ,解得ω=2. 因为点 -π 12 ,0 在函数 f(x)的图象上,所以 Asin 2× -π 12 +φ =0, 解得φ=kπ+π 6 ,k∈Z,由 0<φ<π,可得φ=π 6 .因为 f π 12 =3 2 ,所以 Asin 2×π 12 +π 6 =3 2 , 解得 A= 3,所以 f(x)= 3sin 2x+π 6 .当 x∈ 0,π 2 时,2x+π 6 ∈ π 6 ,7π 6 , ∴sin 2x+π 6 ∈ -1 2 ,1 ,∴f(x)的最小值为- 3 2 . [答案] (1)B (2)C [解题方略] 由“图”定“式”找“对应”的方法 由三角函数的图象求解析式 y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)中参数的值,关键是把握函数图象的特征与参 第 4 页 共 17 页 数之间的对应关系,其基本依据就是“五点法”作图. (1)最值定 A,B:根据给定的函数图象确定最值,设最大值为 M,最小值为 m,则 M=A+B,m=-A+B, 解得 B=M+m 2 ,A=M-m 2 . (2)T 定ω:由周期的求解公式 T=2π ω ,可得ω=2π T . (3)点坐标定φ:一般运用代入法求解φ值,注意在确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破 口,即“峰点”“谷点”与三个“中心点”. 题型二 三角函数的图象变换 [例 3] (1)(2019·福建省质量检查)将函数 y=sin 2x+π 6 的图象向右平移π 6 个单位长度后,所得图象的一个 对称中心为( ) A. π 12 ,0 B. π 4 ,0 C. π 3 ,0 D. π 2 ,0 (2)(2019·天津高考)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,且 f(x)的最小正周期为π, 将 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为 g(x).若 g π 4 = 2,则 f 3π 8 =( ) A.-2 B.- 2 C. 2 D.2 [解析] (1)将函数 y=sin 2x+π 6 的图象向右平移π 6 个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为 y= sin 2 x-π 6 +π 6 =sin 2x-π 6 ,令 2x-π 6 =kπ,k∈Z,得 x=kπ 2 +π 12 ,k∈Z,当 k=0 时,x=π 12 ,故所 得图象的一个对称中心为 π 12 ,0 ,选 A. (2)∵函数 f(x)为奇函数,且|φ|<π,∴φ=0. 又 f(x)的最小正周期为π, ∴2π ω =π,解得ω=2.∴f(x)=Asin 2x. 由题意可得 g(x)=Asin x,g π 4 = 2, 第 5 页 共 17 页 即 Asinπ 4 = 2,解得 A=2. 故 f(x)=2sin 2x. ∴f 3π 8 =2sin3π 4 = 2. 故选 C. [答案] (1)A (2)C [解题方略] 关于三角函数的图象变换的方法 沿 x 轴 沿 y 轴 平移 变换 由 y=f(x)变为 y=f(x+φ)时,“左加右 减”,即φ>0,左移;φ<0,右移 由 y=f(x)变为 y=f(x)+k 时,“上加下 减”,即 k>0,上移;k<0,下移 伸缩 变换 由 y=f(x)变为 y=f(ωx)时,点的纵坐 标不变,横坐标变为原来的 1 |ω| 倍 由 y=f(x)变为 y=Af(x)时,点的横坐 标不变,纵坐标变为原来的|A|倍 [跟踪训练] 1.(2019·广州市调研测试)将函数 y=f(x)的图象向左平移π 3 个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸 长到原来的 2 倍得到 y=sin 3x-1 6 π 的图象,则 f(x)=( ) A.sin 3 2x+1 6 π B.sin 6x-1 6 π C.sin 3 2x+1 3 π D.sin 6x+1 3 π 解析:选 B 法一:由题设知,f 1 2x+π 3 =sin 3x-1 6 π .设 1 2x+π 3 =t,则 x=2t-2π 3 ,所以 f(t)= sin 3 2t-2π 3 -1 6 π =sin 6t-1 6 π .故 f(x)=sin 6x-1 6 π .故选 B. 法二:由题设知,先将函数 y=sin 3x-1 6 π 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2 ,再将所得图象向右 平移π 3 个单位长度即得函数 f(x)的图象,故 f(x)=sin 3×2 x-π 3 -1 6 π =sin 6x-1 6 π .故选 B. 2.(2019·湖南省五市十校联考)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ<2π)的部分图象 如图所示,则 f(2 019)的值为________. 第 6 页 共 17 页 解析:由题图易知,函数 f(x)的最小正周期 T=4× 5 2 -1 =6,所以ω=2π T =π 3 ,所以 f(x)=Asin π 3 x+φ , 将(0,1)代入,可得 Asin φ=1,所以 f(2 019)=f(6×336+3)=f(3)=Asin π 3 ×3+φ =-Asin φ=-1. 答案:-1 3.(2019·西安师大附中模拟改编)将函数 y=sin 2x+π 6 的图象向右平移π 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位 长度,得到 g(x)的图象.若 g(x1)g(x2)=4,且 x1,x2∈[-2π,2π],则 g(x)=____________,x1-2x2 的最大 值为________. 解析:将函数 y=sin 2x+π 6 的图象向右平移π 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度,得到 g(x)= sin 2x-2π 3 +π 6 +1=-cos 2x+1 的图象,故 g(x)的最大值为 2,最小值为 0.若 g(x1)g(x2)=4,则 g(x1)=g(x2) =2,即 cos 2x1=cos 2x2=-1.又 x1,x2∈[-2π,2π],∴2x1,2x2∈[-4π,4π],要使 x1-2x2 取得最大 值,则应有 2x1=3π,2x2=-3π,此时 x1-2x2 的最大值为3π 2 +3π=9π 2 . 答案:-cos 2x+1 9π 2 考点三 三角函数的性质 [例 4] (1)(2019·全国卷Ⅱ)若 x1=π 4 ,x2=3π 4 是函数 f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=( ) A.2 B.3 2 C.1 D.1 2 (2)(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中,以π 2 为周期且在区间 π 4 ,π 2 单调递增的是( ) A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x| C.f(x)=cos |x| D.f(x)=sin |x| (3)(2018·全国卷Ⅱ)若 f(x)=cos x-sin x 在[0,a]是减函数,则 a 的最大值是( ) A.π 4 B.π 2 C.3π 4 D.π [解析] (1)由题意及函数 y=sin ωx 的图象与性质可知,1 2T=3π 4 -π 4 ,∴ T=π,∴ 2π ω =π,∴ ω=2. 故选 A. (2)作出函数 f(x)=|cos 2x|的图象,如图. 由图象可知 f(x)=|cos 2x|的周期为π 2 ,在区间 π 4 ,π 2 上单调递增. 同理可得 f(x)=|sin 2x|的周期为π 2 ,在区间 π 4 ,π 2 上单调递减,f(x)=cos |x|的周期为 2π.f(x)=sin |x|不是周 第 7 页 共 17 页 期函数,排除 B、C、D. 故选 A. (3)法一:∵f(x)=cos x-sin x=- 2sin x-π 4 ,∴当 x-π 4 ∈ -π 2 ,π 2 ,即 x∈ -π 4 ,3π 4 时, y=sin x-π 4 单调递增,f(x)=- 2sin x-π 4 单调递减,∴ -π 4 ,3π 4 是 f(x)在原点附近的单调减区间, 结合条件得[0,a]⊆ -π 4 ,3π 4 ,∴a≤3π 4 ,即 amax=3π 4 .故选 C. 法二:f′(x)=-sin x-cos x=- 2sin x+π 4 . 于是,由题设得 f′(x)≤0,即 sin x+π 4 ≥0 在区间[0,a]上恒成立.当 x∈[0,a]时,x+π 4 ∈ π 4 ,a+π 4 , 所以 a+π 4 ≤π,即 a≤3π 4 ,故所求 a 的最大值是3π 4 .故选 C. [答案] (1)A (2)A (3)C [解题方略] 1.求三角函数单调区间的方法 (1)代换法:求形如 y=Asin(ωx+φ)(或 y=Acos(ωx+φ))(A,ω,φ为常数,A≠0,ω>0)的单调区间时,令 ωx+φ=z,得 y=Asin z(或 y=Acos z),然后由复合函数的单调性求得. (2)图象法:画出三角函数的图象,结合图象求其单调区间. 2.判断对称中心与对称轴的方法 利用函数 y=Asin(ωx+φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点这一性质, 通过检验 f(x0)的值进行判断. 3.求三角函数周期的常用结论 (1)y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π |ω| ,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 π |ω| . (2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是1 2 个周期,相邻的对称中心与对称轴之 间的距离是1 4 个周期;正切曲线相邻两对称中心之间的距离是1 2 个周期. [跟踪训练] 1.(2019·沈阳市质量监测一)设函数 f(x)=sin 2x-π 4 ,则下列结论正确的是( ) A.函数 y=f(x)的递减区间为 -π 8 ,3π 8 B.函数 y=f(x)的图象可由 y=sin 2x 的图象向左平移π 8 个单位长度得到 C.函数 y=f(x)的图象的一条对称轴的方程为 x=π 8 第 8 页 共 17 页 D.若 x∈ 7π 24 ,π 2 ,则 y=f(x)的取值范围是 2 2 ,1 解析:选 D 对于 A,令 2kπ+π 2 ≤2x-π 4 ≤2kπ+3π 2 ,k∈Z,得 kπ+3π 8 ≤x≤kπ+7π 8 ,k∈Z,A 错; 对于 B,y=sin 2x 的图象向左平移π 8 个单位长度后是 y=sin 2 x+π 8 =sin 2x+π 4 的图象,B 错;对于 C, 令 2x-π 4 =kπ+π 2 ,k∈Z,得 x=k 2 π+3π 8 ,k∈Z,当 k=-1 时,x=-π 8 ,当 k=0 时,x=3π 8 ,C 错; 对于 D,若 x∈ 7π 24 ,π 2 ,则 2x-π 4 ∈ π 3 ,3π 4 ,故 f(x)∈ 2 2 ,1 ,D 正确. 2.(2019·武汉市调研测试)已知函数 y=2sin(2x+φ) -π 2 <φ<π 2 的图象关于直线 x=π 6 对称,则φ的值为 ________. 解析:法一:因为函数 y=2sin(2x+φ)的图象关于直线 x=π 6 对称,所以 2sin 2×π 6 +φ =±2,所以π 3 +φ =kπ+π 2 (k∈Z),即φ=kπ+π 6 (k∈Z).又-π 2 <φ<π 2 ,所以φ=π 6 . 法二:因为函数 f(x)=2sin(2x+φ) -π 2 <φ<π 2 的图象关于直线 x=π 6 对称,所以 f(0)=f π 3 ,即 2sin φ= 2sin 2π 3 +φ ,sin φ= 3 2 cos φ-1 2sin φ,则 tan φ= 3 3 .因为-π 2 <φ<π 2 ,所以φ=π 6 . 答案:π 6 考点四 三角函数图象与性质的综合应用 [例 5] (2019·浙江高考)设函数 f(x)=sin x,x∈R.(1)已知θ∈[0,2π),函数 f(x+θ)是偶函数,求θ的值; (2)求函数 y= f x+π 12 2 + f x+π 4 2 的值域. [解] (1)因为 f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以对任意实数 x 都有 sin(x+θ)=sin(-x+θ), 即 sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ,故 2sin xcos θ=0,所以 cos θ=0. 又θ∈[0,2π),因此θ=π 2 或θ=3π 2 . (2)y= f x+π 12 2 + f x+π 4 2 =sin2 x+π 12 +sin2 x+π 4 =1-cos 2x+π 6 2 +1-cos 2x+π 2 2 =1-1 2 3 2 cos 2x-3 2sin 2x =1- 3 2 cos 2x+π 3 . 因此,所求函数的值域是 1- 3 2 ,1+ 3 2 . 第 9 页 共 17 页 [解题方略] 解决三角函数图象与性质综合问题的思路 (1)先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成 y=Asin(ωx+φ)+k(一角一函数)的形式; (2)把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数性质求 y=Asin(ωx+φ)+k 的单调性、奇偶性、最值、对称性 等问题. [跟踪训练] (2019·合肥市第一次质检)将函数 f(x)=sin 2x 的图象向左平移π 6 个单位长度后得到函数 g(x)的图象,设函数 h(x)=f(x)-g(x).(1)求函数 h(x)的单调递增区间;(2)若 g α+π 6 =1 3 ,求 h(α)的值. 解:(1)由已知可得 g(x)=sin 2x+π 3 ,则 h(x)=sin 2x-sin 2x+π 3 =sin 2x-π 3 . 令-π 2 +2kπ≤2x-π 3 ≤π 2 +2kπ,k∈Z,得-π 12 +kπ≤x≤5π 12 +kπ,k∈Z. ∴函数 h(x)的单调递增区间为 -π 12 +kπ,5π 12 +kπ ,k∈Z. (2)由 g α+π 6 =1 3 得 sin 2 α+π 6 +π 3 =sin 2α+2π 3 =1 3 , ∴sin 2α-π 3 =-1 3 ,即 h(α)=-1 3. 课后限时练习: A 组——“6+3+3”考点落实练 一、选择题 1.(2019·合肥市第一次质检)已知 cos α-sin α=1 5 ,则 cos 2α-π 2 =( ) A.-24 25 B.-4 5 第 10 页 共 17 页 C.24 25 D.4 5 2.(2019·湖南省五市十校联考)已知函数 f(x)=2 3sin xcos x+2cos2x+1,则( ) A.f(x)的最小正周期为π,最大值为 3 B.f(x)的最小正周期为π,最大值为 4 C.f(x)的最小正周期为 2π,最大值为 3 D.f(x)的最小正周期为 2π,最大值为 4 3.(2019·四川攀枝花模拟)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|<π 2 的部分图象如图所示,现将此图象 向右平移π 12 个单位长度得到函数 g(x)的图象,则函数 g(x)的解析式为( ) A.g(x)=2sin 2x B.g(x)=2sin 2x-π 6 C.g(x)=2sin 2x-π 4 D.g(x)=2sin 2x-π 3 4.(2019·昆明市质量检测)将函数 y=sin 2x-π 4 的图象向左平移π 4 个单位长度,所得图象对应的函数在区间 [-m,m]上单调递增,则 m 的最大值为( ) A.π 8 B.π 4 C.3π 8 D.π 2 5.(2019·全国卷Ⅰ)关于函数 f(x)=sin |x|+|sin x|有下述四个结论: ①f(x)是偶函数;②f(x)在区间 π 2 ,π 单调递增; ③f(x)在[-π,π]有 4 个零点;④f(x)的最大值为 2. 其中所有正确结论的编号是( ) A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③ 6.(2019·蓉城名校第一次联考)已知函数 f(x)=Asin(2x+θ) A>0,|θ|<π 2 的部分图象如图所示,f(a)=f(b) =0,f(a+b)= 3,则( ) A.f(x)在 -5π 12 ,π 12 上是减函数 B.f(x)在 -5π 12 ,π 12 上是增函数 C.f(x)在 π 3 ,5π 6 上是减函数 D.f(x)在 π 3 ,5π 6 上是增函数 第 11 页 共 17 页 二、填空题 7.(2019·全国卷Ⅰ)函数 f(x)=sin 2x+3π 2 -3cos x 的最小值为________. 8.(2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系 xOy 中,角α的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合, 终边交单位圆 O 于点 P(a,b),且 a+b=7 5 ,则 cos 2α+π 2 的值是________. 9.已知 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)在区间[2,4]上单调,且 f(2)=1,f(4)=-1,则ω=________,f(x)在 区间 1 2 ,3 上的值域是________. 三、解答题 10.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|<π 2 的部分图象如图所示.(1)求函数 y=f(x)的解析式;(2) 说明函数 y=f(x)的图象可由函数 y= 3sin 2x-cos 2x 的图象经过怎样的平移变换得到. 11.已知 m= sin x-π 6 ,1 ,n=(cos x,1).(1)若 m∥n,求 tan x 的值;(2)若函数 f(x)=m·n,x∈[0,π], 求 f(x)的单调递增区间. 12.已知函数 f(x)=cos x(2 3sin x+cos x)-sin2x.(1)求函数 f(x)的最小正周期;(2)若当 x∈ 0,π 2 时,不等式 f(x)≥m 有解,求实数 m 的取值范围. 第 12 页 共 17 页 B 组——大题专攻强化练 1.已知函数 f(x)= 3sin24x+sin 4xcos 4x.(1)求函数 f(x)图象的对称轴方程;(2)求函数 f(x)在区间 -π 24 ,π 12 上 的最值. 2.已知向量 m=(2sin ωx,sin ωx),n=(cos ωx,-2 3sin ωx)(ω>0),函数 f(x)=m·n+ 3,直线 x=x1, x=x2 是函数 y=f(x)的图象的任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为π 2 .(1)求ω的值;(2)求函数 f(x)的单调递 增区间. 3.已知函数 f(x)= 3sin 2ωx+cos4ωx-sin4ωx+1(0<ω<1),若点 -π 6 ,1 是函数 f(x)图象的一个对称中心. (1)求 f(x)的解析式,并求距 y 轴最近的一条对称轴的方程;(2)先列表,再作出函数 f(x)在区间[-π,π]上 的图象. 第 13 页 共 17 页 4.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) ω>0,0≤φ≤π 2 图象的相邻两对称轴之间的距离为π 2 ,且在 x=π 8 时取得最 大值 1.(1)求函数 f(x)的解析式;(2)当 x∈ 0,9π 8 时,若方程 f(x)=a 恰好有三个根,分别为 x1,x2,x3,求 x1+x2+x3 的取值范围. 1 解析:选 C 由 cos α-sin α=1 5 ,得 1-sin 2α= 1 25 ,所以 sin 2α=24 25 ,所以 cos 2α-π 2 =sin 2α= 第 14 页 共 17 页 24 25 ,故选 C. 2 解析:选 B f(x)=2 3sin xcos x+2cos2x+1= 3sin 2x+cos 2x+2=2sin 2x+π 6 +2,则 f(x)的最小正周期 为2π 2 =π,最大值为 2+2=4.故选 B. 3 解析:选 D 根据函数 f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|<π 2 的图象可得 A=2,1 2 ·2π ω =π 3 +π 6 ,∴ ω=2. 再根据五点法作图可得 2×π 3 +φ=π 2 ,∴φ=-π 6 , ∴函数 f(x)=2sin 2x-π 6 =2sin 2 x-π 12 . 把 f(x)的图象向右平移π 12 个单位长度得到函数 g(x)=2sin 2 x-π 12 -π 12 =2sin 2x-π 3 的图象,故选 D. 4 解析:选 A 函数 y=sin 2x-π 4 的图象向左平移π 4 个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为 y= sin 2 x+π 4 -π 4 =cos 2x-π 4 ,由-π+2kπ≤2x-π 4 ≤2kπ(k∈Z),得-3π 8 +kπ≤x≤π 8 +kπ(k∈Z), 所以当 k=0 时函数的一个单调递增区间是 -3π 8 ,π 8 ,所以 m 的最大值为π 8 .故选 A. 5 解析:选 C ①中,f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin |x|+|sin x|=f(x),∴f(x)是偶函数,①正确. ②中,当 x∈ π 2 ,π 时,f(x)=sin x+sin x=2sin x,函数单调递减,②错误. ③中,当 x=0 时,f(x)=0,当 x∈(0,π]时,f(x)=2sin x,令 f(x)=0,得 x=π. 又∵f(x)是偶函数,∴函数 f(x)在[-π,π]上有 3 个零点,③错误. ④中,∵sin |x|≤|sin x|,∴f(x)≤2|sin x|≤2,当 x=π 2 +2kπ(k∈Z)或 x=-π 2 +2kπ(k∈Z)时, f(x)能取得最大值 2,故④正确.综上,①④正确.故选 C. 6 解析:选 B 由题图可知 A=2,则 f(x)=2sin(2x+θ). 因为 f(a)=f(b)=0,所以 f a+b 2 =2,则 sin(a+b+θ)=1,a+b+θ=π 2 +2kπ,k∈Z. 由 f(a+b)= 3得 sin[2(a+b)+θ]= 3 2 ,2(a+b)+θ=π 3 +2kπ,k∈Z,或 2(a+b)+θ=2π 3 +2kπ,k∈Z, 所以θ=2π 3 +2kπ或θ=π 3 +2kπ,k∈Z,又|θ|<π 2 ,所以θ=π 3 , 第 15 页 共 17 页 f(x)=2sin 2x+π 3 .当 x∈ -5π 12 ,π 12 时,2x+π 3 ∈ -π 2 ,π 2 , 所以 f(x)在 -5π 12 ,π 12 上是增函数.当 x∈ π 3 ,5π 6 时,2x+π 3 ∈(π,2π),所以 f(x)在 π 3 ,5π 6 上先减后 增.B. 7 解析:∵ f(x)=sin 2x+3π 2 -3cos x=-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1, 令 t=cos x,则 t∈[-1,1],∴ f(x)=-2t2-3t+1. 又函数 f(x)图象的对称轴 t=-3 4 ∈[-1,1],且开口向下,∴ 当 t=1 时,f(x)有最小值-4.答案:-4 8 解析:由三角函数的定义知 cos α=a,sin α=b,∴cos α+sin α=a+b=7 5 , ∴(cos α+sin α)2=1+sin 2α=49 25 ,∴sin 2α=49 25 -1=24 25 ,∴cos 2α+π 2 =-sin 2α=-24 25.答案:-24 25 9 解析:由题意知 f(x)的最小正周期 T=4,∴ω=π 2 ,∴f(x)=sin π 2 x+φ .又 f(2)=sin(π+φ)=1, ∴π+φ=π 2 +2kπ,k∈Z.又|φ|<π,∴φ=-π 2 ,∴f(x)=sin π 2 x-π 2 .由 x∈ 1 2 ,3 ,得 π 2 x-π 2 ∈ -π 4 ,π , ∴sin π 2 x-π 2 ∈ - 2 2 ,1 ,即 f(x)在区间 1 2 ,3 上的值域为 - 2 2 ,1 .答案:π 2 - 2 2 ,1 10 解:(1)由题图可知,A=2,T=4 π 3 -π 12 =π,∴2π ω =π,ω=2,∴f(x)=2sin(2x+φ),∵f π 3 =0, ∴sin 2π 3 +φ =0,∴φ+2π 3 =kπ,k∈Z,即φ=-2π 3 +kπ,k∈Z.∵|φ|<π 2 ,∴φ=π 3 ,∴f(x)= 2sin 2x+π 3 . (2)y= 3sin 2x-cos 2x=2sin 2x-π 6 =2sin 2 x-π 4 +π 3 , 故将函数 y= 3sin 2x-cos 2x 的图象向左平移π 4 个单位长度就得到函数 y=f(x)的图象. 11 解:(1)由 m∥n 得,sin x-π 6 -cos x=0,展开变形可得,sin x= 3cos x,即 tan x= 3. (2)f(x)=m·n=sin x-π 6 cos x+1= 3 2 sin xcos x-1 2cos2x+1= 3 4 sin 2x-cos 2x+1 4 +1 第 16 页 共 17 页 =1 2 sin 2xcos π 6 -cos 2xsin π 6 +3 4 =1 2sin 2x-π 6 +3 4 , 由-π 2 +2kπ≤2x-π 6 ≤π 2 +2kπ,k∈Z,得-π 6 +kπ≤x≤π 3 +kπ,k∈Z. 又 x∈[0,π],所以当 x∈[0,π]时,f(x)的单调递增区间为 0,π 3 和 5π 6 ,π . 12 解:(1)f(x)=2 3sin xcos x+cos2x-sin2x= 3sin 2x+cos 2x=2 3 2 sin 2x+1 2cos 2x =2sin 2x+π 6 , 所以函数 f(x)的最小正周期 T=π. (2)由题意可知,不等式 f(x)≥m 有解,即 m≤f(x)max,因为 x∈ 0,π 2 ,所以 2x+π 6 ∈ π 6 ,7π 6 , 故当 2x+π 6 =π 2 ,即 x=π 6 时,f(x)取得最大值,且最大值为 f π 6 =2.从而可得 m≤2. 所以实数 m 的取值范围为(-∞,2]. 1 解:(1)f(x)= 3sin24x+sin 4xcos 4x= 3×1-cos 8x 2 +1 2sin 8x=1 2sin 8x- 3 2 cos 8x+ 3 2 =sin 8x-π 3 + 3 2 . 令 8x-π 3 =kπ+π 2 (k∈Z),得 x=kπ 8 +5π 48 (k∈Z),所以函数 f(x)图象的对称轴方程为 x=kπ 8 +5π 48 (k∈Z). (2)由(1)得 f(x)=sin 8x-π 3 + 3 2 .因为 x∈ -π 24 ,π 12 ,所以 8x-π 3 ∈ -2π 3 ,π 3 .故 sin 8x-π 3 ∈ -1, 3 2 . 所以-1+ 3 2 ≤sin 8x-π 3 + 3 2 ≤ 3,所以函数 f(x)在区间 -π 24 ,π 12 上的最大值为 3,最小值为-1+ 3 2 . 2 解:(1)因为向量 m=(2sin ωx,sin ωx),n=(cos ωx,-2 3sin ωx)(ω>0),所以函数 f(x)=m·n+ 3= 2sin ωxcos ωx+sin ωx(-2 3sin ωx)+ 3=sin 2ωx-2 3sin2 ωx+ 3=sin 2ωx+ 3cos 2ωx= 2sin 2ωx+π 3 . 因为直线 x=x1,x=x2 是函数 y=f(x)的图象的任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为π 2 ,所以函数 f(x)的最 小正周期为π 2 ×2=π,即2π 2ω =π,得ω=1. (2)由(1)知,f(x)=2sin 2x+π 3 ,令 2kπ-π 2 ≤2x+π 3 ≤2kπ+π 2 (k∈Z),解得 kπ-5π 12 ≤x≤kπ+π 12 (k∈ Z), 第 17 页 共 17 页 所以函数 f(x)的单调递增区间为 kπ-5π 12 ,kπ+π 12 (k∈Z). 3 解:(1)f(x)= 3sin 2ωx+(cos2ωx-sin2ωx)·(cos2ωx+sin2ωx)+1= 3sin 2ωx+cos 2ωx+1 =2sin 2ωx+π 6 +1.∵点 -π 6 ,1 是函数 f(x)图象的一个对称中心,∴-ωπ 3 +π 6 =kπ,k∈Z,∴ω=- 3k+1 2 ,k∈Z.∵0<ω<1,∴k=0,ω=1 2 ,∴f(x)=2sin x+π 6 +1.由 x+π 6 =kπ+π 2 ,k∈Z,得 x=kπ+π 3 , k∈Z, 令 k=0,得距 y 轴最近的一条对称轴方程为 x=π 3 . (2)由(1)知,f(x)=2sin x+π 6 +1,当 x∈[-π,π]时,列表如下: x+π 6 -5π 6 -π 2 0 π 2 π 7π 6 x -π -2π 3 -π 6 π 3 5π 6 π f(x) 0 -1 1 3 1 0 则函数 f(x)在区间[-π,π]上的图象如图所示. 4 解:(1)由题意,T=2×π 2 =π,故ω=2π π =2,所以 sin 2×π 8 +φ =sin π 4 +φ =1, 所以π 4 +φ=2kπ+π 2 ,k∈Z,所以φ=2kπ+π 4 ,k∈Z.因为 0≤φ≤π 2 ,所以φ=π 4 ,所以 f(x)=sin 2x+π 4 . (2)画出该函数的图象如图,当 2 2 ≤a<1 时,方程 f(x)=a 恰好有三个根,且点(x1,a)和(x2,a)关于直线 x=π 8 对称,点(x2,a)和(x3,a)关于直线 x=5π 8 对称,所以 x1+x2=π 4 ,π≤x3<9π 8 ,所以5π 4 ≤x1+x2+x3<11π 8 , 故 x1+x2+x3 的取值范围为 5π 4 ,11π 8 .