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成都市高三二轮复习文科数学(六) 三角函数的图象与性质
[全国卷 考情分析]
年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ
2019
三角函数的诱导公式及三
角函数的性质·T15
三角函数的图象与性质,函数的极值点·T8 三角函数的零点·T5
2018
三角恒等变换及三角函数
的周期与最值·T8
三角函数单调性的应用·T10 正切函数的周期·T6
2017
三角函数的周期·T3
三角函数的最值·T6
三角函数的最值·T13
(1)高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质,主要考查图象的变换,函数的单调
性、奇偶性、周期性、对称性及最值,并常与三角恒等变换交汇命题.
(2)主要以选择题、填空题的形式考查,难度为中等偏下,大多出现在第 3~11 或 14~15 题位置上.
考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系
[例 1] (1)(2019·安徽省考试试题)角θ的顶点为坐标原点,始边为 x 轴正半轴,终边经过点 P(4,y),且 sin θ
=-3
5
,则 tan θ=( )
A.-4
3 B.4
3 C.-3
4 D.3
4
(2)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π)=f(x)+sin x.当 0≤x<π时,f(x)=0,则 f
23π
6 =( )
A.1
2 B. 3
2 C.0 D.-1
2
[解析] (1)因为角θ的终边经过点 P(4,y),sin θ=-3
5
<0,所以角θ为第四象限角,所以 cos θ= 1-sin2θ
=4
5
,所以 tan θ=sin θ
cos θ
=-3
4
,故选 C.
(2)由已知,得 f
23π
6 =f
17π
6 +sin17π
6
=f
11π
6 +sin11π
6
+sin17π
6
=f
5π
6 +sin5π
6
+sin11π
6
+sin17π
6
=f
5π
6 +sinπ
6
+sin
-π
6 +sinπ
6
=0+1
2
+ -1
2 +1
2
=1
2.
[答案] (1)C (2)A
[解题方略]
1.同角三角函数基本关系式的应用技巧
第 2 页 共 17 页
知弦求弦 利用诱导公式及平方关系 sin2α+cos2α=1 求解
知弦求切
常通过平方关系、对称式 sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α
建立联系,注意 tan α=sin α
cos α
的灵活应用
知切求弦
通常先利用商数关系转化为 sin α=tan α·cos α的形式,然后用平
方关系求解
和积转换法 如利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化
巧用“1”
的变换 1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=sin2θ 1+ 1
tan2θ
2.利用诱导公式进行化简求值的步骤
利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负—脱周—化锐.特别注意函数名称和符号的确
定.
[注意] “奇变偶不变,符号看象限”.
1.(2019·福建适应性练习)已知α∈(0,π),sin
π
2
-α =-1
3
,则 tan(α+π)=( )
A. 2
4 B.- 2
4 C.2 2 D.-2 2
解析:选 D 由 sin
π
2
-α =-1
3
,得 cos α=-1
3
,又由α∈(0,π),得 sin α=2 2
3
,tan α=-2 2,所
以 tan(α+π)=tan α=-2 2.故选 D.
2.已知直线 2x-y-1=0 的倾斜角为α,则 sin 2α-2cos2α=( )
A.2
5 B.-6
5 C.-4
5 D.-12
5
解析:选 A 法一:(直接法)由已知得 tan α=2,即 sin α=2cos α.
又 sin2α+cos2α=1,所以 sin2α=4
5
,cos2α=1
5.
而 sin 2α-2cos2α=2sin αcos α-2cos2α=2×2cos αcos α-2cos2α=2cos2α=2
5.故选 A.
法二:(转化法)由已知得 tan α=2,所以 sin 2α-2cos2α=2sin αcos α-2cos2α
sin2α+cos2α
=2tan α-2
tan2α+1
=2×2-2
22+1
=2
5.
考点二 三角函数的图象与解析式
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题型一 由“图”定“式”
[例 2] (1)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其部分图象如图所示,则函数 f(x)的解析式
为( )
A.f(x)=2sin
1
2x+π
4 B.f(x)=2sin
1
2x+3π
4 C.f(x)=2sin
1
4x+3π
4 D.f(x)=2sin 2x+π
4
(2)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象与 x 轴的一个交点 -π
12
,0 到其相邻的一条对
称轴的距离为π
4
,若 f
π
12 =3
2
,则函数 f(x)在 0,π
2 上的最小值为( )
A.1
2 B.- 3 C.- 3
2 D.-1
2
[解析] (1)由题图可知,函数图象上两个相邻的最值点分别为最高点 -π
2
,2 ,最低点
3π
2
,-2 ,
所以函数的最大值为 2,即 A=2. 由图象可得,x=-π
2
,x=3π
2
为相邻的两条对称轴,
所以函数的周期 T=2×
3π
2
- -π
2 =4π,故2π
ω
=4π,解得ω=1
2.所以 f(x)=2sin
1
2x+φ .
把点 -π
2
,2 代入可得 2sin
1
2
× -π
2 +φ =2,即 sin φ-π
4 =1,所以φ-π
4
=2kπ+π
2
(k∈Z),
解得φ=2kπ+3π
4
(k∈Z).又 0<φ<π,所以φ=3π
4
.所以 f(x)=2sin
1
2x+3π
4 ,故选 B.
(2)由题意得,函数 f(x)的最小正周期 T=4×π
4
=π=2π
ω
,解得ω=2.
因为点 -π
12
,0 在函数 f(x)的图象上,所以 Asin 2× -π
12 +φ =0,
解得φ=kπ+π
6
,k∈Z,由 0<φ<π,可得φ=π
6
.因为 f
π
12 =3
2
,所以 Asin 2×π
12
+π
6 =3
2
,
解得 A= 3,所以 f(x)= 3sin 2x+π
6 .当 x∈ 0,π
2 时,2x+π
6
∈
π
6
,7π
6 ,
∴sin 2x+π
6 ∈ -1
2
,1 ,∴f(x)的最小值为- 3
2 .
[答案] (1)B (2)C
[解题方略] 由“图”定“式”找“对应”的方法
由三角函数的图象求解析式 y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)中参数的值,关键是把握函数图象的特征与参
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数之间的对应关系,其基本依据就是“五点法”作图.
(1)最值定 A,B:根据给定的函数图象确定最值,设最大值为 M,最小值为 m,则 M=A+B,m=-A+B,
解得 B=M+m
2
,A=M-m
2
.
(2)T 定ω:由周期的求解公式 T=2π
ω
,可得ω=2π
T
.
(3)点坐标定φ:一般运用代入法求解φ值,注意在确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破
口,即“峰点”“谷点”与三个“中心点”.
题型二 三角函数的图象变换
[例 3] (1)(2019·福建省质量检查)将函数 y=sin 2x+π
6 的图象向右平移π
6
个单位长度后,所得图象的一个
对称中心为( )
A.
π
12
,0 B.
π
4
,0
C.
π
3
,0 D.
π
2
,0
(2)(2019·天津高考)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,且 f(x)的最小正周期为π,
将 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为 g(x).若 g
π
4 =
2,则 f
3π
8 =( )
A.-2 B.- 2
C. 2 D.2
[解析] (1)将函数 y=sin 2x+π
6 的图象向右平移π
6
个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为 y=
sin 2 x-π
6 +π
6 =sin 2x-π
6 ,令 2x-π
6
=kπ,k∈Z,得 x=kπ
2
+π
12
,k∈Z,当 k=0 时,x=π
12
,故所
得图象的一个对称中心为
π
12
,0 ,选 A.
(2)∵函数 f(x)为奇函数,且|φ|<π,∴φ=0.
又 f(x)的最小正周期为π,
∴2π
ω
=π,解得ω=2.∴f(x)=Asin 2x.
由题意可得 g(x)=Asin x,g
π
4 = 2,
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即 Asinπ
4
= 2,解得 A=2.
故 f(x)=2sin 2x.
∴f
3π
8 =2sin3π
4
= 2.
故选 C.
[答案] (1)A (2)C
[解题方略] 关于三角函数的图象变换的方法
沿 x 轴 沿 y 轴
平移
变换
由 y=f(x)变为 y=f(x+φ)时,“左加右
减”,即φ>0,左移;φ<0,右移
由 y=f(x)变为 y=f(x)+k 时,“上加下
减”,即 k>0,上移;k<0,下移
伸缩
变换
由 y=f(x)变为 y=f(ωx)时,点的纵坐
标不变,横坐标变为原来的 1
|ω|
倍
由 y=f(x)变为 y=Af(x)时,点的横坐
标不变,纵坐标变为原来的|A|倍
[跟踪训练]
1.(2019·广州市调研测试)将函数 y=f(x)的图象向左平移π
3
个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸
长到原来的 2 倍得到 y=sin 3x-1
6
π 的图象,则 f(x)=( )
A.sin
3
2x+1
6
π
B.sin 6x-1
6
π
C.sin
3
2x+1
3
π
D.sin 6x+1
3
π
解析:选 B 法一:由题设知,f
1
2x+π
3 =sin 3x-1
6
π
.设 1
2x+π
3
=t,则 x=2t-2π
3
,所以 f(t)=
sin 3 2t-2π
3 -1
6
π =sin 6t-1
6
π
.故 f(x)=sin 6x-1
6
π
.故选 B.
法二:由题设知,先将函数 y=sin 3x-1
6
π 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
,再将所得图象向右
平移π
3
个单位长度即得函数 f(x)的图象,故 f(x)=sin 3×2 x-π
3 -1
6
π =sin 6x-1
6
π
.故选
B.
2.(2019·湖南省五市十校联考)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ<2π)的部分图象
如图所示,则 f(2 019)的值为________.
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解析:由题图易知,函数 f(x)的最小正周期 T=4×
5
2
-1 =6,所以ω=2π
T
=π
3
,所以 f(x)=Asin
π
3
x+φ ,
将(0,1)代入,可得 Asin φ=1,所以 f(2 019)=f(6×336+3)=f(3)=Asin
π
3
×3+φ =-Asin φ=-1.
答案:-1
3.(2019·西安师大附中模拟改编)将函数 y=sin 2x+π
6 的图象向右平移π
3
个单位长度,再向上平移 1 个单位
长度,得到 g(x)的图象.若 g(x1)g(x2)=4,且 x1,x2∈[-2π,2π],则 g(x)=____________,x1-2x2 的最大
值为________.
解析:将函数 y=sin 2x+π
6 的图象向右平移π
3
个单位长度,再向上平移 1 个单位长度,得到 g(x)=
sin 2x-2π
3
+π
6 +1=-cos 2x+1 的图象,故 g(x)的最大值为 2,最小值为 0.若 g(x1)g(x2)=4,则 g(x1)=g(x2)
=2,即 cos 2x1=cos 2x2=-1.又 x1,x2∈[-2π,2π],∴2x1,2x2∈[-4π,4π],要使 x1-2x2 取得最大
值,则应有 2x1=3π,2x2=-3π,此时 x1-2x2 的最大值为3π
2
+3π=9π
2
.
答案:-cos 2x+1 9π
2
考点三 三角函数的性质
[例 4] (1)(2019·全国卷Ⅱ)若 x1=π
4
,x2=3π
4
是函数 f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=( )
A.2 B.3
2 C.1 D.1
2
(2)(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中,以π
2
为周期且在区间
π
4
,π
2 单调递增的是( )
A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x| C.f(x)=cos |x| D.f(x)=sin |x|
(3)(2018·全国卷Ⅱ)若 f(x)=cos x-sin x 在[0,a]是减函数,则 a 的最大值是( )
A.π
4
B.π
2 C.3π
4
D.π
[解析] (1)由题意及函数 y=sin ωx 的图象与性质可知,1
2T=3π
4
-π
4
,∴ T=π,∴ 2π
ω
=π,∴ ω=2.
故选 A.
(2)作出函数 f(x)=|cos 2x|的图象,如图.
由图象可知 f(x)=|cos 2x|的周期为π
2
,在区间
π
4
,π
2 上单调递增.
同理可得 f(x)=|sin 2x|的周期为π
2
,在区间
π
4
,π
2 上单调递减,f(x)=cos |x|的周期为 2π.f(x)=sin |x|不是周
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期函数,排除 B、C、D. 故选 A.
(3)法一:∵f(x)=cos x-sin x=- 2sin x-π
4 ,∴当 x-π
4
∈ -π
2
,π
2 ,即 x∈ -π
4
,3π
4 时,
y=sin x-π
4 单调递增,f(x)=- 2sin x-π
4 单调递减,∴ -π
4
,3π
4 是 f(x)在原点附近的单调减区间,
结合条件得[0,a]⊆ -π
4
,3π
4 ,∴a≤3π
4
,即 amax=3π
4
.故选 C.
法二:f′(x)=-sin x-cos x=- 2sin x+π
4 .
于是,由题设得 f′(x)≤0,即 sin x+π
4 ≥0 在区间[0,a]上恒成立.当 x∈[0,a]时,x+π
4
∈
π
4
,a+π
4 ,
所以 a+π
4
≤π,即 a≤3π
4
,故所求 a 的最大值是3π
4
.故选 C.
[答案] (1)A (2)A (3)C
[解题方略]
1.求三角函数单调区间的方法
(1)代换法:求形如 y=Asin(ωx+φ)(或 y=Acos(ωx+φ))(A,ω,φ为常数,A≠0,ω>0)的单调区间时,令
ωx+φ=z,得 y=Asin z(或 y=Acos z),然后由复合函数的单调性求得.
(2)图象法:画出三角函数的图象,结合图象求其单调区间.
2.判断对称中心与对称轴的方法
利用函数 y=Asin(ωx+φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点这一性质,
通过检验 f(x0)的值进行判断.
3.求三角函数周期的常用结论
(1)y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π
|ω|
,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 π
|ω|
.
(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是1
2
个周期,相邻的对称中心与对称轴之
间的距离是1
4
个周期;正切曲线相邻两对称中心之间的距离是1
2
个周期.
[跟踪训练]
1.(2019·沈阳市质量监测一)设函数 f(x)=sin 2x-π
4 ,则下列结论正确的是( )
A.函数 y=f(x)的递减区间为 -π
8
,3π
8
B.函数 y=f(x)的图象可由 y=sin 2x 的图象向左平移π
8
个单位长度得到
C.函数 y=f(x)的图象的一条对称轴的方程为 x=π
8
第 8 页 共 17 页
D.若 x∈
7π
24
,π
2 ,则 y=f(x)的取值范围是
2
2
,1
解析:选 D 对于 A,令 2kπ+π
2
≤2x-π
4
≤2kπ+3π
2
,k∈Z,得 kπ+3π
8
≤x≤kπ+7π
8
,k∈Z,A 错;
对于 B,y=sin 2x 的图象向左平移π
8
个单位长度后是 y=sin 2 x+π
8 =sin 2x+π
4 的图象,B 错;对于 C,
令 2x-π
4
=kπ+π
2
,k∈Z,得 x=k
2
π+3π
8
,k∈Z,当 k=-1 时,x=-π
8
,当 k=0 时,x=3π
8
,C 错;
对于 D,若 x∈
7π
24
,π
2 ,则 2x-π
4 ∈
π
3
,3π
4 ,故 f(x)∈
2
2
,1 ,D 正确.
2.(2019·武汉市调研测试)已知函数 y=2sin(2x+φ)
-π
2
<φ<π
2 的图象关于直线 x=π
6
对称,则φ的值为
________.
解析:法一:因为函数 y=2sin(2x+φ)的图象关于直线 x=π
6
对称,所以 2sin 2×π
6
+φ =±2,所以π
3
+φ
=kπ+π
2
(k∈Z),即φ=kπ+π
6
(k∈Z).又-π
2
<φ<π
2
,所以φ=π
6
.
法二:因为函数 f(x)=2sin(2x+φ)
-π
2
<φ<π
2 的图象关于直线 x=π
6
对称,所以 f(0)=f
π
3 ,即 2sin φ=
2sin
2π
3
+φ ,sin φ= 3
2 cos φ-1
2sin φ,则 tan φ= 3
3 .因为-π
2
<φ<π
2
,所以φ=π
6
.
答案:π
6
考点四 三角函数图象与性质的综合应用
[例 5] (2019·浙江高考)设函数 f(x)=sin x,x∈R.(1)已知θ∈[0,2π),函数 f(x+θ)是偶函数,求θ的值;
(2)求函数 y= f x+π
12
2
+ f x+π
4
2
的值域.
[解] (1)因为 f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以对任意实数 x 都有 sin(x+θ)=sin(-x+θ),
即 sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ,故 2sin xcos θ=0,所以 cos θ=0.
又θ∈[0,2π),因此θ=π
2
或θ=3π
2
.
(2)y= f x+π
12
2
+ f x+π
4
2
=sin2 x+π
12 +sin2 x+π
4 =1-cos 2x+π
6
2
+1-cos 2x+π
2
2
=1-1
2
3
2 cos 2x-3
2sin 2x =1- 3
2 cos 2x+π
3 . 因此,所求函数的值域是 1- 3
2
,1+ 3
2 .
第 9 页 共 17 页
[解题方略]
解决三角函数图象与性质综合问题的思路
(1)先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成 y=Asin(ωx+φ)+k(一角一函数)的形式;
(2)把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数性质求 y=Asin(ωx+φ)+k 的单调性、奇偶性、最值、对称性
等问题.
[跟踪训练]
(2019·合肥市第一次质检)将函数 f(x)=sin 2x 的图象向左平移π
6
个单位长度后得到函数 g(x)的图象,设函数
h(x)=f(x)-g(x).(1)求函数 h(x)的单调递增区间;(2)若 g
α+π
6 =1
3
,求 h(α)的值.
解:(1)由已知可得 g(x)=sin 2x+π
3 ,则 h(x)=sin 2x-sin 2x+π
3 =sin 2x-π
3 .
令-π
2
+2kπ≤2x-π
3
≤π
2
+2kπ,k∈Z,得-π
12
+kπ≤x≤5π
12
+kπ,k∈Z.
∴函数 h(x)的单调递增区间为 -π
12
+kπ,5π
12
+kπ ,k∈Z.
(2)由 g
α+π
6 =1
3
得 sin 2 α+π
6 +π
3 =sin 2α+2π
3 =1
3
,
∴sin 2α-π
3 =-1
3
,即 h(α)=-1
3.
课后限时练习:
A 组——“6+3+3”考点落实练
一、选择题
1.(2019·合肥市第一次质检)已知 cos α-sin α=1
5
,则 cos 2α-π
2 =( )
A.-24
25 B.-4
5
第 10 页 共 17 页
C.24
25 D.4
5
2.(2019·湖南省五市十校联考)已知函数 f(x)=2 3sin xcos x+2cos2x+1,则( )
A.f(x)的最小正周期为π,最大值为 3 B.f(x)的最小正周期为π,最大值为 4
C.f(x)的最小正周期为 2π,最大值为 3 D.f(x)的最小正周期为 2π,最大值为 4
3.(2019·四川攀枝花模拟)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|<π
2 的部分图象如图所示,现将此图象
向右平移π
12
个单位长度得到函数 g(x)的图象,则函数 g(x)的解析式为( )
A.g(x)=2sin 2x B.g(x)=2sin 2x-π
6
C.g(x)=2sin 2x-π
4 D.g(x)=2sin 2x-π
3
4.(2019·昆明市质量检测)将函数 y=sin 2x-π
4 的图象向左平移π
4
个单位长度,所得图象对应的函数在区间
[-m,m]上单调递增,则 m 的最大值为( )
A.π
8
B.π
4
C.3π
8
D.π
2
5.(2019·全国卷Ⅰ)关于函数 f(x)=sin |x|+|sin x|有下述四个结论:
①f(x)是偶函数;②f(x)在区间
π
2
,π 单调递增;
③f(x)在[-π,π]有 4 个零点;④f(x)的最大值为 2.
其中所有正确结论的编号是( )
A.①②④ B.②④
C.①④ D.①③
6.(2019·蓉城名校第一次联考)已知函数 f(x)=Asin(2x+θ) A>0,|θ|<π
2 的部分图象如图所示,f(a)=f(b)
=0,f(a+b)= 3,则( )
A.f(x)在 -5π
12
,π
12 上是减函数 B.f(x)在 -5π
12
,π
12 上是增函数
C.f(x)在
π
3
,5π
6 上是减函数 D.f(x)在
π
3
,5π
6 上是增函数
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二、填空题
7.(2019·全国卷Ⅰ)函数 f(x)=sin 2x+3π
2 -3cos x 的最小值为________.
8.(2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系 xOy 中,角α的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,
终边交单位圆 O 于点 P(a,b),且 a+b=7
5
,则 cos 2α+π
2 的值是________.
9.已知 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)在区间[2,4]上单调,且 f(2)=1,f(4)=-1,则ω=________,f(x)在
区间
1
2
,3 上的值域是________.
三、解答题
10.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|<π
2 的部分图象如图所示.(1)求函数 y=f(x)的解析式;(2)
说明函数 y=f(x)的图象可由函数 y= 3sin 2x-cos 2x 的图象经过怎样的平移变换得到.
11.已知 m= sin x-π
6 ,1 ,n=(cos x,1).(1)若 m∥n,求 tan x 的值;(2)若函数 f(x)=m·n,x∈[0,π],
求 f(x)的单调递增区间.
12.已知函数 f(x)=cos x(2 3sin x+cos x)-sin2x.(1)求函数 f(x)的最小正周期;(2)若当 x∈ 0,π
2 时,不等式
f(x)≥m 有解,求实数 m 的取值范围.
第 12 页 共 17 页
B 组——大题专攻强化练
1.已知函数 f(x)= 3sin24x+sin 4xcos 4x.(1)求函数 f(x)图象的对称轴方程;(2)求函数 f(x)在区间 -π
24
,π
12 上
的最值.
2.已知向量 m=(2sin ωx,sin ωx),n=(cos ωx,-2 3sin ωx)(ω>0),函数 f(x)=m·n+ 3,直线 x=x1,
x=x2 是函数 y=f(x)的图象的任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为π
2
.(1)求ω的值;(2)求函数 f(x)的单调递
增区间.
3.已知函数 f(x)= 3sin 2ωx+cos4ωx-sin4ωx+1(0<ω<1),若点 -π
6
,1 是函数 f(x)图象的一个对称中心.
(1)求 f(x)的解析式,并求距 y 轴最近的一条对称轴的方程;(2)先列表,再作出函数 f(x)在区间[-π,π]上
的图象.
第 13 页 共 17 页
4.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)
ω>0,0≤φ≤π
2 图象的相邻两对称轴之间的距离为π
2
,且在 x=π
8
时取得最
大值 1.(1)求函数 f(x)的解析式;(2)当 x∈ 0,9π
8 时,若方程 f(x)=a 恰好有三个根,分别为 x1,x2,x3,求
x1+x2+x3 的取值范围.
1 解析:选 C 由 cos α-sin α=1
5
,得 1-sin 2α= 1
25
,所以 sin 2α=24
25
,所以 cos 2α-π
2 =sin 2α=
第 14 页 共 17 页
24
25
,故选 C.
2 解析:选 B f(x)=2 3sin xcos x+2cos2x+1= 3sin 2x+cos 2x+2=2sin 2x+π
6 +2,则 f(x)的最小正周期
为2π
2
=π,最大值为 2+2=4.故选 B.
3 解析:选 D 根据函数 f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|<π
2 的图象可得 A=2,1
2
·2π
ω
=π
3
+π
6
,∴
ω=2.
再根据五点法作图可得 2×π
3
+φ=π
2
,∴φ=-π
6
,
∴函数 f(x)=2sin 2x-π
6 =2sin 2 x-π
12 .
把 f(x)的图象向右平移π
12
个单位长度得到函数 g(x)=2sin 2 x-π
12
-π
12 =2sin 2x-π
3 的图象,故选 D.
4 解析:选 A 函数 y=sin 2x-π
4 的图象向左平移π
4
个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为 y=
sin 2 x+π
4 -π
4 =cos 2x-π
4 ,由-π+2kπ≤2x-π
4
≤2kπ(k∈Z),得-3π
8
+kπ≤x≤π
8
+kπ(k∈Z),
所以当 k=0 时函数的一个单调递增区间是 -3π
8
,π
8 ,所以 m 的最大值为π
8
.故选 A.
5 解析:选 C ①中,f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin |x|+|sin x|=f(x),∴f(x)是偶函数,①正确.
②中,当 x∈
π
2
,π 时,f(x)=sin x+sin x=2sin x,函数单调递减,②错误.
③中,当 x=0 时,f(x)=0,当 x∈(0,π]时,f(x)=2sin x,令 f(x)=0,得 x=π.
又∵f(x)是偶函数,∴函数 f(x)在[-π,π]上有 3 个零点,③错误.
④中,∵sin |x|≤|sin x|,∴f(x)≤2|sin x|≤2,当 x=π
2
+2kπ(k∈Z)或 x=-π
2
+2kπ(k∈Z)时,
f(x)能取得最大值 2,故④正确.综上,①④正确.故选 C.
6 解析:选 B 由题图可知 A=2,则 f(x)=2sin(2x+θ).
因为 f(a)=f(b)=0,所以 f
a+b
2 =2,则 sin(a+b+θ)=1,a+b+θ=π
2
+2kπ,k∈Z.
由 f(a+b)= 3得 sin[2(a+b)+θ]= 3
2
,2(a+b)+θ=π
3
+2kπ,k∈Z,或 2(a+b)+θ=2π
3
+2kπ,k∈Z,
所以θ=2π
3
+2kπ或θ=π
3
+2kπ,k∈Z,又|θ|<π
2
,所以θ=π
3
,
第 15 页 共 17 页
f(x)=2sin 2x+π
3 .当 x∈ -5π
12
,π
12 时,2x+π
3
∈ -π
2
,π
2 ,
所以 f(x)在 -5π
12
,π
12 上是增函数.当 x∈
π
3
,5π
6 时,2x+π
3
∈(π,2π),所以 f(x)在
π
3
,5π
6 上先减后
增.B.
7 解析:∵ f(x)=sin 2x+3π
2 -3cos x=-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1,
令 t=cos x,则 t∈[-1,1],∴ f(x)=-2t2-3t+1.
又函数 f(x)图象的对称轴 t=-3
4
∈[-1,1],且开口向下,∴ 当 t=1 时,f(x)有最小值-4.答案:-4
8 解析:由三角函数的定义知 cos α=a,sin α=b,∴cos α+sin α=a+b=7
5
,
∴(cos α+sin α)2=1+sin 2α=49
25
,∴sin 2α=49
25
-1=24
25
,∴cos 2α+π
2 =-sin 2α=-24
25.答案:-24
25
9 解析:由题意知 f(x)的最小正周期 T=4,∴ω=π
2
,∴f(x)=sin
π
2
x+φ .又 f(2)=sin(π+φ)=1,
∴π+φ=π
2
+2kπ,k∈Z.又|φ|<π,∴φ=-π
2
,∴f(x)=sin
π
2
x-π
2 .由 x∈
1
2
,3 ,得 π
2
x-π
2
∈
-π
4
,π ,
∴sin
π
2
x-π
2 ∈ - 2
2
,1 ,即 f(x)在区间
1
2
,3 上的值域为 - 2
2
,1 .答案:π
2
- 2
2
,1
10 解:(1)由题图可知,A=2,T=4
π
3
-π
12 =π,∴2π
ω
=π,ω=2,∴f(x)=2sin(2x+φ),∵f
π
3 =0,
∴sin
2π
3
+φ =0,∴φ+2π
3
=kπ,k∈Z,即φ=-2π
3
+kπ,k∈Z.∵|φ|<π
2
,∴φ=π
3
,∴f(x)=
2sin 2x+π
3 .
(2)y= 3sin 2x-cos 2x=2sin 2x-π
6 =2sin 2 x-π
4 +π
3 ,
故将函数 y= 3sin 2x-cos 2x 的图象向左平移π
4
个单位长度就得到函数 y=f(x)的图象.
11 解:(1)由 m∥n 得,sin x-π
6 -cos x=0,展开变形可得,sin x= 3cos x,即 tan x= 3.
(2)f(x)=m·n=sin x-π
6 cos x+1= 3
2 sin xcos x-1
2cos2x+1= 3
4 sin 2x-cos 2x+1
4
+1
第 16 页 共 17 页
=1
2
sin 2xcos π
6
-cos 2xsin π
6 +3
4
=1
2sin 2x-π
6 +3
4
,
由-π
2
+2kπ≤2x-π
6
≤π
2
+2kπ,k∈Z,得-π
6
+kπ≤x≤π
3
+kπ,k∈Z.
又 x∈[0,π],所以当 x∈[0,π]时,f(x)的单调递增区间为 0,π
3 和
5π
6
,π
.
12 解:(1)f(x)=2 3sin xcos x+cos2x-sin2x= 3sin 2x+cos 2x=2
3
2 sin 2x+1
2cos 2x =2sin 2x+π
6 ,
所以函数 f(x)的最小正周期 T=π.
(2)由题意可知,不等式 f(x)≥m 有解,即 m≤f(x)max,因为 x∈ 0,π
2 ,所以 2x+π
6
∈
π
6
,7π
6 ,
故当 2x+π
6
=π
2
,即 x=π
6
时,f(x)取得最大值,且最大值为 f
π
6 =2.从而可得 m≤2.
所以实数 m 的取值范围为(-∞,2].
1 解:(1)f(x)= 3sin24x+sin 4xcos 4x= 3×1-cos 8x
2
+1
2sin 8x=1
2sin 8x- 3
2 cos 8x+ 3
2
=sin 8x-π
3 + 3
2 .
令 8x-π
3
=kπ+π
2
(k∈Z),得 x=kπ
8
+5π
48
(k∈Z),所以函数 f(x)图象的对称轴方程为 x=kπ
8
+5π
48
(k∈Z).
(2)由(1)得 f(x)=sin 8x-π
3 + 3
2 .因为 x∈ -π
24
,π
12 ,所以 8x-π
3 ∈ -2π
3
,π
3 .故 sin 8x-π
3 ∈
-1, 3
2 .
所以-1+ 3
2
≤sin 8x-π
3 + 3
2
≤ 3,所以函数 f(x)在区间 -π
24
,π
12 上的最大值为 3,最小值为-1+ 3
2 .
2 解:(1)因为向量 m=(2sin ωx,sin ωx),n=(cos ωx,-2 3sin ωx)(ω>0),所以函数 f(x)=m·n+ 3=
2sin ωxcos ωx+sin ωx(-2 3sin ωx)+ 3=sin 2ωx-2 3sin2 ωx+ 3=sin 2ωx+ 3cos 2ωx=
2sin 2ωx+π
3 .
因为直线 x=x1,x=x2 是函数 y=f(x)的图象的任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为π
2
,所以函数 f(x)的最
小正周期为π
2
×2=π,即2π
2ω
=π,得ω=1.
(2)由(1)知,f(x)=2sin 2x+π
3 ,令 2kπ-π
2
≤2x+π
3
≤2kπ+π
2
(k∈Z),解得 kπ-5π
12
≤x≤kπ+π
12
(k∈
Z),
第 17 页 共 17 页
所以函数 f(x)的单调递增区间为 kπ-5π
12
,kπ+π
12 (k∈Z).
3 解:(1)f(x)= 3sin 2ωx+(cos2ωx-sin2ωx)·(cos2ωx+sin2ωx)+1= 3sin 2ωx+cos 2ωx+1
=2sin 2ωx+π
6 +1.∵点 -π
6
,1 是函数 f(x)图象的一个对称中心,∴-ωπ
3
+π
6
=kπ,k∈Z,∴ω=-
3k+1
2
,k∈Z.∵0<ω<1,∴k=0,ω=1
2
,∴f(x)=2sin x+π
6 +1.由 x+π
6
=kπ+π
2
,k∈Z,得 x=kπ+π
3
,
k∈Z,
令 k=0,得距 y 轴最近的一条对称轴方程为 x=π
3
.
(2)由(1)知,f(x)=2sin x+π
6 +1,当 x∈[-π,π]时,列表如下:
x+π
6
-5π
6
-π
2 0
π
2
π 7π
6
x -π -2π
3
-π
6
π
3
5π
6
π
f(x) 0 -1 1 3 1 0
则函数 f(x)在区间[-π,π]上的图象如图所示.
4 解:(1)由题意,T=2×π
2
=π,故ω=2π
π
=2,所以 sin 2×π
8
+φ =sin
π
4
+φ =1,
所以π
4
+φ=2kπ+π
2
,k∈Z,所以φ=2kπ+π
4
,k∈Z.因为 0≤φ≤π
2
,所以φ=π
4
,所以 f(x)=sin 2x+π
4 .
(2)画出该函数的图象如图,当 2
2
≤a<1 时,方程 f(x)=a 恰好有三个根,且点(x1,a)和(x2,a)关于直线 x=π
8
对称,点(x2,a)和(x3,a)关于直线 x=5π
8
对称,所以 x1+x2=π
4
,π≤x3<9π
8
,所以5π
4
≤x1+x2+x3<11π
8
,
故 x1+x2+x3 的取值范围为
5π
4
,11π
8 .
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