成都市高三二轮复习文科数学（七） 三角恒等变换与解三角形 13页

第 13 页 共 13 页 成都市高三二轮复习文科数学（七） 三角恒等变换与解三角形 ‎ [全国卷 考情分析]‎ 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ ‎2019‎ 诱导公式及两角和的正切公式·T7‎ 二倍角公式的应用·T11‎ 正弦定理的应用及三角形面积计算·T18‎ 正、余弦定理的应用·T11‎ 正弦定理的应用·T15‎ ‎2018‎ 三角函数的定义及恒等变换·T11‎ 二倍角公式及余弦定理·T7‎ 二倍角公式·T4‎ 正、余弦定理及三角形面积公式·T16‎ 诱导公式及三角恒等变换·T15‎ 三角形的面积公式及余弦定理·T11‎ ‎2017‎ 三角恒等变换、正弦定理解三角形·T11‎ 利用正、余弦定理解三角形·T16‎ 三角恒等变换求值问题·T4‎ 三角恒等变换求值问题·T15‎ 利用正弦定理解三角形·T15‎ ‎(1)高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现.‎ ‎(2)若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～11或第14～16题位置上.‎ ‎(3)若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17(或18)题位置上，难度中等.在17(或18)题位置上进行考查时，与“数列”交替进行考查(近三年文科多考“数列”).‎ 三角恒等变换 ‎[例1]　(1)(2019·重庆市学业质量调研)已知sin θ＝cos(2π－θ)，则tan 2θ＝(　　)‎ A.－　　　　　B. C.－ D. ‎(2)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎[解析]　(1)法一：由sin θ＝cos(2π－θ)，得sin θ＝cos θ，所以tan θ＝，则tan 2θ＝＝＝，故选B.‎ 第 13 页 共 13 页 法二：由sin θ＝cos(2π－θ)，得sin θ＝cos θ，所以tan 2θ＝＝＝＝，故选B.‎ ‎(2)∵0<α<，0<β<，∴－<α－β<.∵sin(α－β)＝－，sin α＝，∴cos(α－β)＝，cos α＝，‎ ‎∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝，∴β＝.‎ ‎[答案]　(1)B　(2)C ‎[解题方略]　三角函数求值的类型及方法 给角求值 解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形 给值求值 给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用.同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的 给值求角 实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围 ‎[跟踪训练]‎ ‎1.(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝(　　)‎ A.－2－　　　B.－2＋ C.2－ D.2＋ 解析：选D　tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.故选D.‎ ‎2.(2019·洛阳尖子生第二次联考)若复数z＝＋i是纯虚数(i为虚数单位)，则tan的值为(　　)‎ A.－7 B.－ C.7 D.－7或－ 第 13 页 共 13 页 解析：选A　由复数z为纯虚数，得即又sin2θ＋cos2θ＝1，所以sin θ＝－，‎ 所以tan θ＝－，于是tan＝＝＝－7.‎ ‎3.(2019·江西省五校协作体试题)若θ∈，且2sin2θ＋sin 2θ＝－，则tan＝________.‎ 解析：由2sin2θ＋sin 2θ＝－，得1－cos 2θ＋sin 2θ＝－，得cos 2θ－sin 2θ＝，2cos＝，即cos＝，又θ∈，所以2θ＋∈，则tan＝，所以tan＝tan＝＝. 答案： 利用正、余弦定理解三角形 题型一　利用正、余弦定理进行边、角计算 ‎[例2]　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝tan A＋tan B.(1)求角A的大小；(2)设D为AC边上一点，且BD＝5，DC＝3，a＝7，求c.‎ ‎[解]　(1)∵在△ABC中，＝tan A＋tan B，∴＝＋，‎ 即＝，∴＝，则tan A＝，又0，∴b＋c∈(，2].‎ 第 13 页 共 13 页 ‎[变式2]　若本例(2)变为：AD⊥BC，且a＝，求AD的取值范围.‎ 解：∵S△ABC＝AD·BC＝bcsin A，∴AD＝bc.由余弦定理得cos A＝＝≥，‎ ‎∴0，因而当两船相距最近时，两船行驶的时间为小时.[答案]　 ‎[解题方略]　解三角形实际应用问题的步骤 ‎[跟踪训练]‎ ‎1.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　)‎ A.6 B‎.5 ‎‎ C.4 D.3‎ 解析：选A　∵ asin A－bsin B＝4csin C，∴ 由正弦定理得a2－b2＝‎4c2，即a2＝‎4c2＋b2.由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，∴ ＝6.故选A.‎ ‎2.(2019·河南期末改编)在△ABC中，B＝，AC＝，且cos‎2C－cos‎2A－sin2B＝－sin Bsin C，则C＝________，BC＝________.‎ 解析：由cos‎2C－cos‎2A－sin2B＝－sin Bsin C，可得1－sin‎2C－(1－sin‎2A)－sin2B＝－sin Bsin C，即sin‎2A－sin‎2C－sin2B＝－sin Bsin C.结合正弦定理得BC2－AB2－AC2＝－·AC·AB，所以cos A＝，A＝，则C＝π－A－B＝.由＝，解得BC＝. 答案：　 ‎3.(2019·江西七校第一次联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B).(1)求角C；(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长.‎ 解：(1)由a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)及正弦定理，得a(a－b)＝(c－b)(c＋b)，即a2＋b2－c2＝ab.‎ 所以cos C＝＝，又C∈(0，π)，所以C＝.‎ ‎(2)由(1)知a2＋b2－c2＝ab，所以(a＋b)2－3ab＝c2＝7，又S＝absin C＝ab＝，所以ab＝6，‎ 所以(a＋b)2＝7＋3ab＝25，a＋b＝5.所以△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.‎ 解三角形与三角函数的交汇问题 ‎[例5]　如图，在△ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，且AC＝10，BC＝15.(1)求△ABC的面积；(2)‎ 第 13 页 共 13 页 已知平面直角坐标系xOy中点D(10，0)，若函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)的图象经过A，C，D三点，且A，D为f(x)的图象与x轴相邻的两个交点，求f(x)的解析式.‎ ‎[解]　(1)在△ABC中，由角B，A，C成等差数列，得B＋C＝‎2A，‎ 又A＋B＋C＝π，所以A＝.设角A，B，C的对边分别为a，b，c，‎ 由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccos ，所以c2－‎10c－125＝0，解得c＝AB＝5＋5.‎ 因为CO＝10×sin ＝5，所以S△ABC＝×(5＋5)×5＝(3＋).‎ ‎(2)因为AO＝10×cos ＝5，所以函数f(x)的最小正周期T＝2×(10＋5)＝30，故ω＝.‎ 因为f(－5)＝Msin＝0，所以sin＝0，所以－＋φ＝kπ，k∈Z.‎ 因为|φ|<，所以φ＝.因为f(0)＝Msin ＝5，所以M＝10，所以f(x)＝10sin.‎ ‎[解题方略]　解三角形与三角函数交汇问题一般步骤 ‎[跟踪训练]‎ ‎(2019·湖南省五市十校联考)已知向量m＝(cos x，sin x)，n＝(cos x，cos x)，x∈R，设函数f(x)＝m·n＋.(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；(2)设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，若f(A)＝2，b＋c＝2，△ABC的面积为，求a的值.‎ 解：(1)由题意知，f(x)＝cos2x＋sin xcos x＋＝sin＋1.‎ 令2x＋∈，k∈Z，解得x∈，k∈Z，‎ ‎∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)∵f(A)＝sin＋1＝2，∴sin＝1.∵0＜A＜π，∴＜‎2A＋＜，∴‎2A＋＝，即A＝.‎ 第 13 页 共 13 页 由△ABC的面积S＝bcsin A＝，得bc＝2，又b＋c＝2，∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)＝(2)2－4＝4－2＝(－1)2，解得a＝－1.‎ 数学建模——解三角形的实际应用 ‎[典例]　为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候观测仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测.如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距‎100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s，在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°.(1)求A，C两地间的距离；(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC.(已知声音的传播速度为‎340 m/s)‎ ‎[解]　(1)设BC＝x m，由条件可知AC＝x＋×340＝(x＋40)m.‎ 在△ABC中，由余弦定理，可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，‎ 即x2＝1002＋(x＋40)2－2×100×(x＋40)×，解得x＝380.‎ 所以AC＝380＋40＝420(m)，故A，C两地间的距离为‎420 m.‎ ‎(2)在Rt△ACH中，AC＝420，∠HAC＝30°，所以HC＝ACtan 30°＝420×＝140，‎ 故这种仪器的垂直弹射高度为‎140 m.‎ 课后限时练习：‎ A组——“6＋3＋‎3”‎考点落实练 一、选择题 ‎1.(2019·开封市定位考试)已知cos＝－，则cos 2α的值为(　　)‎ A.－　　　　　　　 B. C.－ D. ‎2.(2019·长春市质量监测一)函数f(x)＝sin＋sin x的最大值为(　　)‎ A. B.2‎ C.2 D.4‎ ‎3.(2019·长春市质量监测一)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝acos C＋c，则角A等于(　　)‎ A.60° B.120°‎ 第 13 页 共 13 页 C.45° D.135°‎ ‎4.(2019·江西七校第一次联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝a，a＝2，c＝，则角C＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若0，∴cos B<0，