2020届高三第一次调研考试理科数学试题 10页

‎ 2020届高三第一次调研考试理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设（为虚数单位），其中，是实数，则等于（ ）‎ A．5 B． C． D．2‎ ‎3．某高校调查了320名学生每周的自习时间(单位：小时），制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据频率分布直方图，这320名学生中每周的自习时间不足小时的人数是（ ）‎ A．68 B．72 C．76 D．80‎ ‎4．七人并排站成一行，如果甲乙两人不相邻，那么不同的排法种数是（ ）‎ A．3600种 B．1440种 C．4820种 D．4800种 ‎5．正方形中，点，分别是，的中点，那么（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．等比数列的前项和为，公比为，若，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设双曲线的一条渐近线为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ）‎ 数学试题（理科） 第 10 页，共 10 页 A． B． C． D．‎ ‎8．将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是（ ）‎ A．y＝f (x)是奇函数； B．y＝f (x)的周期为π；‎ C．y＝f (x)的图象关于直线x＝对称； D．y＝f (x)的图象关于点(－，0)对称．‎ ‎9．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则∥的一个充分条件是（ ）‎ A．存在一条直线，∥，∥. ‎ B．存在一条直线，⊂，∥.‎ C．存在两条平行直线，，⊂，⊂，∥，∥.‎ D．存在两条异面直线，，⊂，⊂，∥，∥.‎ ‎10．已知是抛物线的焦点，是轴上一点，线段与抛物线相交于点，若，则（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎11．关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对，再统计其中能与1构成钝角三角形三边的数对的个数，最后根据统计个数估计的值．如果统计结果是，那么可以估计的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，设，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ 数学试题（理科） 第 10 页，共 10 页 ‎13．已知，则函数的最小值为________．‎ ‎14．在中，，，，则＝________.‎ ‎15．设是公差不为零的等差数列，为其前项和．已知成等比数列，‎ 且，则数列的通项公式为 ．‎ ‎16．在三棱锥中，底面是直角三角形且，斜边上的高为．三棱锥的外接球的直径是，若该外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为__________．‎ 三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知的内角、、满足．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若的外接圆半径为1，求的面积的最大值．‎ 数学试题（理科） 第 10 页，共 10 页 ‎18．（本小题满分12分）‎ 数学试题（理科） 第 10 页，共 10 页 如图所示，在三棱锥中，平面,，，分别为线段上的点，且，．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ 数学试题（理科） 第 10 页，共 10 页 ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知定点、，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由．‎ 数学试题（理科） 第 10 页，共 10 页 ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若关于的方程在区间[2，4]内恰有两个相异的实根，‎ 求实数的取值范围．‎ 数学试题（理科） 第 10 页，共 10 页 数学试题（理科） 第 10 页，共 10 页 ‎21．（本小题满分12分）‎ 某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：‎ 方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；‎ 方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.‎ 某医院准备一次性购买2台这种机器。现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：‎ 维修次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 台数 ‎5‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎15‎ 以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.‎ ‎（1）求的分布列；‎ ‎（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？‎ 数学试题（理科） 第 10 页，共 10 页 ‎（二）选考题：共10分。‎ ‎23．（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲] ‎ 已知．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时，不等式恒成立，求的取值范围．‎ 数学试题（理科） 第 10 页，共 10 页