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  • 2021-06-23 发布

2005年广东省高考数学试卷【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

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‎2005年广东省高考数学试卷 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)‎ ‎1. 若集合M={x||x|≤2}‎,N={x|x‎2‎-3x=0}‎,则M∩N等于( )‎ A.‎{3}‎ B.‎{0}‎ C.‎{0, 2}‎ D.‎‎{0, 3}‎ ‎2. 若‎(a-2i)i=b-i,其中a、b∈R,i是虚数单位,则a‎2‎‎+b‎2‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎0‎ B.‎2‎ C.‎5‎‎2‎ D.‎‎5‎ ‎3. limx→-3‎x+3‎x‎2‎‎-9‎‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎-‎‎1‎‎6‎ B.‎0‎ C.‎1‎‎6‎ D.‎‎1‎‎3‎ ‎4. 已知高为‎3‎的直棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎的底面是边长为‎1‎的正三角形(如图),则三棱锥B‎1‎‎-ABC的体积为( )‎ A.‎1‎‎4‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎3‎‎6‎ D.‎‎3‎‎4‎ ‎5. 若焦点在x轴上的椭圆x‎2‎‎3‎‎+y‎2‎m=1‎的离心率为‎1‎‎2‎,则m=(‎ ‎‎)‎ A.‎3‎ B.‎9‎‎4‎ C.‎8‎‎3‎ D.‎‎2‎‎3‎ ‎6. 函数f(x)=x‎3‎-3x‎2‎+1‎是减函数的区间为(        )‎ A.‎(2, +∞)‎ B.‎(-∞, 2)‎ C.‎(-∞, 0)‎ D.‎‎(0, 2)‎ ‎7. 在正方体ABCD-A'B'C'D'‎中与AD'‎成‎60‎‎∘‎角的面对角线的条数是( )‎ A.‎4‎ B.‎6‎ C.‎8‎ D.‎‎10‎ ‎8. 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数‎1‎,‎2‎,‎3‎,‎4‎,‎5‎,‎6‎),骰子朝上的面的点数分别为x,y,则log‎2xy=1‎的概率为(        )‎ A.‎1‎‎6‎ B.‎5‎‎36‎ C.‎1‎‎12‎ D.‎‎1‎‎2‎ ‎9. 在同一平面直角坐标系中,函数y=f(x)‎和y=g(x)‎的图象关于直线y=x对称.现将y=g(x)‎的图象沿x轴向左平移‎2‎个单位,再沿y轴向上平移‎1‎个单位,所得的图象是由两条线段组成的折线(如图所示),则函数f(x)‎的表达式为(        )‎ A.‎f(x)=‎‎2x+2,-1≤x≤0‎x‎2‎‎+2,04‎时f(n)=‎________(用n表示)‎ 三、解答题(共6小题,15、18题每题12分,16、17、19、20题每题14分,满分80分)‎ ‎15. 化简f(x)=cos(‎6k+1‎‎3‎π+2x)+cos(‎6k-1‎‎3‎π-2x)+2‎3‎sin(π‎3‎+2x)(x∈R, k∈Z)‎并求函数f(x)‎的值域和最小正周期.‎ ‎16. 如图所示,在四面体P-ABC中,已知PA=BC=6‎,PC=AB=10‎,AC=8‎,PB=2‎‎34‎.F是线段PB上一点,CF=‎‎15‎‎17‎‎34‎,点E在线段AB上,且EF⊥PB.‎ ‎(1)证明:PB⊥‎平面CEF;‎ ‎(2)求二面角B-CE-F的大小.‎ ‎17. 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=‎x‎2‎上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO(如图所示).‎ ‎(1)求‎△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;‎ ‎(2)‎△AOB的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.‎ ‎ 7 / 7‎ ‎18. 箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球,黄、白乒乓球的数量比为s:t.现从箱中每次任意取出一个球,若取出的是黄球则结束,若取出的是白球,则将其放回箱中,并继续从箱中任意取出一个球,但取球的次数最多不超过n次,以ξ表示取球结束时已取到白球的次数.‎ ‎(I)求ξ的分布列;‎ ‎(II)求ξ的数学期望.‎ ‎19. 设函数f(x)‎在‎(-∞, +∞)‎上满足f(2-x)=f(2+x)‎,f(7-x)=f(7+x)‎,且在闭区间‎[0, 7]‎上,只有f(1)=f(3)=0‎.‎ ‎(1)试判断函数y=f(x)‎的奇偶性;‎ ‎(2)试求方程f(x)=0‎在闭区间‎[-2005, 2005]‎上的根的个数,并证明你的结论.‎ ‎20. 在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的长为‎2‎,宽为‎1‎,AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上,A点与坐标原点重合(如图所示).将矩形折叠,使A点落在线段DC上.‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎若折痕所在直线的斜率为k,试写出折痕所在直线的方程;‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎求折痕的长的最大值.‎ ‎ 7 / 7‎ 参考答案与试题解析 ‎2005年广东省高考数学试卷 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)‎ ‎1.‎ ‎【答案】‎ B ‎2.‎ ‎【答案】‎ D ‎3.‎ ‎【答案】‎ A ‎4.‎ ‎【答案】‎ D ‎5.‎ ‎【答案】‎ B ‎6.‎ ‎【答案】‎ D ‎7.‎ ‎【答案】‎ C ‎8.‎ ‎【答案】‎ C ‎9.‎ ‎【答案】‎ A ‎10.‎ ‎【答案】‎ B 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)‎ ‎11.‎ ‎【答案】‎ ‎(-∞, 0)‎ ‎12.‎ ‎【答案】‎ ‎4‎ ‎13.‎ ‎【答案】‎ ‎±‎‎2‎‎2‎ ‎14.‎ ‎【答案】‎ ‎5‎‎,‎‎(n-2)(n+1)‎‎2‎ 三、解答题(共6小题,15、18题每题12分,16、17、19、20题每题14分,满分80分)‎ ‎15.‎ ‎【答案】‎ 解:‎f(x)=cos(2kπ+π‎3‎+2x)+cos(2kπ-π‎3‎-2x)+2‎3‎sin(π‎3‎+2x)‎ ‎ 7 / 7‎ ‎=cos(π‎3‎+2x)+cos(π‎3‎+2x)+2‎3‎sin(π‎3‎+2x)‎ ‎=2cos(π‎3‎+2x)+2‎3‎sin(π‎3‎+2x)‎ ‎=4[sinπ‎6‎cos(π‎3‎+2x)+cosπ‎6‎sin(π‎3‎+2x)]‎ ‎=4sin(2x+π‎2‎)=4cos2x 函数f(x)‎的值域是‎[-4, 4]‎,最小正周期是T=‎2π‎2‎=π,‎ ‎16.‎ ‎【答案】‎ ‎(1)证明:∵ PA‎2‎+AC‎2‎=36+64=100=PC‎2‎,‎ ‎∴ ‎△PAC是以‎∠PAC为直角的直角三角形,同理可证:‎△PAB是以‎∠PAB为直角的直角三角形,‎△PCB是以‎∠PCB为直角的直角三角形.‎ 故PA⊥‎平面ABC.‎ 又∵ S‎△PBC‎=‎1‎‎2‎|PC||BC|=‎1‎‎2‎×10×6=30‎.‎ 而‎1‎‎2‎‎|PB||CF|=‎1‎‎2‎×2‎34‎×‎15‎‎17‎‎34‎=30=‎S‎△PBC.‎ 故CF⊥PB,又已知EF⊥PB,‎ ‎∴ PB⊥‎平面CEF.‎ ‎(2)由(1)知PB⊥CE,PA⊥‎平面ABC,‎ ‎∴ AB是PB在平面ABC上的射影,故AB⊥CE,‎ 在平面PAB内,过F作FF‎1‎垂直AB交AB于F1‎,则FF‎1‎⊥‎平面ABC,‎ EF‎1‎是EF在平面ABC上的射影,‎ ‎∴ EF⊥EC.‎ 故‎∠FEB是二面角B-CE-F的平面角,tan∠FEB=cot∠PBA=ABAP=‎10‎‎6‎=‎‎5‎‎3‎,‎ 二面角B-CE-F的大小为arctan‎5‎‎3‎.‎ ‎17.‎ ‎【答案】‎ 解:(1)设‎△AOB的重心为G(x, y)‎,A(x‎1‎, y‎1‎)‎,B(x‎2‎, y‎2‎)‎,‎ 则x=‎x‎1‎‎+‎x‎2‎‎3‎y=‎y‎1‎‎+‎y‎2‎‎3‎‎(1)‎ ‎∵ OA⊥OB∴ kOA‎⋅kOB=-1‎,即x‎1‎x‎2‎‎+y‎1‎y‎2‎=0‎,②‎ 又点A,B在抛物线上,有y‎1‎‎=‎x‎1‎‎2‎,y‎2‎‎=‎x‎2‎‎2‎,代入②化简得x‎1‎x‎2‎‎=-1‎ ‎∴ Y=y‎1‎‎+‎y‎2‎‎3‎=‎1‎‎3‎(x‎1‎‎2‎+x‎2‎‎2‎)=‎1‎‎3‎[(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-2x‎1‎x‎2‎]=‎1‎‎3‎×(3x‎)‎‎2‎+‎2‎‎3‎=3x‎2‎+‎‎2‎‎3‎.‎ 所以重心为G的轨迹方程为y=3x‎2‎+‎‎2‎‎3‎.‎ ‎(2)‎S‎△AOB‎=‎1‎‎2‎|OA||OB|=‎1‎‎2‎‎(x‎1‎‎2‎+y‎1‎‎2‎)(x‎2‎‎2‎+y‎2‎‎2‎)‎=‎‎1‎‎2‎x‎1‎‎2‎x‎2‎‎2‎‎+x‎1‎‎2‎y‎2‎‎2‎+x‎2‎‎2‎y‎1‎‎2‎+‎y‎1‎‎2‎y‎2‎‎2‎ 由(1)得S‎△AOB‎=‎1‎‎2‎x‎1‎‎2‎‎+x‎2‎‎2‎+2‎≥‎1‎‎2‎‎2|x‎1‎x‎2‎|+2‎=‎1‎‎2‎×2=1‎ 当且仅当x‎1‎‎2‎‎=‎x‎2‎‎2‎即‎|x‎1‎|=|x‎2‎|=1‎时,等号成立.‎ 所以‎△AOB的面积存在最小值,存在时求得最小值‎1‎.‎ ‎18.‎ ‎【答案】‎ 解:‎(I)ξ的可能取值为:‎0‎,‎1‎,‎2‎,‎n ξ的分布列为 ‎ 7 / 7‎ ‎(II)ξ的数学希望为Eξ=0×ss+t+1×st‎(s+t‎)‎‎2‎+2×st‎2‎‎(s+t‎)‎‎3‎+...+(n-1)×stn-1‎‎(s+t‎)‎n-1‎+n×tn‎(s+t‎)‎n(1)‎ ts+tEξ=st‎2‎‎(s+t‎)‎‎2‎+...+‎(n-2)stn-1‎‎(s+t‎)‎n-1‎+‎(n-1)stn‎(s+t‎)‎n-1‎+ntn+1‎‎(s+t‎)‎n+1‎(2)‎ ‎(1)‎-(2)‎得Eξ=ts-tns(s+t‎)‎n-1‎-‎(n-1)‎tn‎(s+t‎)‎n-1‎+‎ntn‎(s+t‎)‎n.‎ ‎19.‎ ‎【答案】‎ 解:由f(2-x)=f(2+x)‎f(7-x)=f(7+x)‎‎⇒f(x)=f(4-x)‎f(x)=f(14-x)‎⇒f(4-x)=f(14-x)⇒f(x)=f(x+10)‎,‎ 又f(3)=0‎,而f(7)≠0‎,‎⇒f(-3)=f(7)≠0⇒f(-3)≠f(3)‎,‎f(-3)≠-f(3)‎ 故函数y=f(x)‎是非奇非偶函数;‎ ‎(2)由f(2-x)=f(2+x)‎f(7-x)=f(7+x)‎‎⇒f(x)=f(4-x)‎f(x)=f(14-x)‎⇒f(4-x)=f(14-x)⇒f(x)=f(x+10)‎ 又f(3)=f(1)=0⇒f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0‎ 因为在闭区间‎[0, 7]‎上,只有f(1)=f(3)=0‎,故在‎[4, 7]‎上无零点,‎ 又f(7-x)=f(7+x)‎,故在‎[4, 10]‎上无零点,故在‎[0, 10]‎上仅有两个解 故f(x)‎在‎[0, 10]‎和‎[-10, 0]‎上均有有两个解,‎ 从而可知函数y=f(x)‎在‎[0, 2005]‎上有‎402‎个解,在‎[-2005.0]‎上有‎400‎个解,‎ 所以函数y=f(x)‎在‎[-2005, 2005]‎上有‎802‎个解.‎ ‎20.‎ ‎【答案】‎ ‎(I)(1)‎当k=‎0‎时,此时A点与D点重合,折痕所在的直线方程y=‎‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)当k≠0‎时,将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a, 1)(0