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- 2021-06-23 发布
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2005年广东省高考数学试卷
一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)
1. 若集合M={x||x|≤2},N={x|x2-3x=0},则M∩N等于( )
A.{3} B.{0} C.{0, 2} D.{0, 3}
2. 若(a-2i)i=b-i,其中a、b∈R,i是虚数单位,则a2+b2=( )
A.0 B.2 C.52 D.5
3. limx→-3x+3x2-9=( )
A.-16 B.0 C.16 D.13
4. 已知高为3的直棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图),则三棱锥B1-ABC的体积为( )
A.14 B.12 C.36 D.34
5. 若焦点在x轴上的椭圆x23+y2m=1的离心率为12,则m=( )
A.3 B.94 C.83 D.23
6. 函数f(x)=x3-3x2+1是减函数的区间为( )
A.(2, +∞) B.(-∞, 2) C.(-∞, 0) D.(0, 2)
7. 在正方体ABCD-A'B'C'D'中与AD'成60∘角的面对角线的条数是( )
A.4 B.6 C.8 D.10
8. 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的点数分别为x,y,则log2xy=1的概率为( )
A.16 B.536 C.112 D.12
9. 在同一平面直角坐标系中,函数y=f(x)和y=g(x)的图象关于直线y=x对称.现将y=g(x)的图象沿x轴向左平移2个单位,再沿y轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段组成的折线(如图所示),则函数f(x)的表达式为( )
A.f(x)=2x+2,-1≤x≤0x2+2,04时f(n)=________(用n表示)
三、解答题(共6小题,15、18题每题12分,16、17、19、20题每题14分,满分80分)
15. 化简f(x)=cos(6k+13π+2x)+cos(6k-13π-2x)+23sin(π3+2x)(x∈R, k∈Z)并求函数f(x)的值域和最小正周期.
16. 如图所示,在四面体P-ABC中,已知PA=BC=6,PC=AB=10,AC=8,PB=234.F是线段PB上一点,CF=151734,点E在线段AB上,且EF⊥PB.
(1)证明:PB⊥平面CEF;
(2)求二面角B-CE-F的大小.
17. 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO(如图所示).
(1)求△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;
(2)△AOB的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
7 / 7
18. 箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球,黄、白乒乓球的数量比为s:t.现从箱中每次任意取出一个球,若取出的是黄球则结束,若取出的是白球,则将其放回箱中,并继续从箱中任意取出一个球,但取球的次数最多不超过n次,以ξ表示取球结束时已取到白球的次数.
(I)求ξ的分布列;
(II)求ξ的数学期望.
19. 设函数f(x)在(-∞, +∞)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0, 7]上,只有f(1)=f(3)=0.
(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性;
(2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2005, 2005]上的根的个数,并证明你的结论.
20. 在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的长为2,宽为1,AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上,A点与坐标原点重合(如图所示).将矩形折叠,使A点落在线段DC上.
(Ⅰ)若折痕所在直线的斜率为k,试写出折痕所在直线的方程;
(Ⅱ)求折痕的长的最大值.
7 / 7
参考答案与试题解析
2005年广东省高考数学试卷
一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)
1.
【答案】
B
2.
【答案】
D
3.
【答案】
A
4.
【答案】
D
5.
【答案】
B
6.
【答案】
D
7.
【答案】
C
8.
【答案】
C
9.
【答案】
A
10.
【答案】
B
二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)
11.
【答案】
(-∞, 0)
12.
【答案】
4
13.
【答案】
±22
14.
【答案】
5,(n-2)(n+1)2
三、解答题(共6小题,15、18题每题12分,16、17、19、20题每题14分,满分80分)
15.
【答案】
解:f(x)=cos(2kπ+π3+2x)+cos(2kπ-π3-2x)+23sin(π3+2x)
7 / 7
=cos(π3+2x)+cos(π3+2x)+23sin(π3+2x)
=2cos(π3+2x)+23sin(π3+2x)
=4[sinπ6cos(π3+2x)+cosπ6sin(π3+2x)]
=4sin(2x+π2)=4cos2x
函数f(x)的值域是[-4, 4],最小正周期是T=2π2=π,
16.
【答案】
(1)证明:∵ PA2+AC2=36+64=100=PC2,
∴ △PAC是以∠PAC为直角的直角三角形,同理可证:△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形,△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形.
故PA⊥平面ABC.
又∵ S△PBC=12|PC||BC|=12×10×6=30.
而12|PB||CF|=12×234×151734=30=S△PBC.
故CF⊥PB,又已知EF⊥PB,
∴ PB⊥平面CEF.
(2)由(1)知PB⊥CE,PA⊥平面ABC,
∴ AB是PB在平面ABC上的射影,故AB⊥CE,
在平面PAB内,过F作FF1垂直AB交AB于F1,则FF1⊥平面ABC,
EF1是EF在平面ABC上的射影,
∴ EF⊥EC.
故∠FEB是二面角B-CE-F的平面角,tan∠FEB=cot∠PBA=ABAP=106=53,
二面角B-CE-F的大小为arctan53.
17.
【答案】
解:(1)设△AOB的重心为G(x, y),A(x1, y1),B(x2, y2),
则x=x1+x23y=y1+y23(1)
∵ OA⊥OB∴ kOA⋅kOB=-1,即x1x2+y1y2=0,②
又点A,B在抛物线上,有y1=x12,y2=x22,代入②化简得x1x2=-1
∴ Y=y1+y23=13(x12+x22)=13[(x1+x2)2-2x1x2]=13×(3x)2+23=3x2+23.
所以重心为G的轨迹方程为y=3x2+23.
(2)S△AOB=12|OA||OB|=12(x12+y12)(x22+y22)=12x12x22+x12y22+x22y12+y12y22
由(1)得S△AOB=12x12+x22+2≥122|x1x2|+2=12×2=1
当且仅当x12=x22即|x1|=|x2|=1时,等号成立.
所以△AOB的面积存在最小值,存在时求得最小值1.
18.
【答案】
解:(I)ξ的可能取值为:0,1,2,n
ξ的分布列为
7 / 7
(II)ξ的数学希望为Eξ=0×ss+t+1×st(s+t)2+2×st2(s+t)3+...+(n-1)×stn-1(s+t)n-1+n×tn(s+t)n(1)
ts+tEξ=st2(s+t)2+...+(n-2)stn-1(s+t)n-1+(n-1)stn(s+t)n-1+ntn+1(s+t)n+1(2)
(1)-(2)得Eξ=ts-tns(s+t)n-1-(n-1)tn(s+t)n-1+ntn(s+t)n.
19.
【答案】
解:由f(2-x)=f(2+x)f(7-x)=f(7+x)⇒f(x)=f(4-x)f(x)=f(14-x)⇒f(4-x)=f(14-x)⇒f(x)=f(x+10),
又f(3)=0,而f(7)≠0,⇒f(-3)=f(7)≠0⇒f(-3)≠f(3),f(-3)≠-f(3)
故函数y=f(x)是非奇非偶函数;
(2)由f(2-x)=f(2+x)f(7-x)=f(7+x)⇒f(x)=f(4-x)f(x)=f(14-x)⇒f(4-x)=f(14-x)⇒f(x)=f(x+10)
又f(3)=f(1)=0⇒f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0
因为在闭区间[0, 7]上,只有f(1)=f(3)=0,故在[4, 7]上无零点,
又f(7-x)=f(7+x),故在[4, 10]上无零点,故在[0, 10]上仅有两个解
故f(x)在[0, 10]和[-10, 0]上均有有两个解,
从而可知函数y=f(x)在[0, 2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,
所以函数y=f(x)在[-2005, 2005]上有802个解.
20.
【答案】
(I)(1)当k=0时,此时A点与D点重合,折痕所在的直线方程y=12.
(2)当k≠0时,将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a, 1)(0
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