【数学】2020届一轮复习人教A版柯西不等式与排序不等式课时作业 13页

‎2020届一轮复习人教A版 柯西不等式与排序不等式 课时作业 ‎ 1、若实数x＋y＋z＝1，则2x2+y2+3z2 的最小值为( )‎ A．1 B． C． D．11‎ ‎2、设，且，则的最小值为（ ）‎ A． B．9 C．10 D．0 3、已知不等式，对满足的一切实数都成立，则实数的取值范围为______‎ ‎4、实数x、y满足，则的最大值是____________‎ ‎5、下列说法中：‎ ‎①若，满足，则的最大值为4；‎ ‎②若，则函数的最小值为3；‎ ‎③若，满足，则的最大值为；‎ ‎④若，满足，则的最小值为2；‎ ‎⑤函数的最小值为9.‎ 正确的有________．（把你认为正确的序号全部写上）‎ ‎6、若实数x、y、z满足，，则_____. 7、设，且满足：，，求证：.‎ ‎8、已知，，，且.‎ 证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎9、已知均为实数，且.‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎10、已知，且，求证：.‎ ‎11、设正数满足，求证：.‎ ‎12、已知实数满足．证明：．‎ ‎13、已知x，y，z均是正实数，且求证：．‎ ‎14、已知实数满足，求证：．‎ ‎15、已知正数，b，c满足＋b＋c＝2，求证：．‎ ‎16、设为正实数，求的最小值.‎ ‎17、已知实数、b、c满足，求的最大值和最小值.‎ ‎18、已知a，b，c∈R，，若对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．‎ ‎19、（1）函数，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设，若，求的最小值．‎ ‎20、已知均为正实数，且.‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）求的最大值.‎ 参考答案 ‎1、答案：C 由柯西不等式可知：（x+y+z）2≤（2x2+y2+3z2）（+12+），‎ 故2x2+y2+3z2≥，即：x2+2y2+3z2的最小值为.‎ 故答案为：C.‎ ‎2、答案：B 利用柯西不等式得出最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（x2）（y2）≥（x）2＝9.‎ 当且仅当xy即xy= 时取等号．‎ 故选：B．‎ 名师点评：‎ 本题考查了柯西不等式的应用，熟记不等式准确计算是关键，属于基础题．‎ ‎3、答案：‎ 不等式|a﹣1|≥x+2y+2z恒成立，只要|a﹣1|≥（x+2y+2z）max，利用柯西不等式9=（12+22+22）？（x2+y2+z2）≥（1？x+2？y+2？z）2求出x+2y+2z的最大值，再解关于a的绝对值不等式即可．‎ 解：由柯西不等式9=（12+22+22）？（x2+y2+z2）≥（1？x+2？y+2？z）2‎ 即x+2y+2z≤3，当且仅当 即，，时，x+2y+2z取得最大值3.‎ ‎∵不等式|a﹣1|≥x+2y+2z，对满足x2+y2+z2=1的一切实数x，y，z恒成立，‎ 只需|a﹣1|≥3，解得a﹣1≥3或a﹣1≤﹣3，∴a≥4或∴a≤﹣2.‎ 即实数的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．‎ 故答案为：a≥4或a≤﹣2.‎ 点评：本题考查柯西不等式的应用，考查运算能力和运用所学知识解决问题的能力．‎ ‎4、答案：42‎ 注意，，，这三者相加即得.‎ 当，时等号成立，所以的最大值是42.‎ 也可以直接用柯西（Cauchy）不等式，得到最大值为42.‎ 故答案为：42‎ ‎5、答案：③④⑤‎ 分别利用基本不等式和柯西不等式求解其最值，即可作出判定，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，知①中，若，满足，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4，所以不正确；‎ ‎②中，若，则函数即函数的最大值为-1，所以不正确；‎ ‎③中，由柯西不等式可得， ‎ 当，即时取等号，即的最小值为，所以正确；‎ ‎④中，由，利用基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，即，解得，即的最小值为2，所以正确；‎ ‎⑤中，函数 ，当且仅当，即时等号成立，所以最小值为9，所以正确，‎ 综上所述，正确有③④⑤.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查了利用基本不等式和柯西不等式求解最值问题，其中解答中熟练合理应用基本不等式和柯西不等式求解最值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎6、答案：‎ ‎【详解】‎ 由柯西不等式得，由已知得，，所以有，化简得，即、为方程的两根，由韦达定理得.‎ ‎7、答案：试题分析：根据题中所给条件：，，结合柯西不等式可得出：，由此可推出：‎ ‎，即可得出三者的关系：，问题即可求解．‎ ‎，‎ ‎，，又，‎ ‎，.10分 考点：不等式的证明 8、答案：(1)见解析.(2)见解析.‎ 试题分析：（1）根据分析法，结合不等式关系中的，，，即可证明不等式成立；或用柯西不等式，直接证明不等式成立。‎ ‎（2）根据“1”的代换，代入后结合基本不等式即可证明；直接构造基本不等式证明，也可证明不等式成立。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）方法一：因为，‎ 所以，‎ 因为，，，‎ 所以 ‎.‎ 所以，当且仅当时，等号成立.‎ 方法二：，‎ 所以，当且仅当时，等号成立.‎ ‎（2）方法一：‎ ‎，‎ 所以，‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 方法二：，‎ 所以，‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 名师点评：‎ 本题考查了不等式的证明，基本不等式及柯西不等式的应用，属于中档题。 9、答案：（Ⅰ）4；（Ⅱ）.‎ 试题分析：（1）利用柯西不等式即可得出 ‎（2）由（1）可知，的最小值为，则，再利用零点分段讨论法解不等式组，得到实数的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）因为 所以，当且仅当，即，或时取等号，‎ 即的最小值为 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知对任意的恒成立 ‎，或，或，或 所以实数的取值范围为 名师点评：‎ 解决本题的关键是要熟练运用柯西不等式：若，则，等号成立。 10、答案：试题分析：根据柯西不等式可证得结果.‎ ‎【详解】‎ 又 名师点评：‎ 本题考查利用柯西不等式证明不等式的问题，属于常规题型. 11、答案：试题分析：把不等式左边化为，再利用柯西不等式得到，从而不等式得到证明.‎ ‎【详解】‎ 因为，，所以 由，‎ 由柯西不等式，得 所以，即.‎ 名师点评：‎ 多变量不等式的证明，可根据不等式的特点选择均值不等式或柯西不等式等来证明，如果不等式是和与积的形式，可考虑前者，如果是平方和与对应乘积和的关系，则考虑后者，必要时需对原有不等式变形化简，使之产生需要的结构形式. 12、答案：试题分析：设a＝x2+2y2，b＝y2+3z2，c＝z2，由题意可得4a+b+9c＝12，再根据柯西不等式即可证明．‎ ‎【详解】‎ 设a＝x2+2y2，b＝y2+3z2，c＝z2，‎ ‎∴4（a﹣2b+6c）+9（b﹣3c）+12c＝12，即4a+b+9c＝12，‎ ‎∴‎ 故原不等式成立．‎ 名师点评：‎ 本题考查了不等式的证明，柯西不等式的应用，考查了转化与化归思想，推理论证能力，属于中档题 ‎ ‎13、答案：试题分析：由柯西不等式证明即可 ‎【详解】由柯西不等式得，‎ 因为，所以 所以，当且仅当“”时取等号．‎ 名师点评：‎ 本题考查矩阵运算，直线的参数方程，弦长公式，柯西不等式证明不等式，熟练掌握矩阵运算，柯西不等式是关键，是基础题 14、答案：试题分析：利用柯西不等式，结合已知条件，转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ 由柯西不等式，‎ 得 ‎，‎ 所以．‎ 名师点评：‎ 本题考查柯西不等式证明不等式，考查转化思想以及计算能力． 15、答案：试题分析：构造柯西不等式模型，利用柯西不等式证明。‎ ‎【详解】‎ 证明：正数，b，c满足＋b＋c＝2‎ 故命题成立.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查了利用柯西不等式证明不等式，考查了构造能力，属于中档题。 16、答案：‎ 试题分析：记，当时，有最小值 下证：‎ 解法一 当时，可取到等号.‎ 所以，的最小值为 解法二：‎ 当时，可取到等号．‎ 所以，的最小值为．‎ 解法三：注意到 ‎．‎ 于是，‎ 故．‎ 当时，可取到等号．‎ 所以，的最小值为． 17、答案：试题分析：【详解】‎ 由均值不等式和柯西不等式可得 ‎.‎ 当时取等号，故M的最大值为.‎ 要使M取最小值，只需考虑，且的情形.令，则，，此时.由于 当时取等号，令 ‎，，‎ 若为在上的最大值，则为M的最小值.由于，则在内取到最大值，因此在的处取到，由于 令，两边平方，整理可得 此方程有根，.又因为，且是增根，故是的最大值点.因此，是M的最小值. 18、答案：‎ 试题分析：（1）根据柯西不等式可得，对一切实数a，b，c恒成立，等价于，对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果.‎ 试题因为a，b，c∈R，，‎ 由柯西不等式得，‎ 因为对一切实数a，b，c恒成立，‎ 所以．‎ 当时，，即；‎ 当时，不成立；‎ 当时，，即；‎ 综上，实数x的取值范围为． 19、答案：（1）；（2）‎ 试题分析：（1）构造函数，去绝对值号的分段函数，画出图象，数形结合即可；（2）由柯西不等式即可求出不等式的最小值.‎ 试题 解：令，则，即 作出的图像，如图所示，易知其最小值为-5‎ 所以，实数的取值范围是 由柯西不等式：‎ 即，故 当且仅当时，即时等号成立，‎ 所以的最小值为. 20、答案：(1)12;(2).‎ 试题分析：（1）利用柯西不等式可得 ‎，结合即可得的最大值；（2）原式，因为 ‎，从而可得结果.‎ 试题（1）‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，取等号，‎ 故原式的最大值为12.‎ ‎（2）原式 因为 ‎，‎ 当且仅当，即时，取等号 所以原式，‎ 故原式的最大值为. ‎