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- 2021-06-23 发布
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【2020年高考数学预测题、估测题】天津市试卷（理工类）1【附详细答案和解析 可编辑】
真水无香陈 tougao33
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、 选择题 （本题共计 9 小题 ，每题 5 分 ，共计45分 ， ）
1. 已知全集U={x∈N|0≤x≤4}，集合A={-1,2,3}，B={2,3}，则∁U(A∩B)=（ ）
A.{0,4} B.{0,1,4} C.{1,4} D.{0,1}
2. 已知变量x，y满足约束条件 x+y≥0，x≤1，y≤0， 则目标函数z=2x+y的最大值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3. “a≤0”是“关于x的方程x2+ax+a＝0(a∈R)有实数解”的（ ）
A.既不充分也不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件 D.充分不必要条件
4. （重庆4月调研）中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“”处应填入（ ）
A.a-221∈Z B.a-215∈Z C.a-27∈Z D.a-23∈Z
5. 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60∘的直线l，若直线l与抛物线在第一象限的交点为A，并且点A也在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线上，则双曲线的离心率为( )
A.13 B.213 C.233 D.5
6. 下列不等式正确的是（ ）
A.log30.2<0.23<30.2 B.log30.2<30.2<0.23
C.0.230，b>0，且ln(a+b)=0，则1a+1b的最小值是________．
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 13 分 ，共计78分 ， ）
15. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a>b，a=5，c=6，sinB=35．
(1)求b和sinA的值；
(2)求sin(2A+π4)的值．
16. 袋中装着标有数字1、2、3、4、5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：
（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量ξ的概率分布列和数学期望．
17. 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB // CD，AB=4，AA1=2，BC=CD=2，E，F，E1是AA1，AB，AD的中点．
(1)证明：直线EE1 // 平面FCC1；
(2)求直线BF与面FC1C所成角的大小；
(3)求二面角B-FC1-C的平面角的余弦值．
18. 已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为22，其四个顶点组成的菱形的面积是42，O为坐标原点，若点A在直线x=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB．
（1） 求椭圆C的方程；
（2）求线段AB长度的最小值；
（3）试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．
19. 在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=S2b2
（1）求an与bn；
（2）设数列{cn}满足cn=1Sn，求{cn}的前n项和Tn．
20. 已知函数f(x)=lnx+x-ax2，a∈R.
(1)设g(x)=f(x)+(a-3)x，试讨论函数g(x)的单调性；
(2)当a=-2时，若存在正实数x1，x2满足f(x1)+f(x2)+3x1x2=0，求证：x1+x2>12.
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参考答案与试题解析
【2020年高考数学预测题、估测题】天津市试卷（理工类）1【附详细答案和解析 可编辑】
一、 选择题 （本题共计 9 小题 ，每题 5 分 ，共计45分 ）
1.【答案】
B
【解答】
解：根据题意得到A∩B=2,3 ，
则CU(A∩B)=0,1,4 .
故选B .
2.【答案】
C
【解答】
解：画出不等式组表示的平面区域如下图所示：
可知目标函数z=2x+y位于点B处取得最大值，
联立y=0，x=1，解得B(1,0)，
则zmax=2×1+0=2.
故选C.
3.【答案】
D
【解答】
由关于x的方程x2+ax+a＝0(a∈R)有实数解得：△＝a2-4a≥0，解得：a≤0或a≥4，
∴ “a≤0”是“a≤0或a≥4“的充分不必要条件，
4.【答案】
A
【解答】
被3和7整除余2的数即是被21整除余2的数，所以判断框内应填入a-221∈Z，故选A．
本题考查程序框图．
5.【答案】
B
【解答】
解：如图，
设A(x0,y0)，则|AF|=2x0-p2．
又∵ |AF|=x0+p2，
∴ 2x0-p2=x0+p2，
解得x0=32p，y0=32|AF|=32⋅2p=3p．
又∵ A32p,3p在双曲线的一条渐近线上，
∴ 3p=ba⋅32p，∴ b2=43a2，
由a2+b2=c2，得a2+43a2=c2，∴ c2a2=73，
∴ 双曲线的离心率e=ca=213．
故选B．
6.【答案】
A
【解答】
解：对于log30.2，由对数函数的图像与性质可知log30.230=1，
综上可知，log30.2<0.23<30.2．
第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页
故选A．
7.【答案】
C
【解答】
∵ x∈R,f-x=sin|-x|+|sin-x|=sin|x|+|sinx|=fx，∴ fx为偶函数，①正确；当x∈π2,π时，fx=sin|x|+|sinx|=2sinx，在区间-π2,π上单调递减，故②错误；当x∈(0,π]时，fx=2sinx，结合fx为偶函数可画出其大致图象，可知fx在[-π,π]上有3个零点，故③错误；根据函数fx的图象可得fx的最大值为2，故④正确．故选C．
8.【答案】
A
【解答】
解：由题设x2>x1>-1，
由题知fx2-ax2≥fx1-ax恒成立．
设gx=fx-ax，
故gx在(-1，+∞)上单调递增，
所以g'x≥0，
即g'x=x+2ex-a⋅1x+1-a
=x+2⋅ex-x+2x+1⋅a≥0，
因为x>-1 ，
所以x+2>0，
所以ex-1x+1⋅a≥0 ，
故a≤x+1ex，
令Fx=x+1exx>-1，
所以F'x=x+2ex>0，
所以Fx在-1,+∞上单调递增，
所以Fx>F-1=0，
即a≤0.
故选A.
9.【答案】
【解答】
此题暂无解答
二、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 5 分 ，共计25分 ）
10.【答案】
3
【解答】
解：已知复数z满足|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=1，
所以复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(-2,2)为圆心，1为半径的圆，
因为|z-2-2i|=|z-(2+2i)|表示复数z在复平面内对应的点到点(2,2)的距离，即圆上的点到点(2,2)的距离，
所以最小点为圆心到点(2,2)的距离减去半径，
则|z-2-2i|的最小值为3.
故答案为：3.
11.【答案】
【解答】
此题暂无解答
12.【答案】
2
【解答】
解：依题意，折叠后的四面体如图1.
设正方形边长为a，内切球半径为r，
则AG=a，EG=FG=a2.
记四面体内切球球心为O，如图2.
∵ VA-EFG=VO-EFG+VO-AEF+VO-AEG+VO-AFG，
即VA-EFG=13(S△EFG+S△AEF+S△AEG+S△AFG)⋅r，
即13×12×a2×a2×a=13×a2×r，所以a=8r．
又4πr2=π4，即r=14，
∴ a=2
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.
故答案为：2.
13.【答案】
（t为参数），（θ为参数），当α=π3时，则C1与C2的交点坐标为(1, 0)，(12, -32)
【解答】
（1）当α=π3时，C1的普通方程为y=3(x-1)，C2的普通方程为x2+y2＝1．
联立方程组，解得C1与C2的交点为(1, 0)，(12, -32)．
故答案为(1, 0)，(12, -32)．
14.【答案】
4
【解答】
解：∵ ln(a+b)=0，
∴ a+b=1，
∴ 1a+1b=(1a+1b)(a+b)=2+ba+ab≥2+2=4，
当且仅当a=b=12时等号成立.
故答案为：4.
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 13 分 ，共计78分 ）
15.【答案】
解：(1)在△ABC中，因为a>b，
故由sinB=35，可得cosB=45．
由已知及余弦定理，
得b2=a2+c2-2accosB=13.
所以b=13．
由正弦定理asinA=bsinB，
得sinA=asinBb=31313．
(2)由(1)及ab，
故由sinB=35，可得cosB=45．
由已知及余弦定理，
得b2=a2+c2-2accosB=13.
所以b=13．
由正弦定理asinA=bsinB，
得sinA=asinBb=31313．
(2)由(1)及a0).
①若a≥0，则当x∈(0，12)时，g'(x)>0，
∴ 函数g(x)在(0，12)上单调递增；
当x∈(12，+∞)时，g'(x)<0，函数g(x)在(12，+∞)上单调递减.
②若a<0，g'(x)=-a(x+1a)(2x-1)x(x>0)，
当a<-2时，易得函数g(x)在(0，-1a)和(12，+∞)上单调递增，
在(-1a，12)上单调递减；
当a=-2时，g'(x)≥0恒成立，
∴ 函数g(x)在(0，+∞)上单调递增；
当-20)，
则φ'(t)=1-1t=t-1t(t>0)，
当t∈(0，1)时，φ'(t)<0，
∴ 函数φ(t)=t-lnt(t>0)在(0，1)上单调递减；
当t∈(1，+∞)时，φ'(t)>0，
∴ 函数φ(t)=t-lnt(t>0)在(1，+∞)上单调递增.
∴ 函数φ(t)=t-lnt(t>0)在t=1时，取得最小值，最小值为1.
∴ 2(x1+x2)2+(x1+x2)≥1，
即2(x1+x2)2+(x1+x2)-1≥0
∴ x1+x2≥12或x1+x2≤-1.
∵ x1，x2为正实数,
∴ x1+x2≥12.
当x1+x2=12时，x1x2=1，
此时不存在x1，x2满足条件，
∴ x1+x2>12.
【解答】
解：(1)∵ g(x)=f(x)+(a-3)x
=lnx+x-ax2+(a-3)x
=lnx-ax2+(a-2)x，
∴ g'(x)=1x-2ax+(a-2)
=-(ax+1)(2x-1)x(x>0).
①若a≥0，则当x∈(0，12)时，g'(x)>0，
∴ 函数g(x)在(0，12)上单调递增；
当x∈(12，+∞)时，g'(x)<0，函数g(x)在(12，+∞)上单调递减.
②若a<0，g'(x)=-a(x+1a)(2x-1)x(x>0)，
当a<-2时，易得函数g(x)在(0，-1a)和(12，+∞)上单调递增，
在(-1a，12)上单调递减；
当a=-2时，g'(x)≥0恒成立，
∴ 函数g(x)在(0，+∞)上单调递增；
当-20)，
则φ'(t)=1-1t=t-1t(t>0)，
当t∈(0，1)时，φ'(t)<0，
∴ 函数φ(t)=t-lnt(t>0)在(0，1)上单调递减；
当t∈(1，+∞)时，φ'(t)>0，
∴ 函数φ(t)=t-lnt(t>0)在(1，+∞)上单调递增.
∴ 函数φ(t)=t-lnt(t>0)在t=1时，取得最小值，最小值为1.
∴ 2(x1+x2)2+(x1+x2)≥1，
即2(x1+x2)2+(x1+x2)-1≥0
∴ x1+x2≥12或x1+x2≤-1.
∵ x1，x2为正实数,
∴ x1+x2≥12.
当x1+x2=12时，x1x2=1，
此时不存在x1，x2满足条件，
∴ x1+x2>12.
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