高中数学必修2教案：第四章 4_1_2圆的一般方程 10页

‎4．1.2　圆的一般方程 ‎[学习目标]　1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.会在不同条件下求圆的一般式方程．‎ ‎[知识链接]‎ ‎1．圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，它的圆心坐标为(a，b)，半径为r.‎ ‎2．点与圆的位置关系有点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以利用代数法与几何法进行判断．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．圆的一般方程的定义 ‎(1)当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为，半径为.‎ ‎(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点.‎ ‎(3)当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．‎ ‎2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．则其位置关系如下表：‎ 位置关系 代数关系 点M在圆外 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0‎ 点M在圆上 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0‎ 点M在圆内 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0‎ 要点一　圆的一般方程的概念 例1　下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．‎ ‎(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；‎ ‎(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；‎ ‎(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；‎ ‎(4)2x2＋2y2－5x＝0.‎ 解　(1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，‎ ‎∴它不能表示圆．‎ ‎(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项．‎ ‎∴它不能表示圆．‎ ‎(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，‎ ‎∴它不能表示圆．‎ ‎(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为2＋y2＝2，‎ ‎∴它表示以为圆心，为半径长的圆．‎ 规律方法　二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，应满足的条件是：①A＝C≠0，②B＝0，③D2＋E2－4AF>0.‎ 跟踪演练1　如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的范围是________．‎ 答案　 解析　由题意可知(－2)2＋12－4k>0，‎ 即k<.‎ 要点二　求圆的一般方程 例2　已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径．‎ 解　方法一　设△ABC的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，‎ ‎∵A，B，C在圆上，‎ ‎∴ ‎∴ ‎∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，‎ 即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.‎ ‎∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.‎ 方法二　设△ABC的外接圆方程为 ‎(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵A、B、C在圆上，‎ ‎∴ 解得即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，‎ ‎∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0.‎ 方法三　∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，‎ ‎∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.‎ ‎∴△ABC是以角A为直角的直角三角形．‎ ‎∴圆心是线段BC的中点，‎ 坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5.‎ ‎∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.‎ 展开得一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0.‎ 规律方法　应用待定系数法求圆的方程时：‎ ‎(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.‎ ‎(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.‎ 跟踪演练2　已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求三角形ABC的外接圆的方程．‎ 解　设三角形ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，‎ 由题意得解得 即三角形ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.‎ 要点三　求动点的轨迹方程 例3　等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．‎ 解　设另一端点C的坐标为(x，y)．‎ 依题意，得|AC|＝|AB|.由两点间距离公式，得 ‎＝，‎ 整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10.‎ 这是以点A(4,2)为圆心，以为半径的圆，如图所示，又因为A、B、C为三角形的三个顶点，所以A、B、C三点不共线．即点B、C不能重合且B、C不能为圆A 的一直径的两个端点．‎ 因为点B、C不能重合，所以点C不能为(3,5)．‎ 又因为点B、C不能为一直径的两个端点，‎ 所以≠4，且≠2，即点C不能为(5，－1)．‎ 故端点C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A(4,2)为圆心，‎ 为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．‎ 规律方法　求与圆有关的轨迹问题常用的方法．‎ ‎(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．‎ ‎(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．‎ ‎(3)相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．‎ 跟踪演练3　已知直角△ABC的两个顶点A(－1,0)和B(3,0)，求直角顶点C的轨迹方程．‎ 解　方法一　设顶点C(x，y)，‎ 因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，‎ 所以x≠3且x≠－1.‎ 又kAC＝，kBC＝.‎ 且kAC·kBC＝－1，所以·＝－1，‎ 化简得x2＋y2－2x－3＝0.‎ 因此，直角顶点C的轨迹方程为 x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．‎ 方法二　△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，设顶点C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，‎ 所以x≠3且x≠－1.‎ 由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，‎ 即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，‎ 化简得x2＋y2－2x－3＝0.‎ 因此，直角顶点C的轨迹方程为 x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．‎ ‎1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)‎ A．(2,3) B．(－2,3)‎ C．(－2，－3) D．(2，－3)‎ 答案　D 解析　－＝2，－＝－3，∴圆心坐标是(2，－3)．‎ ‎2．方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为(　　)‎ A．k≤ B．k＝ C．k≥ D．k< 答案　D 解析　方程表示圆⇔1＋1－4k>0⇔k<.‎ ‎3．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为(　　)‎ A．以(a，b)为圆心的圆 B．以(－a，－b)为圆心的圆 C．点(a，b)‎ D．点(－a，－b)‎ 答案　D 解析　原方程可化为：(x＋a)2＋(y＋b)2＝0.所以它表示点(－a，－b)．‎ ‎4．圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为________．‎ 答案　 解析　因(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，‎ ‎∴r＝＝，∴m＝.‎ ‎5．圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.‎ 答案　3‎ 解析　圆心(1,2)到直线3x＋4y＋4＝0的距离为＝3.‎ ‎1.圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.‎ 在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．‎ ‎2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程．‎ ‎3．对于曲线的轨迹问题，要作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．‎ 一、基础达标 ‎1．已知圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0，则圆心坐标，半径的长分别是(　　)‎ A．(2，－1)，3 B．(－2,1)，3‎ C．(－2，－1)，3 D．(2，－1)，9‎ 答案　A 解析　圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.‎ 故其圆心坐标为(2，－1)，半径的长为3.‎ ‎2．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为(　　)‎ A．－2或2 B.或 C．2或0 D．－2或0‎ 答案　C 解析　由圆的方程得圆心坐标为(1,2)．再由点到直线的距离公式得＝，解得a＝2或a＝0.‎ ‎3．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2>4F)表示的曲线关于直线y＝x对称，那么必有(　　)‎ A．D＝E B．D＝F C．E＝F D．D＝E＝F 答案　A 解析　方程所表示的曲线为圆，由已知，圆关于直线y＝x对称，所以圆心在直线y＝x上，即点在直线y＝x上，所以D＝E.故选A.‎ ‎4．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积最小值是(　　)‎ A．3－ B．3＋ C．3－ D. 答案　A 解析　直线AB的方程为x－y＋2＝0，圆心到直线AB的距离为d＝＝，‎ 所以，圆上任意一点到直线AB的最小距离为－1，‎ S△ABC＝×|AB|× ‎＝×2× ‎＝3－.‎ ‎5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为(　　)‎ A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0‎ C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0‎ 答案　C 解析　直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，‎ 由得C(－1,2)．‎ ‎∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，‎ 即x2＋y2＋2x－4y＝0.‎ ‎6．点P(x0，y0)是圆x2＋y2＝16上的动点，点M是OP(O为原点)的中点，则动点M的轨迹方程是________．‎ 答案　x2＋y2＝4‎ 解析　设M(x，y)，则即 又P(x0，y0)在圆上，‎ ‎∴4x2＋4y2＝16，即x2＋y2＝4.‎ ‎7．设圆的方程为x2＋y2－4x－5＝0，‎ ‎(1)求该圆的圆心坐标及半径；‎ ‎(2)若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1)，求直线AB的方程．‎ 解　(1)将x2＋y2－4x－5＝0配方得：(x－2)2＋y2＝9.∴圆心坐标为C(2,0)，半径为r＝3.‎ ‎(2)设直线AB的斜率为k.‎ 由圆的几何性质可知：CP⊥AB，‎ ‎∴kCP·k＝－1.‎ 又kCP＝＝1，∴k＝－1.‎ ‎∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，‎ 即：x＋y－4＝0.‎ 二、能力提升 ‎8．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则圆心在直线上，求得a＋b＝1，ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－2＋≤，ab的取值范围是，故选A.‎ ‎9．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程是(　　)‎ A．x2＋y2＝4(x≠±2) B．x2＋y2＝4‎ C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝2‎ 答案　A 解析　设P(x，y)，则PM⊥PN.‎ 又kPM＝＝(x≠－2)，‎ kPN＝＝(x≠2)，‎ ‎∵kPM·kPN＝－1，∴·＝－1，‎ 即x2－4＋y2＝0，即x2＋y2＝4(x≠±2)．‎ 当x＝2时，不能构成以MN为斜边的直角三角形，‎ 因此不成立．同理当x＝－2时也不成立．‎ 故点P的轨迹方程是x2＋y2＝4(x≠±2)．‎ ‎10．光线从点A(1,1)出发，经y轴反射到圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4的最短路程等于________．‎ 答案　6－2‎ 解析　∵A(1,1)关于y轴对称点为A′(－1,1)，‎ ‎∴所求的最短路程为|A′C|－2，‎ ‎|A′C|＝＝6.‎ ‎∴所求的最短路程为6－2.‎ ‎11．已知定点A(2,0)，圆x2＋y2＝1上有一个动点Q，若线段AQ的中点为P，求动点P的轨迹．‎ 解　设动点P的坐标为(x，y)，Q(x1，y1)，‎ 利用中点坐标公式有即 ‎∵x＋y＝1，‎ ‎∴(2x－2)2＋(2y)2＝1，‎ ‎∴动点P的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝.‎ ‎∴动点P的轨迹为以(1,0)为圆心，为半径的圆．‎ 三、探究与创新 ‎12．已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程．‎ 解　方法一　设圆的方程为：‎ x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①‎ 将P、Q的坐标分别代入①，得 令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④‎ 由已知|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程④的两根．‎ ‎∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.⑤‎ 解②③⑤联立成的方程组，‎ 得或.‎ 故所求方程为：x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.‎ 方法二　求得PQ的中垂线方程为x－y－1＝0.①‎ ‎∵所求圆的圆心C在直线①上，‎ 故设其坐标为(a，a－1)，‎ 又圆C的半径r＝|CP|＝ .②‎ 由已知圆C截y轴所得的线段长为4，而圆C到y轴的距离为|a|.‎ r2＝a2＋2，代入②并将两端平方，‎ 得a2－6a＋5＝0，‎ 解得a1＝1，a2＝5.‎ ‎∴r1＝，r2＝.‎ 故所求圆的方程为：(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.‎ ‎13．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆．‎ ‎(1)求t的取值范围；‎ ‎(2)求其中面积最大的圆的方程；‎ ‎(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．‎ 解　(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9，‎ ‎∴r2＝－7t2＋6t＋1>0，‎ 由二次函数的图象解得－