高中数学必修2教案：1_3_1柱体、锥体、台体的表面积 (2) 6页

第一课时 柱体、锥体、台体的表面积 ‎（一）教学目标 ‎1．知识与技能 ‎（1）了解柱体、锥体与台体的表面积（不要求记忆公式）.‎ ‎（2）能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积.‎ ‎（3）培养学生空间想象能力和思维能力.‎ ‎2．过程与方法 让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，培养转化化归能力.‎ ‎3．情感、态度与价值观 通过学习，使学生感受到几面体表面积的求解过程，激发学生探索创新的意识，增强学习的积极性.‎ ‎（二）教学重点、难点 重点：柱体、锥体、台体的表面积公式的推导与计算.‎ 难点：展开图与空间几何体的转化.‎ ‎（三）教学方法 学导式：学生分析交流与教师引导、讲授相结合.‎ 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 新课导入 问题：现有一棱长为1的正方体盒子AC′，一只蚂蚁从A点出发经侧面到达A′点，问这只蚂蚁走边的最短路程是多少？‎ A′‎ D′‎ C′‎ B C A B′‎ D 学生先思考讨论，然后回答.‎ 学生：将正方体沿AA′展开得到一个由四个小正方形组成的大矩形如图 A′‎ A 则即所求.‎ 师：(肯定后)这个题考查的是正方体展开图的应用，这节课，我们围绕几何体的展开图讨论几何体的表面积.‎ 情境生动，激发热情教师顺势带出主题.‎ 探索新知 ‎1．空间多面体的展开图与表面积的计算.‎ ‎（1）探索三棱柱、三棱锥、三棱台的展开图.‎ ‎（2）已知棱长为a，各面均为等边三角形S – ABC (图1.3—2)，求它的表面积.‎ 解：先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交B于D，因为BC = a，‎ ‎∴.‎ ‎∴四面体S – ABC的表面积 ‎.‎ 师：在初中，我们已知学习了正方体和长方体的表面积以及它们的展开图，你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？‎ 生：相等.‎ 师：对于一个一般的多面，你会怎样求它的表面积.‎ 生：多面体的表面积就是各个面的面积之和，我们可以把它展成平面图形，利用平面图形求面积的方法求解.‎ 师：（肯定）棱柱、棱锥、棱台边是由多个平面图形围成的多面体，它们的展开图是什么？如何计算它们的体积？‎ ‎……‎ 生：它的表面积都等于表面积与侧面积之和.‎ 师以三棱柱、三棱锥、三棱台为例，利用多媒体设备投放它们的展开图，并肯定学生说法.‎ 师：下面让我们体会简单多面体的表面积的计算.‎ 师打出投影片、学生阅读、分析题目、整理思想.‎ 生：由于四面体S – ABC的四个面都全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面积的4倍.‎ 学生分析，教师板书解答过程.‎ 让学生经历几何体展开过程感知几何体的形状. ‎ 推而广之，培养探索意识会 探索新知 ‎2．圆柱、圆锥、圆台的表面积 ‎（1）圆柱、圆锥、圆台的表面积公式的推导 S圆柱 = 2r (r + 1)‎ S圆锥 = r (r + 1)‎ S圆台 = (r12 + r2 + r‎1l + rl )‎ ‎（2）讨论圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系 S圆台=(r12+r2+rl+r′l)‎ S圆柱=2r(r+l)‎ S圆锥=r(r+l)‎ r = 0‎ r = 1‎ ‎（3）例题分析 例2 如图所示，一个圆台形花盆盆口直径为‎20cm，盆底直径为‎15cm，底部渗水圆孔直径为‎1.5cm，盆壁长‎15cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆(取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器)？‎ 分析：只要求出每一个花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面面积加上下底面面积，再减去底面圆孔的面积.‎ 解：如图所示，由圆台的表积公式得一个花盆外壁的表面积 ‎≈1000(cm2) = 0.1(m2).‎ 涂100个花盆需油漆：0.1×100×100 =1000(毫升).‎ 答：涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆.‎ 师：圆柱、圆锥的侧面展开图是什么？‎ 生：圆柱的侧面展开图是一个矩形，圆锥的侧面展开图是一个扇形.‎ 师：如果它们的底面半径均是r，母线长均为l，则它们的表面积是多少？‎ 师：打出投影片（教材图‎1.3.3‎和图1.3—4）‎ 生1：圆柱的底面积为，侧面面积为，因此，圆柱的表面积：‎ 生2：圆锥的底面积为，侧面积为，因此，圆锥的表面积：‎ 师：(肯定)圆台的侧面展开图是一个扇环，如果它的上、下底面半径分别为r、r′，母线长为l，则它的侧面面积类似于梯形的面积计算S侧 =‎ 所以它的表面积为 现在请大家研究这三个表面积公式的关系.‎ 学生讨论，教师给予适当引导最后学生归纳结论.‎ 师：下面我们共同解决一个实际问题.‎ ‎（师放投影片，并读题）‎ 师：本题只要求出花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量，你会怎样用它的表面积.‎ 生：花盆的表积等于花盆的侧面面积加上底面面积，再减去底面圆孔的面积.(学生分析、教师板书)‎ 让学生自己推导公式，加深学生对公式的认识.‎ 用联系的观点看待三者之间的关系，更加方便于学生对空间几何体的了解和掌握，灵活运用公式解决问题.‎ 随堂练习 ‎1．练习圆锥的表面积为a cm2，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径.‎ ‎2．如图是一种机器零件，零件下面是六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形）形，上面是圆柱（尺寸如图，单位：mm）形. 电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌‎0.11kg，问电镀10 000个零件需锌多少千克（结果精确到‎0.01kg）‎ 答案：1． m；‎ ‎2．1.74千克.‎ 学生独立完成 归纳总结 ‎1．柱体、锥体、台体展开图及表面积公式1.‎ ‎2．柱体、锥体、台体表面积公式的关系.‎ 学生总结，老师补充、完善 作业 ‎1.3 第一课时 习案 学生独立完成 固化知识 提升能力 备用例题 例1 直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q1，Q2，求直平行六面体的侧面积.‎ ‎【分析】解决本题要首先正确把握直平行六面体的结构特征，直平行六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体，它的两个对角面是矩形.‎ ‎【解析】如图所示，设底面边长为a，侧棱长为l，两条底面对角线的长分别为c，d，即BD = c，AC = d，则 由（1）得，由（2）得，代入（3）得，‎ ‎∴，∴.‎ ‎∴S侧 =.‎ 例2 一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积.‎ ‎【解析】由三视图知正三棱柱的高为‎2mm.‎ 由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为mm.‎ 设底面边长为a，则，∴a = 4.‎ ‎∴正三棱柱的表面积为 S = S侧 + 2S底 = 3×4×2 + 2×‎ ‎(mm2).‎ 例3 有一根长为‎10cm，底面半径是‎0.5cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕8圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到‎0.01cm）‎ ‎【解析】如图，把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形ABCD.‎ 由题意知，BC=‎10cm，AB = ‎2cm，点A与点C就是铁丝的起止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.‎ ‎∴AC =(cm).‎ 所以，铁丝的最短长度约为‎27.05cm.‎ ‎【评析】此题关键是把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面几何问题. 探究几何体表面上最短距离，常将几何体的表面或侧面展开，化折（曲）为直，使空间图形问题转化为平面图形问题. 空间问题平面化，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.‎ 图4—3—2‎ 例4．粉碎机的下料是正四棱台形如图，它的两底面边长分别是‎80mm和‎440mm，高是‎200mm. 计算制造这一下料斗所需铁板是多少？‎ ‎【分析】 问题的实质是求四棱台的侧面积，欲求侧面积，需求出斜高，可在有关的直角梯形中求出斜高.‎ ‎【解析】如图所示，O、O1是两底面积的中心，则OO1是高，设EE1是斜高，在直角梯形OO1E1E中，‎ EE1=‎ ‎=‎ ‎ ∵边数n = 4，两底边长a = 440，a′= 80，斜高h′=269.‎ ‎ ∴S正棱台侧 = = （mm2）‎ ‎ 答：制造这一下料斗约需铁板2.8×‎105mm2.‎