山东省烟台二中2019-2020高一数学下学期期末试题（Word版附答案） 20页

高一数学阶段检测题 一、单选题（每题 5 分，共 40 分） 1．下列条件中，能判断平面 α 与平面 β 平行的是（ ） A． α 内有无穷多条直线都与 β 平行 B． α 与 β 同时平行于同一条直线 C． α 与 β 同时垂直于同一条直线 D． α 与 β 同时垂直于同一个平面 2．某中学高一年级共有学生 1200 人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容 量为 80 的样本，若样本中共有男生 42 人，则该校高一年级共有女生（ ） A．630 B．615 C．600 D．570 3．已知某种产品的合格率是 90%，合格品中的一级品率是 20%．则这种产品的一级品率为（ ） A．18% B．19% C．20% D．21% 4．PM2.5 是空气质量的一个重要指标，我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 PM2.5 日均值在 35μg/m3 以下空气质量为一级，在 35μg/m3～75μg/m3 之间空气质量为二级，在 75μg/m3 以上空气质量为超标．如图是某地 11 月 1 日到 10 日 PM2.5 日均值（单位：μg/m3）的统计数据， 则下列叙述不正确的是（ ） A．从 5 日到 9 日，PM2.5 日均值逐渐降低 B．这 10 天的 PM2.5 日均值的中位数是 45 C．这 10 天中 PM2.5 日均值的平均数是 49.3 D．从这 10 天的日均 PM2.5 监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是 2 5 5．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是指底面为矩形，顶部只有一条棱 的五面体．如图，五面体 ABCDEF 是一个刍甍，其中△BCF 是正三角形，AB＝2BC＝2EF，则以 下两个结论： ① AB∥EF； ② BF⊥ED （ ） A． ① 和 ② 都不成立 B． ① 成立，但 ② 不成立 C． ① 不成立，但 ② 成立 D． ① 和 ② 都成立 6．20．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”，事件 B 表示“不小 于 5 的点数出现”，则一次试验中，事件 A 或事件 B 至少有一个发生的概率为（ ） A． B． C． D． 7. 现对 A，B 有如下观测数据 A 3 4 5 6 7 B 16 15 13 14 17 记本次测试中，A，B 两组数据的平均成绩分别为，，A，B 两班学生成绩的方差分别为 SA2，SB2， 则（ ） A．，SA2＜SB2 B．，SA2＜SB2 C．，SA2＝SB2 D．，SA2＝SB2 8．如图，PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于 A，B 的任意一点，AE⊥PC 垂足为 E，点 F 是 PB 上一点，则下列判断中不正确的是（ ） A．BC⊥平面 PAC B．AC⊥PB C．AE⊥EF D．平面 AEF⊥平面 PBC 二 、多选题：（每题 5 分，全对得 5 分，选不全得 3 分，选错得 0 分，共 20 分） 9．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是（ ） A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是红球” 10．某特长班有男生和女生各 10 人，统计他们的身高，其数据（单位：cm）如下面的茎叶图所示， 则下列结论正确的是（ ） A．女生身高的极差为 12 B．男生身高的均值较大 C．女生身高的中位数为 165 D．男生身高的方差较小 11．下列四个正方体图形中，A、B 为正方体的两 个顶点，M、N、P 分别为其所 在棱的中点，能得出 AB∥平面 MNP 的图形是（ ） A． B． C． D． 12．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，∠DAB＝60°，侧面 PAD 为正三角形，且 平面 PAD⊥平面 ABCD，则下列说法正确的是（ ） A．在棱 AD 上存在点 M，使 AD⊥平面 PMB B．异面直线 AD 与 PB 所成的角为 90° C．BD⊥平面 PAC D．二面角 P﹣BC﹣A 的大小为 45° 三、填空题：（每题 5 分，第 15 题第一空 2 分，第二空 3 分） 13．已知三个事件 A，B，C 两两互斥且 P（A）＝0.3，P（）＝0.6，P（C）＝0.2， 则 P（A∪B∪C）＝ ． 14．如图，在长方体 ABCD－A1 B1C1D1 中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的 正弦值为________. 15．某校为了普及“一带一路“知识，举行了一次知识竞赛，满分 10 分，有 10 名同学代表班级参 加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这 10 名同学得分情况如折线图所示，则这 10 名同学成绩的极差为 ，80%分位数是 ． 16．在四棱锥 S﹣ABCD 中，底面四边形 ABCD 为矩形，SA⊥平面 ABCD，P，Q 别是线段 BS，AD 的中点，点 R 在线段 SD 上．若 AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，则 AR＝ ． 四、解答题（6 题，共 70 分） 17．（10 分）为了了解某校初三年级 500 名学生的体质情况，随机抽查了 10 名学生，测试 1min 仰 卧起坐的成绩（次数），测试成绩如下： 30 35 42 33 34 36 34 37 29 40 （1）这 10 名学生的平均成绩 是多少？标准差 s 是多少？ （2）次数位于 与 之间有多少名同学？所占的百分比是多少？（参考数据：3.82≈14.6） 18.（12 分）某校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课 的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试．全学年共 1500 人，现从中抽取了 100 人的数学成 绩，绘制成频率分布直方图（如图所示）．已知这 100 人中[110，120）分数段的人数比[100，110） 分数段的人数多 6 人． （1）根据频率分布直方图，求 a，b 的值，并估计抽取的 100 名同学数学成绩的中位数；（中位 数保留两位小数） （2）现用分层抽样的方法从分数在[130，140），[140，150]的两组同学中随机抽取 6 名同学，从 这 6 名同学中再任选 2 名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这 2 名同学的分数不在同 一组内的概率． 19．（12 分）国家射击队的某队员射击一次，命中 7～10 环的概率如表所示： 命中环数 10 环 9 环 8 环 7 环 概率 0.32 0.28 0.18 0.12 求该射击队员射击一次 求（1）射中 9 环或 10 环的概率； （2）至少命中 8 环的概率； （3）命中不足 8 环的概率． 20．（12 分）如图，四棱锥 S﹣ABCD 的侧面 SAD 是正三角形，AB∥CD，且 AB⊥AD，AB＝2CD＝ 4，E 是 SB 中点． （Ⅰ）求证：CE∥平面 SAD； （Ⅱ）若平面 SAD⊥平面 ABCD，且 ，求多面体 SACE 的体积． 21．（12 分）将一颗骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，事件 A：“两数之和为 8”，事件 B：“两 数之和是 3 的倍数”，事件 C：“两个数均为偶数”． （Ⅰ）写出该试验的基本事件空间 Ω ，并求事件 A 发生的概率； （Ⅱ）求事件 B 发生的概率； （Ⅲ）事件 A 与事件 C 至少有一个发生的概率． 22．（12 分）如图 1，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E 是 BC 的中点．将 △ABE 沿 AE 折起后如图 2，使二面角 B﹣AE﹣C 成直二面角，设 F 是 CD 的中点，P 是棱 BC 的 中点． （1）求证：AE⊥BD； （2）求证：平面 PEF⊥平面 AECD； （3）判断 DE 能否垂直于平面 ABC，并说明理由． 高一数学阶段检测题答案 1.【解答】解：对于 A，若 α 内有无穷多条平行的直线与 β 平行，则不能说明 α 平行 β ； 对于 B，平行于同一条直线的两个平面可能不平行，还可以相交； 对于 C，垂直于同一条直线的两平面平行； 对于 D，垂直于同一平面的两个平面不一定平行，还可以垂直． 综上，选项 C 正确． 故选：C． 2. 【解答】解：高一年级共有学生 1200 人， 按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 80 的样本， 样本中共有男生 42 人， 则高一年级的女生人数约为：1200× ＝570． 故选：D． 3. 【解答】解：一级品率是在合格品条件下发生，故这种产品的一级品率为 90%×20%＝18%． 故答案为：18%． 故选：A． 4. 【解析】由图表可知，选项 A，C，D 正确， 对于选项 B，这 10 天的 PM2.5 日均值的中位数是 47， 故 B 错误， 故选：B． 5. 【解答】解：∵AB∥CD，CD 在平面 CDEF 内，AB 不在平面 CDEF 内， ∴AB∥平面 CDEF， 又 EF 在平面 CDEF 内， 由 AB 在平面 ABFE 内，且平面 ABFE∩平面 CDEF＝EF， ∴AB∥EF，故 ① 对； 如图，取 CD 中点 G，连接 BG，FG，由 AB＝CD＝2EF，易知 DE∥GF，且 DE＝GF， 不妨设 EF＝1，则 ， 假设 BF⊥ED，则 BF2+FG2＝BG2，即 1+FG2＝2，即 FG＝1，但 FG 的长度不定，故假设不一定 成立，即 ② 不一定成立． 故选：B． 6. 【解答】解：事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”，事件 B 表示“不小于 5 的点数出现”， ∴P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ ， 又小于 5 的偶数点有 2 和 4，不小于 5 的点数有 5 和 6， 所以事件 A 和事件 B 为互斥事件， 则一次试验中，事件 A 或事件 B 至少有一个发生的概率为 P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝ + ＝ ， 故选：A． 7. 【解析】根据表中数据，计算 A 组数据的平均值为（3+4+5+6+7）＝5， 计算 B 组数据的平均数为（16+15+13+14+17）＝15， A 组数据的方差为 SA2[（3﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2]＝2， B 组数据的方差为 SB2[（16﹣15）2+（15﹣15）2+（13﹣15）2+（14﹣15）2+（17﹣15）2]＝2； 所以，． 8. 【解答】解：在 A 中，∵C 为圆上异于 A，B 的任意一点， ∴BC⊥AC， ∵PA⊥BC，PA∩AC＝A， ∴BC⊥平面 PAC， 故 A 正确； 在 B 中∴若 AC⊥PB， 则 AC⊥平面 PBC， 则 AC⊥PC，与 AC⊥PA 矛盾， 故 AC 与 PB 不垂直， 故 B 错误； 在 C 中，∵BC⊥平面 PAC，AE ⊂ 平面 PAC， ∴BC⊥AE， ∵AE⊥PC，PC∩BC＝C， ∴AE⊥平面 PBC， ∵EF ⊂ 平面 PBC， ∴AE⊥EF， 故 C 正确； 在 D 中，∵AE⊥平面 PBC，AE ⊂ 面 AEF， ∴平面 AEF⊥平面 PBC， 故 D 正确． 故选：B． 9. 【解析】”至少有一个黑球“中包含“都是黑球，A 正确； “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B 正确； “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C 不正确； “至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，D 不正确． 故选：AB． 10.【解析】A、找出所求数据中最大的值 173，最小值 161，再代入公式求值极差＝173﹣161＝12， 故本选项符合题意； B、男生身高的数据在 167～192 之间，女生身高数据在 161～173 之间，所以男生身高的均值较 大，故本选项符合题意； C、抽取的 10 名女生中，身高数据从小到大排列后，排在中间的两个数为 165 和 167，所以中位 数是 166，故本选项不符合题意； D、抽取的学生中，男生身高的数据在 167～192 之间，女生身高数据在 161～173 之间，男生身 高数据波动性大，所以方差较大，故本选项不符合题意． 故选：AB． 11. 【解析】在 A 中，连接 AC，则 AC∥MN，由正方体性质得到平面 MNP∥平面 ABC， ∴AB∥平面 MNP，故 A 成立； B 若下底面中心为 O，则 NO∥AB，NO∩面 MNP＝N， ∴AB 与面 MNP 不平行，故 B 不成立； C 过 M 作 ME∥AB，则 E 是中点， 则 ME 与平面 PMN 相交，则 AB 与平面 MNP 相交， ∴AB 与面 MNP 不平行，故 C 不成立； D 连接 CE，则 AB∥CE，NP∥CD，则 AB∥PN，∴AB∥平面 MNP，故 D 成立． 故选：AD． 12. 【解答】解：如图所示，A．取 AD 的中点 M，连接 PM，BM，连接对角线 AC，BD 相较于 点 O． ∵侧面 PAD 为正三角形，∴PM⊥AD．又底面 ABCD 为菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD 是等边三 角形． ∴AD⊥BM．又 PM∩BM＝M．∴AD⊥平面 PMB，因此 A 正确． B．由 A 可得：AD⊥平面 PMB，∴AD⊥PB，∴异面直线 AD 与 PB 所成的角为 90°，正确． C．∵BD 与 PA 不垂直，∴BD 与平面 PAC 不不垂直，因此 C 错误． D．∵平面 PBC∩平面 ABCD＝BC，BC∥AD，∴BC⊥平面 PBM，∴BC⊥PB，BC⊥BM． ∴∠PBM 是二面角 P﹣BC﹣A 的平面角，设 AB＝1，则 BM＝ ＝PM，在 Rt△PBM 中，tan∠ PBM＝ ＝1，∴∠PBM＝45°，因此正确． 故选：ABD． 13. 【解析】三个事件A，B，C 两两互斥， P（）＝0.6，可得 P（B）＝1﹣0.6＝0.4， 则 P（A∪B∪C）＝P（A）+P（B）+P（C）＝0.3+0.4+0.2＝0.9． 故答案为：0.9． 14. 【解析】连接 A1C1，则∠AC1A1 为 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成的角. 因为 AB＝BC＝2，所以 A1C1＝AC＝2 2 ， 又 AA1＝1，所以 AC1＝3， 所以 sin∠AC1A1＝ 1 1 AA AC ＝ 1 3 . 15. 【解答】解：由题意知， 数据 3，6，6，6，6，6，7，8，9，10 的极差是 10﹣3＝7； 所以数据 3，6，6，6，6，6，7，8，9，10 的 80%分位数是 ＝8.5． 故答案为：7，8.5． 16. 【解答】解：取 SA 的中点 E，连接 PE，QE． ∵SA⊥平面 ABCD，AB ⊂ 平面 ABCD，∴SA⊥AB， 而 AB⊥AD，AD∩SA＝A，∴AB⊥平面 SAD，故 PE⊥平面 SAD， 又 AR ⊂ 平面 SAD，∴PE⊥AR． 又∵AR⊥PQ，PE∩PQ＝P，∴AR⊥平面 PEQ， ∵EQ ⊂ 平面 PEQ，∴AR⊥EQ． ∵E，Q 分别为 SA，AD 的中点，∴EQ∥SD，则 AR⊥SD， 在直角三角形 ASD 中，AS＝4，AD＝2，可求得 ． 由等面积法可得 ． 故答案为： 17. 【解答】解：（1）10 名学生的平均成绩为： ． 方差： ， 即标准差 ． （2） ， ， 所以次数位于 与 之间的有 6 位同学， 所占的百分比是 ． 18. 【解答】（1）依题意 a+b＝0.046，1000（b﹣a）＝6， 解得 a＝0.020，b＝0.026， 中位数为 ≈112.31． （2）设“抽取的 2 名同学的分数不在同一组内”为事件 A 由题意知，在分数为[130，140）的同学中抽取 4 人，分别用 a1，a2，a3，a4 表示， 在分数为[140，150]的同学中抽取 2 人，分别用 b1，b2 表示， 从这 6 名同学中抽取 2 人所有可能出现的结果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1）， （a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1）， （a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）共 15 种， 抽取的 2 名同学的分数不在同一组内的结果有：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2）， （a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2）共 8 种， 所以 ，抽取的 2 名同学的分数不在同一组内的概率为 ． 19. 【解答】：记事件“射击一次，命中 k 环”为 Ak（k ∈ N，k≤10），则事件 Ak 彼此互斥．﹣﹣ （2 分） （1）记“射击一次，射中 9 环或 10 环”为事件 A，那么当 A9，A10 之一发生时，事件 A 发生， 由互斥事件的加法公式得 P（A）＝P（A9）+P（A10）＝0.32+0.28＝0.60﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5 分） （2）设“射击一次，至少命中 8 环”的事件为 B，那么当 A8，A9，A10 之一发生时，事件 B 发生．由 互斥事件概率的加法公式得 P（B）＝P（A8）+P（A9）+P（A10）＝0.18+0.28+0.32＝0.78﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9 分） （3）由于事件“射击一次，命中不足 8 环”是事件 B：“射击一次，至少命中 8 环”的对立事件： 即 表示事件“射击一次，命中不足 8 环”，根据对立事件的概率公式得 P（ ）＝1﹣P（B）＝1﹣0.78＝0.22﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12 分） 20. 【解答】解：（Ⅰ）取 SA 的中点 F，连接 EF， 因为 E 是 SB 中点， 所以 EF∥AB，且 AB＝2EF， 又因为 AB∥CD，AB＝2CD， 所以 EF∥DC，EF＝DC， 即四边形 EFDC 是平行四边形， 所以 EC∥FD， 又因为 EC ⊄ 平面 SAD，FD ⊂ 平面 SAD， 所以 CE∥平面 SAD； （Ⅱ）取 AD 中点 G，连接 SG， 因为 SAD 是正三角形，所以 SG⊥AD， 因为平面 SAD⊥平面 ABCD，且交线为 AD， 所以 SG⊥平面 ABCD， 因为 AB⊥AD，所以 AB⊥平面 SAD， 所以 AB⊥SA， 故 ， ， 因为 E 是 SB 中点，所以点 E 到平面 ABCD 的距离等于 ， 所以多面体 SACE 的体积为： VSACE＝VS﹣ABCD﹣VS﹣ACD﹣VE﹣ABC ＝ ＝ ＝ ． 21. 【解答】解：（I）将一颗骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数， Ω ＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）， （2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）， （3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）， （5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）， （6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共有 36 个基本事件， 事件 A：“两数之和为 8”，事件 A 包含的基本事件有： （2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），共 5 个基本事件， ∴事件 A 发生的概率为 P（A）＝ ． （II）事件 B：“两数之和是 3 的倍数”， 事件 B 包含的基本事件有 12 个，分别为： （1，2），（1，5），（2，1），（2，4），（3，3），（3，6），（4，2），（4，5），（5，1），（5，4），（6， 3），（6，6）， ∴事件 B 发生的概率 P（B）＝ ＝ ． （III）事件 A 与事件 C 至少有一个发生包含的基本事件有 11 个，分别为： （2，2），（2，4），（2，6），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6），（5，3），（6，2），（6，4），（6， 6）， ∴事件 A 与事件 C 至少有一个发生的概率为 P（A∪C）＝ ． ：试题解 析著作权属菁 优网所有，未 经书面同意， 不得复制发 22. 【解答】（1）证明：设 AE 中点为 M，连接 BM， ∵在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E 是 BC 的中点，∴△ABE 与△ADE 都是等边三角形． ∴BM⊥AE，DM⊥AE． ∵BM∩DM＝M，BM、DM ⊂ 平面 BDM， ∴AE⊥平面 BDM． ∵BD ⊂ 平面 BDM，∴AE⊥BD． （2）证明：连接 CM 交 EF 于点 N，∵ME∥FC，ME＝FC，∴四边形 MECF 是平行四边形，∴ N 是线段 CM 的中点． ∵P 是 BC 的中点，∴PN∥BM． ∵BM⊥平面 AECD，∴PN⊥平面 AECD． 又∵PN ⊂ 平面 PEF， ∴平面 PEF⊥平面 AECD． （3）解：DE 与平面 ABC 不垂直． 证明：假设 DE⊥平面 ABC，则 DE⊥AB，∵BM⊥平面 AECD，∴BM⊥DE． ∵AB∩BM＝B，AB、BM ⊂ 平面 ABE，∴DE⊥平面 ABE． ∵AE ⊂ 平面 ABE，∴DE⊥AE，这与∠AED＝60°矛盾． ∴DE 与平面 ABC 不垂直．