【数学】2021届一轮复习人教A版数列的概念与简单表示法作业 4页

第1节 数列的概念与简单表示法 ‎1．已知数列1，，，，…，，则3是它的(　　)‎ A．第22项　　　　　　 B．第23项 C．第24项 D．第28项 解析：B　[观察知已知数列的通项公式是an＝，‎ 令an＝＝3＝，得n＝23.]‎ ‎2．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6等于(　　)‎ A．3×44 B．3×44＋1‎ C．45 D．45＋1‎ 解析：A　[当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，‎ ‎∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1，‎ ‎∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．‎ 又a2＝3S1＝‎3a1＝3，∴an＝ ‎∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44.]‎ ‎3．(2019·聊城市模拟)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”‎的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为(　　 )‎ A．180　　B．‎200　‎　　C．128　　　D．162‎ 解析：B　[由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，‎ 可得偶数项的通项公式：a2n＝2n2.‎ 则此数列第20项＝2×102＝200.]‎ ‎4．(2019·咸阳市二模)已知正项数列{an} 中，＋＋…＋＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝(　　)‎ A．n B．n‎2 C. D. 解析：B　[∵＋＋…＋＝，‎ ‎∴＋＋…＋＝(n≥2)，‎ 两式相减得＝－＝n，‎ ‎∴an＝n2，(n≥2)．‎ 又当n＝1时，＝＝1，‎ ‎∴an＝n2.n∈N*.故选B.]‎ ‎5．已知数列{an}的通项公式为an＝n－1－n－1，则数列{an}(　　)‎ A．有最大项，没有最小项 B．有最小项，没有最大项 C．既有最大项又有最小项 D．既没有最大项也没有最小项 解析：C　[∵数列{an}的通项公式为an＝n－1－n－1，令t＝n－1，t∈(0,1]，t是减函数，‎ 则an＝t2－t＝2－，‎ 由复合函数单调性知an先递减后递增．‎ 故有最大项和最小项，选C.]‎ ‎6．(2019·唐山市一模)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a4＝32，则a1＝________.‎ 解析：∵Sn＝，a4＝32，‎ ‎∴a4＝S4－S3＝－＝32，∴a1＝.‎ 答案： ‎7．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k的值为________．‎ 解析：∵Sn＝n2－9n，‎ ‎∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，‎ a1＝S1＝－8适合上式，∴an＝2n－10(n∈N*)，‎ ‎∴5＜2k－10＜8，得7.5＜k＜9.∴k＝8.‎ 答案：8‎ ‎8．数列 {an}满足 an＋1＝，a8＝2，则a1 ＝________.‎ 解析：将a8＝2代入an＋1＝，可求得a7＝；再将a7＝代入an＋1＝，可求得a6＝－1；再将a6＝－1代入an＋1＝，可求得a5＝2；由此可以推出数列{an ‎}是一个周期数列，且周期为3，所以a1＝a7＝.‎ 答案： ‎9．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.‎ ‎(1)这个数列的第4项是多少？‎ ‎(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？‎ ‎(3)该数列从第几项开始各项都是正数？‎ 解：(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.‎ ‎(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，‎ 解得n＝16或n＝－9(舍)，‎ 即150是这个数列的第16项．‎ ‎(3)令an＝n2－7n＋6＞0，解得n＞6或n＜1(舍)．‎ ‎∴从第7项起各项都是正数．‎ ‎10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an－1(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)在数列{bn}中，b1＝5，bn＋1＝bn＋an，求数列{bn}的通项公式．‎ 解：(1)当n＝1时，S1＝a1＝a1－1，所以a1＝2.‎ 由Sn＝an－1，①‎ 可知当n≥2时，Sn－1＝an－1－1，②‎ ‎①－②，得an＝－，‎ 所以an＝3an－1，又a1≠0，‎ 故an－1≠0，所以＝3，‎ 故数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，‎ 所以an＝2·3n－1.‎ ‎(2)由(1)知bn＋1＝bn＋2·3n－1.‎ 当n≥2时，bn＝bn－1＋2·3n－2，‎ ‎…，‎ b3＝b2＋2·31，‎ b2＝b1＋2·30，‎ 将以上n－1个式子相加并整理，‎ 得bn＝b1＋2×(3n－2＋…＋31＋30)‎ ‎＝5＋2×＝3n－1＋4.‎ 当n＝1时，31－1＋4＝5＝b1，‎ 所以bn＝3n－1＋4(n∈N*)．‎