高考数学二轮名师精编精析：函数定义域和值域 5页

函数定义域和值域 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．函数 f(x)＝ x21 的定义域是 （ A ） A． ( －∞，0] B．[0，＋∞ ) C．（－∞，0） D．（－∞，＋∞） 2．函数 )34(log 1)( 2 2  xxxf 的定义域为 （A ） A．（ 1，2）∪（2，3） B． ),3()1,(  C．（ 1，3） D．[1，3] 3 ． 对于抛 物 线 线 xy 42  上 的 每 一 个 点 Q ，点  0,aP 都 满 足 aPQ  ，则 a 的 取 值 范 围 是 （ B ） A ．  0, B ．  2, C ． 2,0 D ．  2,0 4．已知 )2( xf 的定义域为 ]2,0[ ，则 )(log 2 xf 的定义域为 ]16,2[ 。 5． 不等式 x xm 22  对一切非零实数 x 总成立 , 则 m 的取值范围是 ( ,2 2] __。 6． 已知二次函数 2()f x ax bx c   的导数为 ()fx ， (0) 0f   ，对于任意实数 x ，有 ( ) 0fx≥ ，则 (1) (0) f f  的最 小值为 。 5 2 ★★★高考要考什么 函数定义域有两类：具体函数与抽象函数 具体函数：只要函数式有意义就行－－－解不等式组； 抽象函数：（1）已知 )(xf 的定义域为 D，求 )]([ xgf 的定义域；（由 Dxg )( 求得 x 的范围就是） （2）已知 的定义域为 D，求 的定义域；（ Dx 求出 )(xg 的范围就是） 函数值域（最值）的求法有： 直观法：图象在 y 轴上的“投影”的范围就是值域的范围； 配方法：适合一元二次函数 反解法：有界量用 来表示。如 02 x ， 0xa ， 1sin x 等等。如， 2 2 1 1 x xy   。 换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围。注意三角换元的应用。 如求 21 xxy  的值域。 单调性：特别适合于指、对数函数的复合函数。如求 )1)(11 1(log 2  xxxy 值域。 注意函数 x kxy  的单调性。 基本不等式：要注意“一正、二定、三相等”， 判别式：适合于可转化为关于 x 的一元二次方程的函数求值域。如 2 1 2 2   x xxy 。 反之：方程有解也可转化为函数求值域。如方程 0sinsin 2  axx 有解，求 a 的范围。 数形结合：要注意代数式的几何意义。如 x xy cos1 sin2   的值域。（几何意义――斜率） 恒成立和有解问题 )(xfa  恒成立 )(xfa  的最大值； )(xfa  恒成立 )(xfa  的最小值； 有解 的最小值； 无解 )(xfa  的最小值； ★★★ 突 破 重 难 点 【范例 1】已知 f(x)=3x－b（2≤x≤4，b 为常数）的图象经过点（2，1），求 F(x)=[f－1(x)]2－f－1(x2)的值域。 分析提示：求函数值域时，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域的制约作用。本题要注意 F(x)的定义域 与 f－1(x)定义域的联系与区别。 解：由图象经过点（2，1）得， 2b ，  xxf 3 1 log2)(  )91( x  F(x)=[f－1(x)]2－f－1(x2)      91 91 2x x )(xF 的定义域为 ]3,1[ 1)1(log2log2)(log)log2()log2()( 2 33 2 3 2 3 2 3  xxxxxxF ]3,1[x ， ]1,0[log3  x ， )(xF 的值域是 ]5,2[ 易错点：把 )(1 xf  的定义域当做 )(xF 的定义域。 变式： 函数 )(xfy  的定义域为 ]1,1[x ，图象如图所示， 其反函数为 ).(1 xfy  则不等式 0]2 1)(][2 1)([ 1   xfxf 的解集为 ]1,4 3( . 【范例 2】设函数 22( ) 2 1( 0)f x tx t x t x t     R， ． （Ⅰ）求 ()fx的最小值 ()ht ； （Ⅱ）若 ( ) 2h t t m   对 (0 2)t  ， 恒成立，求实数 m 的取值范围． 解：（Ⅰ） 23( ) ( ) 1( 0)f x t x t t t x t      R， ， 当 xt 时， ()fx取最小值 3( ) 1f t t t     ， 即 3( ) 1h t t t    ． （Ⅱ）令 3( ) ( ) ( 2 ) 3 1g t h t t m t t m         ， 由 2( ) 3 3 0g t t     得 1t  ， 1t  （不合题意，舍去）． 当t 变化时 ()gt ， ()gt的变化情况如下表： t (01)， 1 (1 2)， ()gt  0  ()gt 递增 极大值 1 m 递减 ()gt 在 (0 2)， 内有最大值 (1) 1gm ． ( ) 2h t t m   在 (0 2)， 内恒成立等价于 ( ) 0gt  在 (0 2)， 内恒成立， 即等价于10m， 所以 m 的取值范围为 1m  ． 变式：函数 f（x）是奇函数，且在[—l，1]上单调递增，f（－1）＝－1，(1) 则 f（x）在[－1，1]上的最大值 1 ， (2) 若 12)( 2  attxf 对 所 有 的 x ∈ [ － 1 ， 1] 及 a ∈ [ － 1 ， 1] 都 成 立 ， 则 t 的 取 值 范 围 是 202  ttt 或或 _ ． 【范例 3】已知函数 y kx 与 2 2( 0)y x x ≥ 的图象相交于 11()A x y， ， 22()B x y， ，1l ， 2l 分别是 2 2( 0)y x x ≥ 的图象在 AB， 两点的切线， MN， 分别是 1l ， 2l 与 x 轴的交点． （I）求 k 的取值范围； （II）设t 为点 M 的横坐标，当 12xx 时，写出t 以 1x 为自变量的函数式，并求其定义域和值域； （III）试比较 OM 与 ON 的大小，并说明理由（O 是坐标原点）． 解：（I）由方程 2 2 y kx yx    ， 消 y 得 2 20x kx   ． ① 依题意，该方程有两个正实根， 故 2 12 80 0 k x x k         ， ，解得 22k  ． （II）由 ( ) 2f x x  ，求得切线 1l 的方程为 1 1 12 ( )y x x x y   ， 由 2 112yx，并令 0y  ，得 1 1 1 2 xt x 1x ， 2x 是方程①的两实根，且 12xx ，故 2 1 2 84 2 8 kkx kk  ， 22k  ， 1x 是关于 k 的减函数，所以 1x 的取值范围是(0 2)， ． t 是关于 1x 的增函数，定义域为 (0 2)， ，所以值域为()，0 ， （III）当 12xx 时，由（II）可知 1 1 1 2 xOM t x    ． 类似可得 2 2 1 2 xON x ． 1 2 1 2 122 x x x xOM ON xx     ． 由①可知 12 2xx  ． 从而 0OM ON． 当 21xx 时，有相同的结果 0OM ON． 所以 OM ON ． 变式：已知函数 )(log)(log2 1 2 axxay aa  )42(  x 的最大值是 0 ，最小值是 8 1 ，求 a 的值。 分析提示：（1）能化成关于 loga x 的二次函数，注意对数的运算法则；(2)注意挖掘隐含条件“ 10  a ”；（3）掌握 复合函数最值问题的求解方法。 解： )log1)(log2(2 1 xx aa  = 8 1)2 3(log2 1 2 xa ， ∵ 42  x ，且 oy  8 1 ∴当 2 3log xa 即 2 3  ax 时， 8 1 min y ∴ 3 2 21a  ∴ 10  a ，又 y 最大值是0 ，， ∴ 01log02log  xx aa 或 即 axax 11 2  或 ， ∴ )41(21 2  aa 或 ∴ 2 1a