高考数学复习专题练习第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数 8页

第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数 一、选择题 ‎1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于(　　)‎ A.　　　　　　　　 　 B. C. D. 解析 sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°＝sin 30°＝.‎ 答案 A ‎2．若＝，则tan 2α等于 (　　)．‎ A. B．－ C. D．－ 解析　＝＝＝，‎ ‎∴tan α＝2，∴tan 2α＝＝＝－，故选D.‎ 答案　D ‎3．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α、β∈，则cos(α－β)的值等于(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 解析 ∵α∈，∴2α∈(0，π)．‎ ‎∵cos α＝，∴cos 2α＝2cos2α－1＝－，‎ ‎∴sin 2α＝＝，‎ 而α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，‎ ‎∴sin(α＋β)＝＝，‎ ‎∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]‎ ‎＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)‎ ‎＝×＋×＝.‎ 答案 D ‎4．已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ的值为 (　　)．‎ A. B．－ C. D．－ 解析　∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝，∴sin 2θ＝，又0<θ<，∴sin θ2)的两根为tan A，tan B，且A，B∈，则A＋B＝________.‎ 解析　由题意知tan A＋tan B＝－‎3a<－6，tan A·tan B＝‎3a＋1>7，∴tan A<0，tan B<0，‎ tan(A＋B)＝＝＝1.‎ ‎∵A，B∈，∴A，B∈，‎ ‎∴A＋B∈(－π，0)，∴A＋B＝－.‎ 答案　－ ‎9．已知：0°<α<90°，0°<α＋β<90°，3sin β＝sin(2α＋β)，则tan β的最大值 是________．‎ 解析 由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)，化简得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，‎ ‎∴tan(α＋β)＝2tan α，‎ ‎∴tan β＝tan(α＋β－α)＝ ‎＝＝，‎ ‎∵＋2tan α≥2，∴tan β的最大值为＝.‎ 答案 ‎10．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,4sin B＋3cos A＝1.则C等于________．‎ 解析 将两式两边分别平方相加，得 ‎25＋24(sin Acos B＋cos Asin B)＝25＋24sin(A＋B)＝37，‎ ‎∴sin(A＋B)＝sin C＝，∴C＝30°或150°.‎ 当C＝150°时，A＋B＝30°，此时3sin A＋4cos B<3sin 30°＋4cos 0°＝ ‎，这与3sin A＋4cos B＝6相矛盾，∴C＝30°.‎ 答案 30°‎ 三、解答题 ‎11．如图，在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角 α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为，.‎ ‎(1)求tan(α＋β)的值；‎ ‎(2)求α＋2β的值．‎ 解 (1)由已知条件及三角函数的定义可知：‎ cos α＝，cos β＝.‎ ‎∵α为锐角，∴sin α>0，故sin α＝＝，[来源:学,科,网]‎ 同理sin β＝＝，‎ ‎∴tan α＝＝7，ta β＝＝.‎ ‎∴tan(α＋β)＝＝＝－3.‎ ‎(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]‎ ‎＝＝－1.‎ ‎∵0<α<，0<β<，‎ ‎∴0<α＋2β<π.∴α＋2β＝.‎ ‎12．已知函数f(x)＝sin＋sin＋2cos2x－1，x∈R.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．‎ 解　(1)f(x)＝sin 2x·cos＋cos 2x·sin＋sin 2x·cos－cos 2x·sin＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin.‎ 所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数．又f＝－1，f＝，f＝1，故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1.‎ ‎13．已知sin α＋cos α＝，α∈，sin＝，β∈.‎ ‎(1)求sin 2α和tan 2α的值；‎ ‎(2)求cos(α＋2β)的值．‎ 解　(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝，‎ 即1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝.‎ 又2α∈，∴cos 2α＝＝，‎ ‎∴tan 2α＝＝.‎ ‎(2)∵β∈，β－∈，sin＝，‎ ‎∴cos＝，‎ 于是sin 2＝2sincos＝.‎ 又sin 2＝－cos 2β，∴cos 2β＝－，‎ 又2β∈，∴sin 2β＝，‎ 又cos2α＝＝，α∈，‎ ‎∴cos α＝，sin α＝.‎ ‎∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ‎＝×－×＝－.‎ ‎14．函数f(x)＝6cos2＋ sin ωx－3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．‎ ‎(1)求ω的值及函数f(x)的值域；‎ ‎(2)若f(x0)＝，且x0∈，求f(x0＋1)的值．‎ 解　(1)由已知可得，f(x)＝3cos ωx＋ sin ωx ‎＝2sin，‎ 又正三角形ABC的高为2，从而BC＝4，‎ 所以函数f(x)的周期T＝4×2＝8，即＝8，ω＝.‎ 函数f(x)的值域为[－2，2]．‎ ‎(2)因为f(x0)＝，‎ 由(1)有f(x0)＝2sin＝，‎ 即sin＝.‎ 由x0∈，知＋∈，‎ 所以cos＝ ＝.‎ 故f(x0＋1)＝2sin ‎＝2sin ‎＝2 ‎＝2×＝.‎