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- 2021-06-24 发布
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湖南省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练
圆锥曲线
一、选择、填空题
1、(常德市2019届高三上学期检测)已知双曲线的右焦点为, 以为圆心,实半轴长为半径的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点,若(其中为原点),则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
2、(怀化市2019届高三统一模拟(二))已知抛物线C:的焦点为F,点P为抛物线C上任意一点,过P点作抛物线的切线交y轴于点Q,.若(O为坐标原点),则点P的横坐标为
A. B. C'. D.
3、(三湘名校教育联盟2019届高三第一次大联考)过双曲线C: (a>b>0)的一个焦点F向其一条渐近线引垂线,垂足为E,0为坐标原点,若△OEF的面积为1,其外接圆面积为,则C的离心率为
A. B. C.2 D.
4、(三湘名校教育联盟2019届高三第一次大联考)抛物线 (p>0)上纵坐标为4的点A到其焦点F的距离为5,则点A到原点的距离为 .
5、(邵阳市2019届高三10月大联考)已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点,,则( )
A.1 B.2 C.4 D.8
6、(五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考)在直角坐标系中,抛物线的焦点为,准线为,为上一点,垂直于点,,分别为,的中点,直线
与轴交于点,若,则( )
A. B. C. D.
7、(湘潭市2019届高三下学期第二次模拟)若双曲线的一条渐近线与直线垂直,则该双曲线的离心率为( )
A. 2 B. C. D.
8、(益阳市2019届高三上学期期末考试)过双曲线 (a>b>0)右焦点F的直线交两渐近线于A、B两点,∠OAB = 90°,O为坐标原点,且△OAB内切圆半径为则双曲线的离心率为
A. 2 B. C. D.
9、(永州市2019届高三上学期第二次模拟)已知椭圆的左焦点为,过点作斜率为的直线交椭圆于两点,则的长度为( )
A. B. C. D.
10、(岳阳市2019届高三教学质量检测(一模))从抛物线在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,从且,设抛物线的焦点为F,则直线PF的斜率为
A. B. C. D.
11、(长郡中学2019届高三第六次月考)已知拋物线y2=4x,点A,B在该拋物线上且位于x轴的两侧,OA • 0B=-4(其中O为坐标原点),则△ABO面积的最小值是 .
12、(雅礼中学2019届高三第五次月考)如图,已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,左、右顶点分别为A、B,M在双曲线上,且MF1⊥x轴,直线MA,MB与y轴分别交于P,Q两点,若,则
A. B.2- C. 2 D.
13、(株洲市2019届高三教学质量统一检测(一))已知一条抛物线恰好经过等腰梯形的的四个顶点,其中,
,则该抛物线的焦点到其准线的距离是( )[( ( 源
A. B. C. D.
14、(湖南师大附中2019届高三月考试卷(六))如图所示,点F是抛物线y2=8x的焦点,点A,B分别在抛物线y2=8x及圆(x-2)2+y2=16的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则△FAB的周长的取值范围是(C)
A.(2,6) B.(6,8)
C.(8,12) D.(10,14)
15、(湖南湖北八市十二校(湖南师范大学附属中学、衡阳八中等)2019届高三第二次调研联考)
过抛物线上两点分别作抛物线的切线,若两切线垂直且交于点,则直线的方程为
A. B.
C. D.
16、(岳阳市2019届高三教学质量检测(一模))如图,是椭圆与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2 在第二、四象限的公共点。若四边形AF1BF2为矩形,则C2的虚轴长为 .
17、(湘潭市2018届高三下学期第三次模拟考试)双曲线的离心率为,其渐近线与圆相切,则该双曲线的方程是( )
A. B. C. D.
18、(雅礼中学、河南省实验中学2018届高三联考)已知双曲线(,)的一个焦点为,一条渐近线的斜率为,则该双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
19、(湖南师大附中2019届高三月考试题(七))设双曲线:的右焦点为,直线为双曲线的一条渐近线,点关于直线的对称点为,若点在双曲线的左支上,则双曲线的离心率为__________.
20、(雅礼中学2019届高三月考(七))抛物线:的焦点为,为准线上一点,为轴上一点,为直角,若线段的中点在抛物线上,则的面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
1、D 2、D 3、A 4、4 5、B
6、A 7、C 8、C 9、C 10、C
11、
12、
13、B
14、【解析】抛物线的准线l:x=-2,焦点F(2,0),由抛物线定义可得|AF|=xA+2,
圆(x-2)2+y2=16的圆心为(2,0),半径为4,
∴三角形FAB的周长为|AF|+|AB|+|BF|=(xA+2)+(xB-xA)+4=6+xB,
由抛物线y2=8x及圆(x-2)2+y2=16可得交点的横坐标为2,则xB∈(2,6),所以6+xB∈(8,12),故选C.
15、D 16、2 17、A 18、C 19、 20、C
二、解答题
1、(常德市2019届高三上学期检测)已知椭圆的离心率为,为椭圆的左、右焦点,过右焦点的直线与椭圆交于两点,且的周长为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若点是第一象限内椭圆上一点,且在轴上的正投影为右焦点,过点作直线分别交椭圆于两点,当直线的倾斜角互补时,试问:直线的斜率是否为定值;若是,请求出其定值;否则,请说明理由.
2、(怀化市2019届高三统一模拟(二))已知椭圆的左焦点F,作斜率为的直线l,交椭圆C于A、B两点。
(1)若原点O到直线l的距离为,求直线l的方程;
(2)设点M(1,0),直线AM与椭圆C交于另一点P,直线BM与椭圆C交于另一点D.设PD的斜率为,则是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由。
3、(三湘名校教育联盟2019届高三第一次大联考)已知椭圆C: (a>b>0)的上顶点E
与其左、右焦点F1、F2构成面积为1的直角三角形。
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点F2的直线交C于A(),B()两点,P是C上的动点,当吋,求△PAB面积的最大值。
4、(五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考)对称轴为坐标轴的椭圆的焦点为,,在上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设不过原点的直线与椭圆交于,两点,且直线,,的斜率依次成等比数列,则当的面积为时,求直线的方程.
5、(湘潭市2019届高三下学期第二次模拟)设是圆上的任意一点,是过点且与轴垂直的直线,是直线与轴的交点,点在直线上,且满足.当点在圆上运动时,记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)已知点,过的直线交曲线于两点,交直线于点.判定直线的斜率是否依次构成等差数列?并说明理由.
6、(益阳市2019届高三上学期期末考试)圆O: 上的动点P在轴、轴上的射影分别是P1 ,P2,点M满足。
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)点A(0,1),B(0,-3),过点B的直线与轨迹C交于点S,N,且直线AS、AN的斜率存在,求证为常数。
7、(永州市2019届高三上学期第二次模拟)已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,点的纵坐标为8,且.
(1)求抛物线的方程;
(2)若点是抛物线准线上的任意一点,过点作直线与抛物线相切于点,证明:.
8、(岳阳市2019届高三教学质量检测(一模))已知椭圆的C: 的中心在坐标原点,焦点在x轴上且经过点P,离心率为。
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线经过点E(-1,0)且与椭圆交于A,B两点,若,求直线的方程。
9、(长郡中学2019届高三第六次月考) 如图,在平面直角坐标系中,已知点F(1,0),过直线:x = 2左侧的动点P作PH丄于点H,∠HPF的角平分线交x轴于点M,且PH= ,记动点P的轨迹为曲线P.
(1)求曲线P的方程.
(2)过点F作直线交曲线P于A,B两点,点C在上,且BC//轴,试问:直线AC是否恒过定点?请说明理由.
10、(雅礼中学2019届高三第五次月考)已知椭圆E:的左焦点为F,设M,N是椭圆E的两个短轴端点,A是椭E的长轴左端点,
(1)当t=1时,设点P(m,-2)(m≠0),直线PN交椭圆E于Q,且直线MP,MQ的斜率分别为k1,k2,求k1·k2的值;
(2)当t=3时,若经过F的直线与椭圆E交于C,D两点,O为坐标原点,求△OAD与△OAC的面积之差的最大值
11、(株洲市2019届高三教学质量统一检测(一))已知分别为椭圆C:
的左、右焦点,点在椭圆上,且轴,的周长为6.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点的直线与椭圆交于,两点,设为坐标原点,是否存在常数,使得恒成立?请说明理由.
12、(湖南师大附中2019届高三月考试卷(六))如图,已知椭圆C1:+y2=1的左、右顶点为A1,A2,上、下顶点为B1,B2,记四边形A1B1A2B2的内切圆为C2.
(1)求圆C2的标准方程;
(2)已知圆C2的一条不与坐标轴平行的切线l交椭圆C1于P,M两点.
(ⅰ)求证:OP⊥OM;
(ⅱ)试探究+是否为定值.
13、(湖南湖北八市十二校(湖南师范大学附属中学、衡阳八中等)2019届高三第二次调研联考)
在平面直角坐标系中,椭圆C过点,焦点,圆O的直径为.
(1)求椭圆C及圆O的方程;
(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;
②直线l与椭圆C交于两点.若的面积为,求直线l的方程.
参考答案:
1、解:(Ⅰ)由题设知,
由椭圆的定义知:的周长为,解得.
故因此,所以椭圆的方程为. .............5分
(Ⅱ)证明:依题意知,点,设
直线的方程为:,
联立,得,
则, 即,.............8分
又,
即,)
又直线的倾斜角互补,则直线的斜率为
同理可得:,), .............10分
因此,直线的斜率为为定值. .........12分
2、
3、
4、解:(1)设椭圆的方程为,
由题意可得,又由,得,故,
椭圆的方程为;
(2)设,.
由题意直线的方程为:,
联立得,
,化简,得①
②,③
直线,,的斜率依次成等比数列,,
,化简,得
,,又,,
且由①知.
原点到直线的距离.
,解得(负舍)或
(负舍).
直线的方程为:或.
5、(1)设点,,因为,点在直线上,
所以,.①
因为点在圆:上运动,所以.②
将①式代入②式,得曲线的方程为.
(2)由题意可知的斜率存在,设直线的方程为,
令,得的坐标为.
由,得.
设,,则有,.③
记直线,,的斜率分别为,,,
从而,,.
因为直线的方程为,所以,,
所以
.④
把③代入④,得.
又,所以,
故直线,,的斜率成等差数列.
6、
7、(1)由题意可知,抛物线的准线方程为
又点的纵坐标为8,且|PF|=9,于是8+=9,所以
故抛物线的方程为
(2)设点M(m,-1),,,因为,所以
切线方程为,即
令,可解得,所以
又所以,
所以
8、
9、
10、
11、【解析】(Ⅰ)由题意,,,
的周长为,
, ∴椭圆的标准方程为.--------------------------5分
(Ⅱ)假设存在常数满足条件。
(1)当过点的直线的斜率不存在时,,
∴,
∴当时,; ---------------------------------------7分
(2)当过点的直线的斜率存在时,设直线的方程为,设,,
联立,化简得,
∴. -----------------------------------8分
∴
----------9分
∴,解得: 即时,;
综上所述,当时,. ------------------------12分
12、【解析】(1)因为A2,B1分别为椭圆C1:+y2=1的右顶点和上顶点,则A2,B1坐标分别为(2,0),(0,1),可得直线A2B1的方程为:x+2y=2.2分
则原点O到直线A2B1的距离为d==,则圆C2的半径r=d=,
故圆C2的标准方程为x2+y2=.4分
(2)(i)可设切线l:y=kx+b(k≠0),P(x1,y1),M(x2,y2),
将直线PM方程代入椭圆C1可得x2+2kbx+b2-1=0,由韦达定理得:
则y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=,6分
又l与圆C2相切,可知原点O到l的距离d==,整理可得k2=b2-1,
则y1y2=,所以·=x1x2+y1y2=0,故OP⊥OM.8分
(ii)由OP⊥OM知S△OPM=,
①当直线OP的斜率不存在时,显然|OP|=1,|OM|=2,此时+=;
②当直线OP的斜率存在时,设OP:y=k1x代入椭圆方程可得+kx2=1,则x2=,
故OP2=x2+y2=(1+k)x2=,10分
同理OM2==,
则+=+=.
综上可知:+=为定值.12分
13、(1)因为椭圆C的焦点为,可设椭圆C的方程为.又点在椭圆C上,所以,解得因此,椭圆C的方程为.因为圆O的直径为,所以其方程为.
(2)①设直线l与圆O相切于,则,所以直线l的方程为,即.由消去y,得
.(*)
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以.
因为,所以.因此,点P的坐标为.
②因为三角形OAB的面积为,所以,从而.设,由(*)得,
所以.因为,
所以,即,解得舍去),则,因此P的坐标为.综上,直线l的方程为.