2016年高考数学（理科）真题分类汇编F单元　平面向量 6页

‎ 数 学 F单元　平面向量 ‎ F1　平面向量的概念及其线性运算 ‎4．A2，F1[2016·北京卷] 设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 ‎ B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 ‎4．D　[解析] 若|a|＝|b|成立，则以a，b为边组成的平行四边形为菱形，a＋b，a－b表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为边组成的平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故选D.‎ ‎13．F1、F3[2016·江苏卷] 如图13，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是________．‎ 图13‎ ‎13.　[解析] 设＝a，＝b，则由题意得＝a＋3b，＝－a＋3b，＝a＋b，＝－a＋b，＝a＋2b，＝－a＋2b，‎ 所以·＝9b2－a2＝4，·＝b2－a2＝－1，‎ 解得b2＝，a2＝，‎ 于是·＝4b2－a2＝.‎ ‎14．F1，K2[2016·上海卷] 如图12所示，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1(1，0)．任取不同的两点Ai，Aj，点P满足＋＋＝0，则点P落在第一象限的概率是________．‎ 图12‎ ‎14.　[解析] 共有C＝28(个)基本事件，其中使点P落在第一象限的基本事件共有C ‎＋2＝5(个)，故所求概率为.‎ F2　平面向量基本定理及向量坐标运算 F3　平面向量的数量积及应用 ‎13．F1、F3[2016·江苏卷] 如图13，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是________．‎ 图13‎ ‎13.　[解析] 设＝a，＝b，则由题意得＝a＋3b，＝－a＋3b，＝a＋b，＝－a＋b，＝a＋2b，＝－a＋2b，‎ 所以·＝9b2－a2＝4，·＝b2－a2＝－1，‎ 解得b2＝，a2＝，‎ 于是·＝4b2－a2＝.‎ ‎13．F3[2016·全国卷Ⅰ] 设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________．‎ ‎13．－2　[解析] 由已知条件，得a·b＝0，即m＋2＝0，即m＝－2.‎ ‎3．F3[2016·全国卷Ⅲ] 已知向量＝（，），＝（，），则∠ABC＝(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．120°‎ ‎3．A　[解析] cos∠ABC＝＝×＋×＝，又∠ABC∈[0°，180°]，∴∠ABC＝30°.‎ ‎3．F3[2016·全国卷Ⅱ] 已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　　)‎ A．－8 B．－6‎ C．6 D．8‎ ‎3．D　[解析] a＋b＝(4，m－2)，∵(a＋b)⊥b，∴(a＋b)·b＝12－2(m－2)＝0，解得m＝8.‎ ‎8．F3[2016·山东卷] 已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)‎ A．4 B．－4‎ C. D．－ ‎8．B　[解析] 由4|m|＝3|n|，可设|m|＝3，|n|＝4.又∵n⊥(tm＋n)，cos〈m，n〉＝，‎ ‎∴n·(tm＋n)＝0，即t×4×3×＋16＝0，解得t＝－4.‎ ‎15．F3[2016·浙江卷] 已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤，则a·b的最大值是________．‎ ‎15.　[解析] 由|(a＋b)·e|≤|a·e|＋|b·e|≤，得|a＋b|≤，即|a|2＋|b|2＋2a·b≤6，所以a·b≤，故a·b的最大值为.‎ ‎12．C4，F3[2016·上海卷] 在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(0，－1)，P是曲线y＝上一个动点，则·的取值范围是________．‎ ‎12．[0，1＋]　[解析] 由题意得y＝表示以原点为圆心，1为半径的上半圆，设P(cos α，sin α)，α∈[0，π]，则＝(1，1)，＝(cos α，sin α＋1)，所以·＝cos α＋sin α＋1＝sin(α＋)＋1，因为α∈[0，π]，所以0≤·≤1＋.‎ ‎21．H6，H8，F3[2016·上海卷] 双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．‎ ‎(1)若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；‎ ‎(2)设b＝，若l的斜率存在，且(＋)·＝0，求l的斜率．‎ ‎21．解：(1)设A(xA，yA)，‎ F2(c，0)，c＝，由题意，y＝b2(c2－1)＝b4，‎ 因为△F1AB是等边三角形，所以2c＝|yA|，‎ 即4(1＋b2)＝3b4，解得b2＝2.‎ 故双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎ ‎(2)由已知，F1(－2，0)，F2(2，0)．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y＝k(x－2)，显然k≠0.‎ 由得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0.‎ 因为l与双曲线交于两点，所以k2－3≠0，且Δ＝36(1＋k2)>0.‎ 设AB的中点为M(xM，yM)．‎ 由(＋)·＝0，即·＝0，知F1M⊥AB，故kF1M·k＝－1.‎ 又xM＝＝，yM＝k(xM－2)＝，所以kF1M＝，‎ 所以·k＝－1，得k2＝，故l的斜率为±.‎ ‎ F4 单元综合 ‎10．F4[2016·四川卷] 在平面内，定点A，B，C，D满足||＝||＝||，·＝·‎ eq o(DC,sup6(→))＝·＝－2，动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎10．B　[解析] 方法一：由题意，因为||＝||＝||，所以D到A，B，C三点的距离相等，D是△ABC的外心．‎ ·＝·＝·＝－2⇒‎ ·－·＝·(－)＝·＝0，所以DB⊥AC.‎ 同理可得，DA⊥BC，DC⊥AB，‎ 从而D是△ABC的垂心，‎ 所以△ABC的外心与垂心重合，因此△ABC是正三角形，且D是△ABC的中心，‎ 所以·＝||||cos∠ADB＝||||×＝－2⇒||＝2，‎ 所以正三角形ABC的边长为2.‎ 以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B(3，－)，C(3，)，D(2，0)．‎ 由||＝1，设P点的坐标为(cos θ，sin θ)，其中θ∈[0，2π)．‎ 由＝，可知M是PC的中点，‎ 所以M的坐标为，‎ 则||2＝＋＝≤＝，‎ 当θ＝π时，||2取得最大值.‎ 方法二：由||＝||＝||可知D为△ABC的外心，再根据·＝·＝·＝－2，得∠ADB＝∠BDC＝∠CDA＝120°，‎ 于是△ABC为正三角形，且边长为2.‎ 设AC的中点为T，则||＝3，‎ 由条件知＝(＋)＝(＋＋)＝(2＋)＝＋，‎ 所以||2＝＋2＝||2＋||2＋·＝||2＋||2＋||||cos〈，〉≤9＋＋3×1×1＝，‎ 当且仅当〈，〉＝0°，即与同向时等号成立．‎ ‎7．F4[2016·天津卷] 已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)‎ A．－ B. C. D. ‎7．B　[解析] ＝－，＝＋＝＋＝＋，‎ ‎∴·＝(－)·（＋）＝×1×1×－＋－×1×1×＝＋－－＝.‎ ‎6．[2016·南阳期末] 在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点， ＝λ＋μ，则 λ＋μ的值为(　　)‎ A. B. C. D．1‎ ‎6．A　[解析] ＝2＝2λ＋2μ，由于B，C，M三点共线，故2λ＋2μ＝1，所以λ＋μ＝.‎ ‎4．[2016·济宁期末] 在△ABC中，G是△ABC的重心，边AB，AC的长分别为2，1，∠BAC＝60°，则·＝(　　)‎ A．－ ‎ B．－ C. ‎ D．－ ‎4．A　[解析] 由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，得BC＝，∠ACB＝90°.以C为坐标原点，，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立直角坐标系，则A(0，1)，B(，0)，所以重心G，所以＝，＝，所以·＝·＝－.‎ ‎7．[2016·福州质检] 在△ABC中，BC＝2，A＝45°，B为锐角，点O是△ABC外接圆的圆心，则·的取值范围是(　　)‎ A. (－2，2]‎ B. (－2，2]‎ C．[－2，2]‎ D. (－2，2)‎ ‎7．A　[解析] 由题意得AB＝2sin C，AC＝2sin B，取BC的中点D，连接OD，AD，则OD⊥BC，所以·＝(－)·＝－·＝－(＋)·(－)＝(2－2)＝4sin2C－4sin2B＝2cos 2B－2cos 2C＝2cos 2B－2cos(270°－2B)＝2cos 2B＋2sin 2B＝2sin(2B＋45°)．‎ 又45°<2B＋45°<225°，所以－